集合专题讲义-高三数学一轮复习

集合知识点1、集合的定义：把某些能够确切指定的对象看做一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合，集合中的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。如果说a是A中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b不是B中的元素，就说b不属于B，记为b∉B。集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（1）列举法（2）描述法｛x∣x具有性质p｝（3）韦恩图（文氏图）（1）有限集（2）无限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ（1）自然数集N（正整数集N+或N*）（2）整数集Z（正整数集Z+，负整数集Z）（3）有理数集Q（无理数集CRQ）实数集R（5）复数集C7、区间的概念：通常把介于两个实数a，b（a＜b）之间的实数集合称之为区间，并规定（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚；（3）满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（实数集合）（1）子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或

B⊇A，读作“集合A\t"s://baike.baidu/item/%E5%AD%90%E9%9B%86/_blank"包含于集合B”或集合B包含集合A”。（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的\t"s://baike.baidu/item/%E5%AD%90%E9%9B%86/_blank"真子集，可记作：A⊊B。（3）子集、真子集的一些性质：①规定空集φ是任何集合的子集；②对于含n个元素的集合，它的子集个数为2n，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。集合的运算交集：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作A交B。并集：由所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，叫做集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作\t"s://zhidao.baidu/question/_blank"CuA。（4）DeMorgan法则（德摩根定理、反演率）Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB考点分析单纯的集合知识较难考察，一般只考察其互异性。而在考试中出现的较多题型是子集、交并集与不等式结合的题型。较难的还有与函数结合的综合题型。例题精讲例：已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，CuA∪CuB={2，3，4，6，7，8}，CuA∩B={3，7}，CuA∪B={1，3，5，6，7，8，9}。求集合A、B。思路：利用德摩根定理进行简化，也可利用图。解答：由德摩根定理可得CuA∪CuB=Cu(A∩B)，可得A∩B={1，5，9}又∵CuA∩B={3，7}，∴B={1，3，5，7，9}CuA∪B=Cu（A∩CuB），可知A∩CuB={2，4}而A∩B={1，5，9}，∴A={1，2，4，5，9}例：设A={x∣x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R，x∈R},求A中所有元素之和。思路：见到带字母（含参）就要想到分类讨论。在一元二次方程的求解时，我们把重根（Δ=0）看成是两个根。而在讨论解构成的集合的时候，由于集合元素之间的互异性，出现重根时集合中也只有一个元素。解答：通过因式分解，A={x∣(x+1)(x+b+1)=0}①当b=0时，A={1}∴集合A中所有元素之和为1②当b≠0时，A={1，b1}∴集合A中所有元素之和为b2例：设集合P={xy，x+y，xy}，Q={x2+y2，x2y2，0},若P=Q，求集合P，Q。思路：明显考察了集合元素的互异性。那么具体的已知量只有集合Q中的元素0。我们可以取找集合P中的哪个元素可以取0，从而找到切入点。解答：若xy=0，则x2y2=0集合Q中出现两个相同元素，违反集合的互异性；若x+y=0，则x2y2=0集合Q中出现连个相同元素，违反集合的互异性。综上集合P中等于0的元素只能是xy。当y=0时，Q={x2，x2，0}违反集合的互异性，故也不成立。∴仅可能为x=0，y不等于0y=y2y=y2此时P={y，y，0}Q={y2，y=y2y=y2由P=Q得y=y2或y=y2解得y=±1代入得P=Q={1，1,0}（两种情况下解出来是一样的）变式训练：已知M={x，xy，}，N={0，|x|，y}，若M⊆N且N⊆M，则（+）+（+）+…（+）+（+）=__________例：已知=x2+ax+b(a，b∈R)，集合A={x∣x=}，集合B={x∣x=}求证：A⊆B（2）当A={1,3}时，用列举法表示B思路：对于第(1)问，我们要注意A是空集的情况，考虑要全面，这样证明才会严密。第(2)问，需要我们去解一个一元四次方程。因为我们没有学习过一元四次方程的求根公式（5次及以上的方程没有代数解），所以我们只能考虑对方程进行因式分解，这里需要我们良好的因式分解能力。解答：(1)①若A=φ，则A⊆B，符合结论②若A≠φ，则设A中的元素为x，则x一定满足x=f(x)。再将x和f(x)分别看做自变量。∵x=f(x)∴f(x)=f(f(x))又因为已知的x=f(x)，故而x=f(f(x))即x也满足B中的条件，x也是B中的元素。∴对于x∈A，x∈B∴A⊆B结合①②，∴A⊆B由A={1,3}可知1,3是方程x=f(x)的两根，将1,3分别代入解得a=1b=3∴f(x)=x2x3f(f(x))=x(x2x3)2(x2x3)3=x(x2x3)2x2+x+33=x(x2x3)2x2=0(x23)(x22x3)=0(x3)(x+1)(x23)=0B={1,3，，}易错警醒易错题：已知全集U=R，集合M={x∣≤0}，求CuM。错解：∵集合M={x∣≤0}，所以CuM={x∣＞0}，即CuM={x∣x＞1或x＜2}。正解：M={x∣2＜x≤1}，所以CuM={x∣x＞1或x≤2}。拔高训练思考题：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于a，b∈P，都有a+b，ab，ab，(b≠0)均属于P，则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域，则F={a+b∣a，b∈Q}也是数域。则下列命题中整数集是数域；(2)若有理数集Q⊆M，则数集M也是数域；(3)数域必为无限集；(4)存在无穷多个数域真命题的有_____________思路：我们一个一个命题去分析。对于命题(1)，若整数集是个数域，任取两个元素相除，那么根据定义，这个商也是这个数集里的元素，而整数相除会导致分数的产生，故整数集不是个数域(1)显然是错误的；对于命题(2)，取M=Q∪{}，则得到M不是数域；对于命题(3)，将a+b看做基本元素，可得2a+b、3a+b、…na+b、…都是该集合中的元素，所以数域一定是无限集；对于最后的命题(4)，可以根据题目的提示D={a+b∣a，b∈Q}；E={a+b∣a，b∈Q}…均是数域，故数域有无数多个。解答：(3)(4)思考题（高难度，分类讨论）：对于函数f(x)，若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))=x，则称x为f(x)的“稳定点”。函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x∣f(x)=x},B={x∣f(f(x))=x}。（Ⅰ）求证：A⊆B；（Ⅱ）若f(x)=ax21，(a∈R，x∈R)且A=B≠φ，求实数a的取值范围。思路：这道题的大体框架和思路与例题相似，只是增加了对未知变量的讨论，使得这题的难道上了好几个层次，B中的方程因式分解难度与复杂程度也大幅增加。分类讨论要注意不重不漏。B中的方程为a(ax21)21=x，整理之后的形式为a3x42a2x2x+a1=0，最难的点在于把a3x42a2x2x+a1=0因式分解成的过程。解答：（Ⅰ）①若A=φ，则A⊆B，符合结论②若A≠φ，则设A中的元素为x，则x一定满足x=f(x)。再将x和f(x)分别看做自变量。∵x=f(x)∴f(x)=f(f(x))又因为已知的x=f(x)，故而x=f(f(x))即x也满足B中的条件，x也是B中的元素。∴对于x∈A，x∈B∴A⊆B结合①②，∴A⊆B（Ⅱ）⒈当a=0时，f(x)=1，f(f(x))=1，A=B={1}≠φ⒉当a≠0时，由A≠φ可知∆=1+4a≥0。解得a≥由于在集合中两个相同的根对应一个元素，两个相异的根对应两个元素，差异较大，故谨慎起见，我们在(2)的情况下再对a=和a＞再分小点讨论。⑴当a=时，f(x)=x21，由f(x)=x解得x=2，即A={2}此时B中的方程为由x24x+20=(x2)2+16≥0可知B中对应方程的解也只有2，即B={2}=A符合题意⑵当a＞时，解A中的方程（求根公式）得x1=，x2=由第（Ⅰ）问我们已证得A⊆B，即x1、x2也是B中对应方程的解。故B中方程一定可写成的形式。再此基础上我们对B中的方程进行因式分解得a(ax21)21=x令第一个因式为0，得到x1，x2；令第二个因式为0，得到的根为x3，x4。接下来就是讨论