特色题型专练06 最值问题-四边形（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之最值问题——四边形题型一、将军饮马(最小值)1．如图，菱形中，是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是，则长为（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接，由菱形的性质得到，垂直平分，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，则；证明是等边三角形，得到，，求出，则．【详解】解：如图所示，连接，由菱形的性质可得，垂直平分，∴，∴，∴当三点共线时，最小，即此时最小，∴，∵，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，，∴，∴，故选；A．2．如图，在边长为2的正方形中，点Q是的中点，点P是对角线上一动点，连接，，则周长的最小值是（

）

A．5 B． C．8 D．【答案】D【分析】本题考查了正方形的对称性，线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点B与点D是对称点，连接，交于点P，此时周长最小，结合边长为2的正方形中，点Q是的中点，得到，根据勾股定理计算即可．．【详解】∵边长为2的正方形中，点Q是的中点，∴，点B与点D是对称点，

连接，交于点P，此时周长最小，∴，∴周长的最小值是，故选D．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是．【答案】5【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解．【详解】解：在中，当时，，∴，∴；当时，，解得：，，∴，，∴，；过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图，∴，，∵，，∴四边形是正方形，且，∴点O与点T关于直线对称，∴，∴，∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，∵，，∴的最小值，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键．4．如图，在正方形中，是上一点，，，则，若是上一动点，则的最小值是．【答案】810【分析】首先根据题意解得、的值，再根据正方形的性质求得的值；连接，交于，连接，则此时的值最小，由题意易知关于对称，进而可得，所以，利用勾股定理解得的值，即可获得答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵四边形为正方形，∴；如下图，连接，交于，连接，则此时的值最小，∵四边形是正方形，∴关于对称，∴，∴，∵，，∴，故的最小值是10．故答案为：8，10．【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．题型二、中位线最值1．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为，的中点，连结．若，，则的最小值为（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：四边形是菱形，，，分别为，的中点，是的中位线，，当时，最小，得到最小值，则，，，，即的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．2．如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是菱形，，，分别为，的中点，是的中位线，，当时，最小，得到最小值，则，，是等腰直角三角形，，，即的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为.【答案】【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差．【详解】解：如图，连接，过A作于M；则；∵四边形是平行四边形，且，∴，∴；∴；∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得；∵点为的中点，点为的中点，∴；当G与C重合时，最长且为，此时；当G与M重合时，最短且为，此时；∴的最大值与最小值的差为．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．4．如图，在菱形中，，，E，F分别是过，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值，当时，根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是菱形，∴，∵G，H分别为，的中点，∴是的中位线，∴，当时，最小，得到最小值，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．题型三、两动一定1．已知矩形中，，M，N分别是上的动点，则的最小值为（）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】作点关于的对称点，交于点，连接，先根据轴对称的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，取得最小值，然后根据含角的直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得．【详解】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接，

由轴对称的性质得：，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，由垂线段最短得：当时，取得最小值，在矩形中，，，∴，∴，，在中，，，又，，故的最小值为9．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短得出当时，取得最小值是解题关键．2．如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【答案】B【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答．【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：

由对称性可得，，当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线．3．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、边上的点，且的长为4，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为．【答案】/【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．作点A关于的对称点H，连接，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，如图所示：∵，∴当H、P、G、D共线时，最小，∵，，∴，，∵的长为4，点为的中点，∴，∴，故答案为：．4．如图，在正方形中，点E在边上，，点P、Q分别是直线上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，若正方形的边长是6，则的最小值是．【答案】【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．作点D关于的对称点，连接，由轴对称可知，，，又，即可推出当共线时，定值最小，最小值为．【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接，在中，∵，，∴，由轴对称可知，，∴，∵，当共线时，定值最小，最小值为，∴的最小值是，故答案为：题型四、两定一定长1．如图，，，为中点，长为1的线段（点在点的下方）在直线上移动，连接，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小．【详解】解：如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小．，，四边形是平行四边形，，，关于对称，，，，此时的值最小，最小值，故选：B．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型．2．如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（

）

A． B． C． D．10【答案】A【分析】取的中点Q，连接，，证明四边形为平行四边形，求出，最后用勾股定理求出最小值.【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：

∵正方形的边长为10，∴,，∵是正方形的对角线，∴，∵是的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∵，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，∵点Q时的中点，∴，由勾股定理得，，故选：A．【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.3．如图，在矩形中，，，点分别是上的点，，垂足为点，连接，则的最小值为．【答案】/【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点作交于点，则，，∵，，∴，∵，，，∴∵，∴，∴，即，解得，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，故答案为：．4．如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为．【答案】【分析】过点作于点．利用相似三角形的性质求出，设，则，，，求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接，则，由，可得结论．【详解】解：如图，过点作于点．四边形是矩形，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，设，则，，，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接，，，，，的最小值为，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．题型五、两点最值1．如图，矩形中，，，点E在边上，且，F为边上的一个动点，连接，过点E作交直线于点G，连接，若P是的中点，则的最小值为（

）

A． B．6 C．5 D．【答案】A【分析】先找出P点的运动轨迹.作于，连接交于点O，作交的延长线于.当F点与A点重合时，G点与点重合，此时P点与O点重合.当F点与B点重合时，G点与点重合，此时P点与C点重合，因此P点的运动轨迹就是线段当时，的值最小.由,列比例式求出的长即可.【详解】

解：∵四边形是矩形，且当点F与点A重合时，作于则四边形是矩形.连接交于点O，则O点是的中点，也是的中点，此时，P点与O点重合.当F点与B点重合时，作交的延长线于，，.又，，.

，，解得.设的中点为,则，∴点与C点重合，∴P点的运动轨迹是线段.当时，的值最小.∵O点是的中点，C点是的中点，∴是的中位线．∴，，.，，，.

，

.，解得.故选：A.【点睛】本题是一道矩形中的动点问题，难度较大.主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，综合性较强.解题的关键是要找出P点的运动轨迹.2．如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于H，证明，得=定值，则点G在射线HF上运动，故当时，CG的值最小，再证，可知，利用等积法求出HE的长即可．【详解】解：如图，作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于E，∵四边形ABCD为矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴=定值，∴点G在射线HF上运动，∴当时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，∵，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴CG的最小值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题的关键．3．如图，在矩形中，，．点E是上的动点，点F是线段上的点，且，，相交于点P，则的最大值为，最小值为．【答案】【分析】设，可得，，由矩形性质可得，推出，求得，由勾股定理可得，推出，令，则，得出，即可求得答案．【详解】解：设，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，，，∴，，，，∴，，即，∴，在中，，∴，令，则，∴，∵，即，∴，∴，即，∴当时，即时，取得最大值，最大值为：；当时，即时，取得最小值，最小值为：；故答案为：，．【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键．4．如图，正方形的边长为4，E是边上的一点，连接，过B点作于点F，点G与F关于对称，H为的中点，则的最小值为．

【答案】/【分析】将正方形沿着翻折得正方形，连接，，以为直径作，连接并延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，当最小时，的值最小．由点G在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的值最小，过点O作，过点M作的平行线交于，延长交于K，可证得，四边形是矩形，可得，再运用勾股定理即可求得答案．【详解】解：将正方形沿着翻折得正方形，连接，，以为直径作，连接并延长至，使，连接，如图，

∵点为的中点，A点为的中点，∴，当最小时，的值最小．∵，点G与F关于对称，∴，即，∴点G在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的值最小，过点O作，过点M作的平行线交于，延长交于K，则，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴。∴故答案为：【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，圆的性质等，涉及知识点较多，综合性较强，属于填空压轴题．题型六、平行线之间距离最短1．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，对角线的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，取最小值，则是的中位线，得出，即可得出答案．【详解】解：在中，，．四边形是平行四边形，，．当时，线段最短，，是的中位线，，．故选：．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短．熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．2．如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（

）A．3 B．6 C．8 D．【答案】A【分析】根据点到直线垂线段最短及平行线间距离处处相等，结合勾股定理即可得到答案．【详解】解：∵，，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴当时，最小，∵，∴四边形是矩形，∴，故选A．【点睛】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短．3．如图，在中，，，，点是线段上一动点，以，为邻边作，则对角线的最小值是【答案】【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，勾股定理；平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小，根据三角形中位线定理即可求解．【详解】解：如图所示，设交于点，∵平行四边形的对角线的交点是的中点，∴当时，最小，即最小．在中，，，，，，又，是的中位线，，．故答案为．4．如图，三角形材料，，，，点D在边上，添加一块三角形材料，加工成的材料，则的对角线的最小值是．

【答案】3【分析】根据勾股定理求出，易得，则当时，取最小值，根据平行线间的距离处处相等，即可得出．【详解】解：∵，，，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴当时，取最小值，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；平行四边形对边互相平行；平行线间的距离处处相等．题型七、斜中定值最值1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是()

A． B． C． D．8【答案】B【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解．【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，

∵四边形是正方形，边长为4，∴，则，在中，，由勾股定理，得，∵在中，，点E是斜边的中点，∴，由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，故选B．【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．2．如图，已知，线段长为6，两端分别在、上滑动，以为边作正方形，对角线、相交于点，连接．则的最大值为（）

A． B．8 C． D．9【答案】C【分析】取的中点，连接、，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得，再根据勾股定理求得，即可根据“两点之间线段最短”得，则的最大值为，于是得到问题的答案．【详解】解：取的中点，连接、，

，线段长为6，，四边形是正方形，，，，，，的最大值为，故选：C．【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，点，之间距离的最大值是．

【答案】【分析】如图所示，取的中点，连接，，利用勾股定理求出的长，再确定最大时的条件，即可求出答案．【详解】如图所示，取的中点，连接，，

∵四边形是矩形，∴，∵是的中点，∴，∴，∵，是的中点，∴，∵，∴当点，，三点共线时，有最大值，∴最大值，故答案为：．【点睛】此题考查了矩形性质及三角形的三边性质，确定最值条件是解题的关键．4．如图，已知，线段长为6，两端分别在、上滑动，以为边作正方形，对角线、相交于点，连接，则的最大值为．【答案】/【分析】取中点，连接，，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据，可得，，三点共线时，取最大值，最大值为．【详解】解：取中点，连接，，正方形，，点是中点，，，，，，点是中点，，，当，，三点共线时，取最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，利用三角形三边关系求线段的最值等，解题的关键是正确作出辅助线．题型八、矩形对角线最值1．如图，中，，，，是上的动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图所示，连接，可证四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，可求出的值，根据等面积法即可求出的值，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，∴四边形是矩形，∴，当时，的值最小，即线段有最小值，在中，，，，∴，∵，∴是斜边的高，∴，∴，∴线段的最小值是，故选：．【点睛】本题主要考查线段最小值的计算，等面积法求三角形的高，掌握矩形的判定和性质，线段最小值的转换方法，等面积法求高是解题的关键．2．如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为（

）

A． B．5 C． D．2.5【答案】A【分析】连接，先证明四边形是矩形，得出，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果．【详解】解：连接，如图所示：

∵，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，，∴，当时，最短，此时的面积，∴的最小值，∴线段的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为．【答案】/【分析】连接，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：连接，如图，，且，，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小，此时，的面积，，的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，勾股定理，连接，根据，结合正方形的性质得到，根据垂线段最短，可知当时，最小，得出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接，∵四边形是正方形，∴．又于点F，，∴四边形是矩形．∴．当最小时，就最小．根据垂线段最短，可知当时，最小．当时，在正方形中，是等腰直角三角形，在中，根据勾股定理可得，解得．故答案为：．题型九、费马点1．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故选：D．【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【详解】解：如图，将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=30°，AC=2AB=，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE=．故选A．【点睛】本题考查轴对称−最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于．【答案】/【分析】过点P作，垂足为，过点D作，垂足为，交于点，连接，交于点，连接，根据菱形的性质，得到，，由，，结合，推出点三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，进而得到有最小，最小值为，根据，，求出，利用菱形的面积公式即可求出，由菱形的性质，易证，利用三角形的性质得到，即可求解．【详解】解：过点P作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，，连接，交于点，是菱形，，，，，，，，三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，有最小，最小值为，，，，，，，，菱形的面积为：，，，，，，，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确做出辅助线证明三角形相似是解题的关键．4．如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为．【答案】/【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可．【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至，∴，，，，∴和都是等边三角形，∴，，，∴，∴当六点共线时的值最小．连接，∵，，∴是等边三角形，∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上，∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分，∴，四边形是矩形，∴，，∴，同理可求，∴，即的值最小为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．题型十、隐直线A1．如图，在矩形中，，动点满足，则点P到两点距离之和的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过P点作，交于M，交于N，作A点关于的对称点，连接交于点P，即为所求，由面积关系可得，在中求出即可．【详解】解：过P点作，交于M，交于N，作A点关于的对称点，连接交于点P，

∴，此时的值最小，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，在中，．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．如图，在长方形中，，，动点P满足，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查矩形性质，勾股定理．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案．【详解】解：设中边上的高是，∵在长方形中，，，∴，∵，∴，∴，即，∴动点P在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，则即为最短距离，

，在中，∵，，∴，∴的最小值为，故选：A．3．如图，是长方形内部的动点，，的面积等于9，则点到两点距离之和的最小值为.【答案】【分析】根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为，此时线段最短.【详解】解：∵的面积等于9,BC=6，∴PE=9×2÷6=3，即△BPC得高为3，P点在长方形内部且平行于BC的线段MN上，CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE连接BE交MN与点P此时最短，且=BE在Rt△BCE,所以BE=故答案为【点睛】本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.4．如图，动点P在矩形内运动，，，且满足，的最小值是．

【答案】【分析】首先由，得出动点P在与平行且与的距离是3的直线上，作关于直线的对称点E，连接，连接，则的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．【详解】设中边上的高是h，则，解得，∴动点P在与平行且与的距离是3的直线上，作关于直线的对称点E，连接，连接，则的长就是所求的最短距离，如图：

在中，，，∴，即的最小值是；故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．题型十一、折叠圆1．如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】先判断出时，最小，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图，由折叠知，，，当时，最小，即，∵，∴，∴点，，在同一条直线上时，最小，由折叠知，，在中，，，∴，∴．故选：A．【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键．2．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得．【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．

过点D作交延长线于G，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴∴，∵E是的中点，，∴，∴∴由折叠的性质可知∴．故选D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．3．如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F．当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，则的最小值是．【答案】/【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，圆外一点到圆的最小距离等，当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，画出图形，由勾股定理解，求出的长，再根据，点P为定点，可知点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，连接，与交点即为所求点F．【详解】解：矩形中，，，，，．当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，如下图所示：设，由折叠的性质可知：，，在中，由勾股定理得，，，在中，由勾股定理得，，解得，．，点P为定点，点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，如图，连接，与交点即为所求点F，，，，，故答案为：．4．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接．则的最小值为．【答案】/【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、以及勾股定理，利用折叠的性质即可知道长度不变，当、、在同一直线上时，的值最小，再根据勾股定理求得的值，即可求得的最小值．【详解】解：由折叠知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，所以当、、在同一直线上时，的值最小，矩形中，，，,在中，由勾股定理可得：，的最小值为：，故答案为：．题型十二、直角圆1．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．以AB为直径画圆，G在圆O上，当O、G、C共线时，CG为最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识解答即可．【详解】解：如图：以AB为直径画圆，G在圆O上，∵∠AGB=90°，∴当O，G，C共线时，CG有最小值，∵CG=又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF，∴∠CBF=∠CGH，又∵∠BCD=∠BCD，∴△CGH∽△CBG，∴∴故答案为C．

2．如图，正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点F是边上的一动点，且，与相交于点P，连接，在F运动的过程中，的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定性质，利用证明，确定点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上，根据圆的性质确定最值，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，∵正方形的边长为4，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点P在以的中点O为圆心，以为半径的正方形内部的圆弧上，连接，交弧于点G，当点P与点G重合时，取得最小值，∵∴，故选：A．3．如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点．（1）连接，则线段的最小值是；（2）取的中点，连接，则线段的最小值是．【答案】【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得°，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和，的值．【详解】解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，连接，∴，，，∵为的中点，∴为的中位线，∴，∴当最短时，最短，∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上，∴当点在上时，最短，，∴，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴的最小值为．故答案为：；．【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三