专题6-4数列的通项公式8大考点（原卷版）

专题64数列通项的求法8大考点知识点1数列的递推公式1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an知识点2数列通项公式的求法1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解6、取倒数法求通项：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解7、三项递推构造：适用于形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．8、不动点法（1）定义：方程的根称为函数的不动点．利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列中，已知，且时，（是常数），=1\*GB3①当时，数列为等差数列；=2\*GB3②当时，数列为常数数列；=3\*GB3③当时，数列为等比数列；=4\*GB3④当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．(其中、可利用，求得)一、观察法的解题规律观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：=1\*GB3①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考虑各项的变化规律与序号的关系．=3\*GB3③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．二、公式法求通项公式的策略1、已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2、Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．二、累加法解题策略形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．三、累乘法解题策略形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．三、构造法求通项的几种常见类型及技巧1、类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出2、类型二：形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。3、类型三：当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．考点一观察法求通项公式【例1】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（）个球．A．12B．20C．55D．110【变式11】（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第个图中图形的边数为，第个图中图形的周长为，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．数列的前项和为【变式12】（2023·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（

）A．B．C．存在正数，使得恒成立D．【变式13】（2023·全国·高三专题练习）某数学兴趣小组将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行数列为1，2；得到第二行数列1，2，2；得到第三行数列1，2，2，4，2，…，则第5行从左数起第6个数的值为；用表示第n行所有项的乘积，，则数列的通项公式为．【变式14】（2023·全国·高三专题练习）如图，作一个白色的正三角形，第一次操作为：挖去正三角形的“中心三角形”（即以原三角形各边中点为顶点的三角形），这样就得到了三个更小的白色三角形；第二次操作为：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”；以此类推，第次操作为：挖去第次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”，得到一系列更小的白色三角形．这些白色三角形构成的图案在“分形几何学”中被称为“谢宾斯基三角形”，记第次操作后，“谢宾斯基三角形”所包含的白色小三角形的数目为，“谢宾斯基三角形”的面积（所有白色小三角形的面积和）为，周长（所有白色小三角形的周长和）为．（1）求数列的通项公式；（2）若最初的白色正三角形的周长为1，求数列和的通项公式．考点二Sn与an型求通项公式【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，，则（）A．2021B．2022C．2023D．2024【变式21】（2023秋·贵州贵阳·高三校考开学考试）设等比数列的前项和为，已知，，则（）A．80B．160C．121D．242【变式22】（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（）A．B．C．D．【变式23】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若满足，则（）A．B．C．D．【变式24】（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（）A．B．C．数列为等差数列D．－5050考点三累加法求通项公式【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为．【变式31】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则等于（）A．B．C．D．【变式32】（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《解析九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（

）A．156B．157C．158D．159【变式33】（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（）A．B．C．D．【变式34】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，若，则（）A．8B．9C．10D．11考点四累乘法求通项公式【例4】（2023·河南·高三模拟预测）已知数列满足，，则（）A．2023B．2024C．4045D．4047【变式41】（2023·全国·高三专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（）A．B．C．D．【变式42】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（）A．46B．49C．52D．55【变式43】（2023·全国·高三专题练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是3，且，，则（）A．B．C．D．【变式44】（2022秋·湖南常德·高三校考阶段练习）在数列中，，，，则（）A．B．C．D．考点五构造法求通项公式【例5】（2023秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数．【变式51】（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（）A．50B．51C．52D．53【变式52】（2023·全国·高三专题练习）在数列中,,,则（）A．是等比数列B．是等比数列C．是等比数列D．是等比数列【变式53】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【变式54】（2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则．【变式55】（2023春·河南洛阳·高三校考开学考试）在正项数列中，，前项和满足，则（）A．72B．80C．90D．82【变式56】（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是．考点六取倒数法求通项公式【例6】（2023·全国·高三对口高考）数列中，，，则．【变式61】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则正整数的值为.【变式62】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则．【变式63】（2020·福建泉州·高三校联考期中）已知数列的