第7.3.1讲离散型随机变量的均值-2023-2024学年新高二数学宝典（人教A版2019选修第三册）

第七章随机变量及其分布第7.3.1讲离散型随机变量的均值班级_______姓名_______组号_______1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．掌握两点分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．1、离散型随机变量的均值2、离散型随机变量的均值的性质3、综合应用一、离散型随机变量的均值1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．两点分布的均值一般地，如果随机变量服从两点分布，那么E(X)＝p．离散型随机变量均值的性质均值的性质(1)若X为常数c，则E(X)＝C．(2)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝aXi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．题型1、离散型随机变量的均值1．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，满足的数组有：，共4个，所以，满足的数组有：，，共18个，所以，满足的数组有：，，，，共24个，所以，满足的数组有：，，，，，，共18个，所以，所以X的数学期望.故选：D.2．从120中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53【答案】B【分析】确定随机变量的取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率，即可计算出期望.【详解】随机变量的取值为0，1，2，当时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19种情况，其中相邻两数取1，2和19，20时，对应取法为17种，其余17种情况取法均有16种，，当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，，.故选：B.3．从120中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．【详解】随机变量的取值为0,1,2，当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，，当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，，.故选：B.4．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意可得的可能取值为2,3,4,5…,n，求出对应的概率并运算得.【详解】由题意可得的可能取值为2,3,4,5…n，，，,…，，，①则，②①②得，，即得.当时，.故选：A.5．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可.【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.且，，.因此X的分布列为：X234P则，故选：C.求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键．题型2、离散型随机变量的均值的性质6．已知随机变量X的分布列如下：X－101P设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【答案】C【详解】随机变量X的数学期望为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的数学期望为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.7．已知随机变量X的分布列为X123P且，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.【详解】结合题意：，因为，所以，解得：，故选：A.8．随机变量的概率分布为1240.40.30.3则等于（

）A．11 B．15 C．35 D．39【答案】B【分析】先根据分布列求出，再根据期望的性质可求得答案【详解】由题意得，所以,故选：B9．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果.【详解】的可能取值为0，1，2，则，，，所以，故．故选：A．10．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断.【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则，故，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，则一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).题型3、综合应用11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式可得，分析可知X的可能取值为，进而求分布列和期望.【详解】因为，且，解得，由题意可知：X的可能取值为，则，，，则X的分布列为：X0123所以.故选：C.12．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.【详解】∵，，∴，∵，，二次函数在区间上单调递减，∴，，且.故选：D13．已知随机变量满足，且．令随机变量，则（

）A． B．C． D．和大小不确定【答案】B【分析】根据离散型分布列均值的计算公式，可得答案.【详解】由题意，，由，当时，；当时，.所以，，，，由，则，所以.故选：B.14．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可.【详解】选对得6分，选错扣分.，则有，则.故选：B.15．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由数学期望计算公式及概率和为，构造方程组求得，进而得到结果.【详解】，①；又②，由①②可解得：，，.故选：A.一、单选题1．已知随机变量的分布为，则（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据数学期望的公式进行求解即可。【详解】因为随机变量的分布为，所以，故选：C2．已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据随机变量的期望公式，求出的值即可.【详解】因为随机变量的分布列为，、、，所以随机变量的期望.故选：A.3．下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量的均值，则D．离散型随机变量的均值【答案】B【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；由离散型随机变量的均值为即可得D选项.【详解】对于，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在上，故错误，对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，故B正确，对于C，离散型随机变量的均值，则，故C错误，对于D，离散型随机变量的均值，故D错误．故选：B．4．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）故选：B5．已知离散型随机变量的期望，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用期望的性质即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：C.6．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到的数学期望，得到不等式后求解即可.【详解】由题意得，的所有可能取值为1,2,3，，所以，令，解得或，又因为，所以，即的取值范围是.故选：B7．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可；【详解】设试验成功的概率为，解得：；记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1，,则随机变量X的数学期望,故选：A.8．一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个.现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据题意可知橘黄色球的个数X的所有可能取值为，分别计算出其概率即可得出结果.【详解】由题意可知取出的橘黄色球的个数X的所有可能取值为，则，,；所以可得.故选：D9．设随机变量X的分布列为(k＝1，2，3，4)，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数学期望的计算公式直接求解即可.【详解】.故选：A10．2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（

）A．300元 B．元 C．350元 D．元【答案】B【分析】求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望.【详解】由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，，，，，所以数学期望（元）．故选：B．二、多选题11．设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据题意可知，结合求得，进而逐项分析判断.【详解】由题意知，则，解得，可得，，．故选：AC．12．随机变量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性质根据求出，再根据分布列求出随机变量的均值和的值，联立即可求解.【详解】根据分布列可知①，因为，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②联立解得，，故选：BCD三、填空题13．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望；P【答案】【分析】根据分布列的性质，求得，求得，结合，即可求解.【详解】由分布列的性质，可得，解得，所以，则.故答案为：.14．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是【答案】【分析】分别求得，，，利用期望的公式，求得，结合题意，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，，所以期望为，令，即，解得或，又由，可得，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题15．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．(1)求的值；(2)求随机变量X的分布列和数学期望．【详解】（1）根据题意可知，“”指事件“取出的个球中