特色题型专练03 最值问题-相似、三角函数、二次函数（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之最值问题——相似、三角函数、二次函数相似题型一、手拉手最值1．如图，在中，，点是中点，是直线上一动点，连接，以为斜边在其左侧作，使，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接．由题意易证，即得出，，从而得出，即又易证，得出．再根据勾股定理可求出，从而得出，即说明当最小时，最小．又根据当时，最小，结合三角形相似的判定和性质求出此时的值，即如图的值，进而即可求出的最小值．【详解】如图，连接．∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，∴，∴，∴当最小时，最小．∵点P是直线上一动点，∴当时，最小，如图即为最小时，此时所作的三角形为．∵点是中点，∴，∴．又∵，∴，∴，即，解得：，即的最小值为，∴，解得：．故选D．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，较难．证明出当时，最小，此时最小是解题关键．2．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边BC上一个动点，连接AE，取AE的中点G，点G绕点E顺时针旋转90°得到点F，连接DF、DE，EFD面积的最小值是（

）A．15 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，由旋转的性质得，，再证，得，设，则，，，然后由梯形面积公式和三角形面积公式求出，由此即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，则，四边形是矩形，，，，，，四边形是梯形，由旋转的性质得：，，，，，为的中点，，，设，则，，∴，，当时，面积取得最小值，最小值为15，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，证明是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点M为边BC的中点，P是直线AD上的一个动点，以MP为边在MP右侧作RtMPQ，且PM＝PQ，连结AM，AQ，则AMQ周长的最小值为．【答案】＋【分析】因为△AMQ的周长为AM＋AQ＋MQ，其中AM的长可以由直角△ABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得AQ＋MQ的最小值即可，由题意可得，点A，M为定点，Q为动点，即“一动两定”问题，只需要找到动点Q的运动轨迹即可，过A作AM⊥AN，使AN＝AM，先证△MAN∽△MPQ，再证△MAP∽△MNQ，得到∠MAP＝∠MNQ，延长NQ交直线AD于H，可以得到∠NHO＝45°，则Q点在经过N点，且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，此题就变成了“在直线NH上找一点Q，使AQ＋QM最小“的将军饮马问题，所以过A作关于NH的对称点K，连接KM交NH于Q，AQ＋MQ的最小值为MK，利用勾股定理可求出KM的值，即可解决．【详解】解：如图1，过A做AN⊥AM，使AN＝AM，连接MN，NQ，则∠AMN＝∠ANM＝45°，∵△MPQ是直角三角形，且PM＝PQ，∴∠PMQ＝∠AMN＝45°，∠MAN＝∠MPQ＝90°，∴△AMN∽△PMQ，∴，∵∠AMN＝∠PMQ，∴∠AMP＝∠NMQ，∴△MAP∽△MNQ，∴∠MAP＝∠MNQ，延长MQ交AD于H，设AD与MN交于点O，则∠AOM＋∠AMN＝∠NOH＋∠NHO，∵∠AOM＝∠HOH，∴∠NHO＝∠AMN＝45°，∴直线NH与直线AD夹角为45°，∴Q在经过N点且与直线AD夹角为45°的直线NH上运动，如图2，过M作ME⊥AD于E，过N作NF⊥AD于F，则∠AEM＝∠NFA＝90°，∴∠NAF＋∠MAE＝∠MAE＋∠AME＝90°，∴∠NAF＝∠AME，在△AME与△NAF中，，∴△AME≌△NAF（AAS），∴AE＝NF，EM＝AF，∵M是BC的中点，BC＝8，∴BM＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABM＝∠BAD＝∠AEM＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴NF＝AE＝BM＝4，EM＝AB＝AF＝5，在直角△NHF中，∠NHF＝45°，∴∠FNH＝∠NHF＝45°，∴FH＝NF＝4，∴AH＝AF＋FH＝5＋4＝9，在直角△ABM中，AM＝＝，如图3，过A作关于直线NH的对称点K，连接KM交直线NH于点Q，此时NH垂直平分AK，则AQ＝QK，∴AQ＋QM＋AM＝QK＋QM＋＝MK＋为△ABC的周长的最小值，连接KH并延长交BC于T，则∠KHN＝∠AHN＝45°，KH＝AH＝9，∴∠AHK＝90°，∵AD∥BC，∴∠MFK＝∠AHK＝90°，∵∠MTK＝∠THA＝∠MEH＝90°，∴四边形EMTH为矩形，∴MT＝EH＝AH−AE＝8−4＝5，HT＝EM＝AB＝5，在直角△MTK中，KT＝KH＋HT＝14，MT＝5，∴MK＝＝，∴△AMQ的周长最小值为＋，故答案为：＋．【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将AQ＋QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键，找到动点Q的运动轨迹是解决本题的突破口．4．如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以，为边作平行四边形，连接，则的最小值为．【答案】【分析】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，作交的延长线于点，交的延长线于点，证明四边形是矩形，再证明，得到，求出，作交的延长线于点，于点，证明，得到，求出，由垂线段最短得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点，∵四边形是矩形，，∴，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，作交的延长线于点，于点，则，∴，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，的最小值为，故答案为：．题型二、面积最值1．如图．已知中，，直线分别交边于点D、E，F是上任意一点，若的面积为24，则面积的最大值为（

）A．12 B． C． D．6【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，三角形面积，过点A作于H，交于G，先根据三角形面积公式求出，设，则，证明，推出，则，由，可得当时，最大，最大值为6．【详解】解：如图所示，过点A作于H，交于G，∵，即，∴，∵的面积为24，∴，∵，∴，设，则∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，最大，最大值为6，故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，，，的圆心为点，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：由题意可得当与相切时，面积最大，然后连接，由切线的性质，根据勾股定理，可求得的长，易证得，根据相似三角形的对应边成比例，易求得的长，继而求得面积的最大值．【详解】解：由图可知：当与相切时，面积最大，连接，

则，，，的圆心为点，半径为1，，，，，，，，即，，，．故选：C．3．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，，E点在直线下方且，连接，则面积的最大值是．【答案】1【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值，作于点，证明，结合，推出，设，，则，，利用三角形面积公式得到，最后根据二次函数的最值，即可解题．【详解】解：作于点，由题知，，，，，，，，，设，，则，，，当时，有最大值为．故答案为：．4．如图，在中，为边上一动点（点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为．【答案】【分析】过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点C作的延长线于点G，先根据等腰三角形三线合一求出的长，再证得，求出的长，再证和全等，得出，最后根据三角形面积公式计算，配方成二次函数顶点式，从而得出面积的最大值．【详解】解：过点A作于点M，过点E作的延长线于点H，过点C作的延长线于点G，由题可得，，，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，设，则，∵四边形为正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴S有最大值，当时，的面积有最大值，是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，配方法等知识点，熟练掌握这些性质是解题的关键．题型三、阿氏圆1．如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在上截取，连接，，，证明，可得，则，当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求．【详解】解：如图，在上截取，连接，，，∵点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴的最小值等于．故选：C．【点睛】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（

）A．3. B．4 C．3 D．5【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得AP+BP有最小值，进而得到答案．【详解】解：如图，连接CP，作PE交AC于点E，使∵∴∽∴∵∴∴，当B、P、E三点共线，即P运动时有最小值EB∵∴∴∴的最小值为故选：D．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．3．如图，半圆的半径为1，为直径，、为切线，，P为上一动点，求的最小值．【答案】【分析】取CO中点M，利用相似三角形的判定和性质推出，利用勾股定理即可计算求解．【详解】∵OA=AC=1，AC是切线，∴∠CAO=90°，∴CO=，连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，∴OM=，∴，∠POM=∠COP，∴，∴，∴，∴，过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，∴，MN=，∴，∵BD是切线，BD=2，∴∠ABD=90°，∴四边形MNBH为矩形，∴，BH=MN=，，∴∴，即最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是取CO中点M，利用相似三角形的性质求解．4．如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值．的最小值【答案】【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，在Rt△GDF中，DG，故答案为：；②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．∵四边形ABCD是菱形，且，∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2BO=，∴，，∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，在Rt△BMN中，∠CBO=30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值为．【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．题型四、其它最值1．如图，矩形ABCD中，点在边上，，点是矩形内一动点，满足，连接绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查相似三角形，旋转的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形确定点点的运动路线是解题的关键．取的中点O，再把绕点逆时针旋转至，连接，则有，即可求出，然后过点作于点G，连接，利用勾股定理可以得到再根据求出结果．【详解】解：如图，取的中点O，再把绕点逆时针旋转至，连接，∵，∴，根据旋转可得：，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点在以为圆心，为半径的圆上移动，

过点作于点G，连接，

则是矩形，∴，，∴，∴∴，故选B．2．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案；【详解】解：如图过C作，取，过点E作于点H，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴当、、三点共线时最短，∴，∴，故选B；

【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题．3．如图，在中，，于点，于点．交于点，点在直线上运动，，，，当取最小值时，的长为．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．如图，连接，．证明，推出，推出，推出点的运动轨迹是直线，推出当时，的值最小，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，最小值，此时，，故答案为：．4．如图，在四边形中，，则对角线的最小值为．【答案】1【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边的关系等知识，准确构造出相似三角形对线段进行转化是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，且设则当最小时，最小最小为最小为故答案为：1．三角函数题型一、胡不归1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，∴，∴，∴直线PD的解析式为；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，∴的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可．【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则，，则，，，为等边三角形，，．垂直平分，，．当、、共线时，的值最小，最小值为的长，在Rt△ABC中，，即，的最小值为．故选：B．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是．【答案】【分析】过点作直线交轴于点，使，过点作，交于点，利用三角函数以及垂线段最短将转化为垂线段的长，再利用三角函数、勾股定理求解即可．【详解】解：过点作直线交轴于点，使，过点作，交于点，

在中，，，设，则，，即，解得，，，，在中，，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，是直角三角形，，，，，，在中，，，的值最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查三角函数、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角函数正弦值巧妙用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点C坐标为，点B为线段上一个动点，则的最小值为．

【答案】【分析】构造含的直角三角形，利用轴对称进行线段之间的转化，将所求问题转化为垂线段最短问题，再利用三角函数求解即可．【详解】解:如图,作射线使,与x轴交于点D，作C点关于y轴的对称点M，过B点作于D，过M点作于D，

∴，，，∵点A坐标为，点C坐标为，∴，，∴，∴，∴，∵,∴的最小值为．【点睛】本题考查了解直角三角形、轴对称、含角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是理解题意，会构造直角三角形，正确作出辅助线．题型二、其它最值1．如图，是等边三角形，，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．【答案】D【分析】作于M，于N，设，则，由旋转的性质易得，然后分D在上时和D在的延长线上时，分别通过勾股定理计算出，然后利用二次函数的最值解答即可．【详解】解：作于M，于N，如图所示：设，∵为等边三角形，∴，，∵为的中点，∴，在中，，∵线段绕点E逆时针旋转，得到线段，∴，，∵，∴，∴，∴，当D在上时，，，在中，，当D在的延长线上时，如图所示：，，在中，，当时，有最小值，∵，∴的最小值为：，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等，涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键．2．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【答案】D【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，∴，∴，∴，∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；在中，，∴，∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴的最小值为，∴的最小值为：，故选：D．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作于，连接，取中点，连接，则线段的最小值为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，取中点，过作于点，作于点，根据四边形为矩形，四边形为矩形，得出，，，，由，设，则，根据勾股勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】如图，取中点，过作于点，作于点，∴四边形为矩形，四边形为矩形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，同理，∵是中点，是中点，∴，，∴，，在中，由勾股定理得，当时，由最小值，∴最小值为，故答案为：．4．如图，为菱形对角线的交点，点和点分别在边和边上，且满足，连接，若菱形的边长为10，，则长度的最小值为．

【答案】【分析】连接、，过点E作交于点H，设，，则，再表示出，根据，列出关于的二次函数即可求得最小值．【详解】解：连接、，过点E作交于点H，

，又，，，四边形为菱形，，即为的角平分线，O到、的距离相等，、的高相同，，四边形为菱形，，，，设，，则，，，,，，开口向上，当时，取得最小值为80，，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、二次函数的应用，解题的关键是作出辅助线，利用二次函数求得最小值．二次函数题型一、将军饮马1．如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，对称轴直线上有一个动点，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③的周长的最小值为，其中正确的结论有（

）．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，进而可判断②，由②得抛物线与轴的另一个交点为，则设，连接，交对称轴于，根据抛物线的对称性得则此时的周长最小，利用勾股定理得，，进而可判断③，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：①由对称轴，得，①正确；②点，对称轴为，抛物线与轴的另一个交点为，则②正确；③由②得抛物线与轴的另一个交点为，则设，连接，交对称轴于，如图：根据抛物线的对称性得则此时的周长最小，当时，则，，在和中，根据勾股定理得：，，的周长的最小值为．则③正确，故选A．2．已知二次函数的部分图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②；③若时，，则点的坐标是；④若时，，则周长的最小值是．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②③【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数与轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质，由图象可得二次函数与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，从而得到二次函数与轴的另一个交点为，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；待定系数法求出二次函数解析式为，由此即可判断③；作原点关于直线的对称点，则，连接交直线于，此时的值最小，此时周长有最小值，求出，从而即可得出答案，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：二次函数与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点为，关于的方程的解是，，故①正确，符合题意；由图象可得，当时，，故②正确，符合题意；若时，，二次函数的顶点坐标为，将，，代入二次函数可得，解得：，二次函数的解析式为：，在中，当时，，，故③正确，符合题意；若时，，此时，，，如图，作原点关于直线的对称点，则，连接交直线于，，，此时的值最小，此时周长有最小值，，周长的最小值为，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，故选：D．3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是．【答案】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，即可求解，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．【详解】对于，令，则，令，解得或，故点、、的坐标分别为、、，函数的对称轴为，则点，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，∵点、关于轴对称,则，则为最小，则最小，故答案为：．4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是．

【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

∵，∴，∴当与点重合时，取得最小值，最小值为，∵，当时，，则当时，，解得：,∴，∴即的最小值为，故答案为：．题型二、对称轴最值1．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（

）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质和一次函数的性质．利用二次函数的性质表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质求解．【详解】解：由题意得二次函数，开口向下，且对称轴为，当时，y随x增大而增大，，即是m的一次函数，∵，则，∴一次函数呈上升趋势．则有最小值，没有最大值．故选：C．2．已知二次函数在时有最小值，则()A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数对称轴为直线，当时，在时有最小值，当时，，；当时，在时有最小值，当时，，；综上所述，或，故选：B．3．已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，则的值为．【答案】2【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．根据题意可得二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，从而得到当时，；时，函数值为，据此即可解题．【详解】解：二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，．二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图.

∴，则，当时，函数的最小值为，当时，，时，函数的最小值为，时，函数值为，即解得：（因，故另一解不合题意，舍去），故答案为：2．4．已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为．【答案】1或【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数开口向下，对称轴为直线，∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，当时，则当时，y有最小值，∴，∴，解得或，都不符合题意；当时，则当时，y有最小值，∴，∴，解得（舍去）当时，则函数在或处取得最小值，当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；当时，在处取得最小值，此时或（舍去）；综上所述，或，故答案为：1或．题型三、铅锤高1．如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用配方法来求最值问题．【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点，令，得，，令，即，解得或，,设直线的表达式为，将，代入，解得，直线的表达式为，设，则，，，当时，最大，最大面积为．故选：C．2．如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为2 D．周长的最大值为【答案】D【分析】首先求出直线解析式；设，则可得点H的坐标，从而可求得及其最大值；由已知可得，，由勾股定理得，周长为，因而可作出判断．【详解】解：设直线解析式为，则有，解得，∴直线解析式为；设，则点H的坐标为，∴，配方得：，当时，有最大值；∵，，∴；∵轴，轴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选项C错误；∴由勾股定理得；∵，∴，由勾股定理得，即∴的最大值均为，故选项A、B错误；∵周长为，∴当最大时，周长也最大，且最大值为：，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键．3．如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．

（）的值为．（）长度的最大值为．【答案】【分析】（）把代入求出点坐标，再代入即可求解；（）设点的横坐标为，的长度为，分别求出点和点的纵坐标，可得，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：（）把代入得，，∴，把代入得，，解得，故答案为：；（）设点的横坐标为，的长度为，则点的纵坐标为，∵轴，∴点的横坐标也为，∴点的纵坐标为，∴，∴是的二次函数，∵，∴当时，取最大值，此时，，∴长度的最大值为，故答案为：．4．如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是．（所有正确的序号都填上）【答案】①②【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识．中令得：，得，从而判断①；中令得：，得，从而判断②；过点作轴，交于点，求出的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．【详解】解：∵抛物线与x轴相交于于点，，∴令得：，解得：，∴，∴，故①正确；∵抛物线与y轴相交于于点C，∴令得：，∴，∴，故②正确；过点作轴，交于点，如图1所示．设直线的解析式为，将、代入，得，解得，直线的解析式为．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，点的坐标为，则点的坐标为，，，当时，面积取最大值，最大值为．故③错误，故答案为：①②．题型四、其它最值1．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，解得：；综上可得：的最大值和最小值