专题07 解答中档题：实际问题与解三角形（解析版）

专题07解答中档题：实际问题与解三角形1．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）．（3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】（1）实际花了900元购买会员卡；（2）；（3）优惠后油的单价比原价便宜1.00元【详解】（1）由题意知，（元，答：实际花了900元购买会员卡；（2）由题意知，，整理得，关于的函数解析式为；（3）当时，，，优惠后油的单价比原价便宜1.00元．2．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．（用含，，的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度．【答案】（1）灯杆的高度为米；（2）灯杆的高度为3.8米【详解】（1）如图：由题意得：米，米，，，在中，（米，米，灯杆的高度为米；（2）由题意得：米，米，，，，，，，，，，，米，，米，灯杆的高度为3.8米．3．（2021•上海）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．【答案】（1）36万部；（2）手机的下载速度是每秒【详解】（1）（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设手机的下载速度是每秒．则手机的下载速度是每秒．，解得：，（不合题意，舍去），经检验，是原方程的解，答：手机的下载速度是每秒．4．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）该商店去年8、9月份营业额的月增长率为【详解】（1）（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．5．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．（1）求点到的距离；（2）求、两点的距离．【答案】（1）厘米；（2）、两点的距离是厘米【详解】（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示．由题意，得：厘米，．四边形是矩形，，．在△中，厘米．又厘米，厘米，厘米，厘米．答：点到的距离为厘米．（2）连接，，，如图4所示．由题意，得：，，是等边三角形，．四边形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．答：、两点的距离是厘米．6．（2023•徐汇区二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的处，花洒的长度为20厘米．（1）已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离．（结果保留根号）（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？【答案】（1）水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米；（2）这个此款花洒的原价是120元【详解】（1）如图，过点作，作，，垂足分别为，，，，，厘米，厘米，厘米，厘米，，，，厘米，（厘米），答：水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米；（2）设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，根据题意得：，解得或（舍去），经检验：是原方程的解，答：这个此款花洒的原价是120元．7．（2023•杨浦区二模）如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，已知小树的高为1.75米．（1）求直径的长；（2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：，【答案】（1）直径的长为7米；（2）水面的宽度约为6.7米【详解】（1）小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，，，，，米，，（米，答：直径的长为7米；（2）过点作于，并延长交于，连接，如图：，米，的直径为7米，米米，在中，，（米，（米．答：水面的宽度约为6.7米．8．（2023•徐汇区一模）如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆、的长度分别为和，，且连杆、与始终在同一平面内．（1）求点到水平桌面的距离；（2）产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒．现将调节为，此时支架会倾倒吗？（参考数据：，，，【答案】（1）；（2）此时支架不会倾倒【详解】作于，于，，，，．点到水平桌面的距离是；（2）作交延长线于，作于，，，，，，，，此时支架不会倾倒．9．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米小时，在离道路50米的点处建一个监测点，道路的段为监测区．在中，已知，，车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：【答案】车辆通过段的时间在8.196秒以内时，可认定为超速【详解】过作于，如图：由已知可得，米，在中，，，米，在中，，米，米，千米小时米秒，而（秒，车辆通过段的时间在8.196秒以内时，可认定为超速．10．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【答案】（1）她选择优惠活动一会更划算；（2）活动二【详解】（1）选择优惠活动一需支付费用为（元；选择优惠活动二需支付费用为（元．，她选择优惠活动一会更划算；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由如下：设裤子的价格为元，则选择优惠活动一需支付元，选择优惠活动二需支付元，根据题意得：，解得：，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二．11．（2023•虹口区一模）如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知．（1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；（2）现将压柄从图2的位置旋转到与底座成角（即，如图3所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号）（参考数据：，，；，，【答案】（1）；（2）此时液压伸缩连接杆的长为【详解】（1）在中，，，，，．答：的长为；（2）在图3中，过点作于点．在中，，，，，，，．在中，，，，．答：此时液压伸缩连接杆的长为．12．（2023•嘉定区二模）、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从城到城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从城到城的行驶时间减少小时，求的值；（2）如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．【答案】（1）（小时）（2）问列车提速后速度符合规定【详解】（1）列车提速前速度是每小时80千米，提速后速度是每小时100千米，（小时）．（2）列车提速后速度符合规定，理由如下：设列车提速后速度是每小时千米，则列车提速前速度是每小时千米，根据题意得，解得，，经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．提速后速度是每小时120千米，这个速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度符合规定．13．（2023•普陀区一模）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为6米．（1）求的长；（结果保留根号）（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取【答案】（1）米；（2）水池的深约为4米【详解】（1）作，交的延长线于点，则，，，，，，，米，（米，（米，（米，即的长为米；（2）设水池的深为米，则米，由题意可知：，．米，（米，（米，，，解得，即水池的深约为4米．14．（2023•闵行区二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点、、、在同一直线上，，，米；（1）求隧道两端、之间的距离（精确到个位）；（参考数据：，，．（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从、两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？【答案】（1）隧道两端、之间的距离约为1200米；（2）原计划单向开挖每天挖100米【详解】（1），，，在中，，，（米，答：隧道两端、之间的距离约为1200米；（2）设有原计划每天开挖米，则实际每天开挖米，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，答：原计划单向开挖每天挖100米．15．（2023•宝山区一模）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底处测得灯的顶端的仰角为，在坡顶处测得灯的顶端的仰角为，求灯的顶端与地面的距离．（结果保留根号）【答案】灯的顶端与地面的距离为米【详解】过点作于点，过点作于点，由题意得，米，，，，，斜坡的坡度，，即，在中，由勾股定理得，解得，米，米，设米，则米，在中，，解得，米，在中，，，即，解得，米．灯的顶端与地面的距离为米．16．（2023•静安区二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米，小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟，如图反映了这个过程中小明离开家的距离（米与离开家的时间（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）小明从家到街心公园的速度为（米分）；（2）小明从街心公园到超市的速度为（米分）；（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离（米与离开家的时间（分钟）的函数解析式，并写出的取值范围．【答案】（1）45；（2）60；（3）【详解】（1）由图可得，小明从家到街心公园的速度为：（米分钟），故答案为：45；（2）由图可得，小明从街心公园到超市的速度为：（米分钟），故答案为：60；（3）小明从超市骑车返回家时，设他离开家的距离（米与离开家的时间（分钟）的函数解析式是，由图可得，点在该函数图象上，由题意可得，点在该函数图象上，，解得，即小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离（米与离开家的时间（分钟）的函数解析式是．17．（2023•崇明区二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量（瓶与甲种类型消毒剂的数量（瓶之间的函数关系如图所示．（1）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）；（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．【答案】（1）；（2）选购甲消毒液30瓶，选购乙消毒液60瓶【详解】（1）设与之间的函数关系式，把，代入，得：，解得：，与之间的函数关系式为；（2）根据题意得：，整理得，解得或，经检验，是原方程的根，当时，，答：选购甲消毒液30瓶，选购乙消毒液60瓶．18．（2023•长宁区一模）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示：无人机从地面点处沿着与地面垂直的方向上升，至点处时，测得大楼底部的俯角为，测得大楼顶部的仰角为．无人机保持航向不变继续上升50米到达点处，此时测得大楼顶部的俯角为．已知、两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号）【答案】大楼的高度为米【详解】如图：由已知可得：，，米，设米，则米，米，，，解得，米，在中，，，米，答：大楼的高度为米．19．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量（件与每件售价（元之间存在一次函数关系（其中，且为整数），部分对应值如表：每件售价（元91113每天的销售量（件1059585（1）求与的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？【答案】（1），且为整数）；（2）每件生活用品的售价应定为13元【详解】（1）设与的函数解析式为，将，代入得：，解得：，与的函数解析式为，且为整数）；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：每件生活用品的售价应定为13元．20．（2023•金山区一模）如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点处用高的测角仪测得顶部的仰角为，然后沿方向向前走到达点处，在点处用高的测角仪测得顶部的仰角为．求凉亭的高度，，．结果精确到．（参考数据：，，，，，【答案】凉亭的高度约为【详解】延长交于点，如图所示，由题意可得，，，，，，，，，，解得，，即凉亭的高度约为．21．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆的高度．如图，他先在点处放置一个高为1.6米的测角仪（图中，测得旗杆顶部的仰角为，再沿的方向后退3.5米到点处，用同一个测角仪（图中，又测得旗杆顶部的仰角为．试求旗杆的高度．（参考数据：，，【答案】旗杆的高度是12.1米【详解】设直线交于，如图：根据题意，，，米，的等腰直角三角形，，设米，则旗杆高度为米，米，在中，，，即，解得：，，答：旗杆的高度是12.1米．22．（2023•虹口区二模）某商店以20元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的函数关系如图中线段所示．（1）求与的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【答案】（1）；（2）销售单价应定为每千克40元或60元【详解】（1）设与的函数表达式为，将，代入，得：，解得：，与的函数表达式为为．（2）根据题意得：，整理得：，解得：，．答：销售单价应定为每千克40元或60元．23．（2023•青浦区一模）某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度．如图，在处测得路灯顶端的仰角为，再沿方向前行13米到达点处，在处测得路灯顶端的仰角为，求路灯顶端到地面的距离（点、、在一直线上）的长．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，【答案】路灯顶端到地面的距离的长约为8.7米【详解】设的长为米，在中，，米，在中，，米，，解得（米，（米，路灯顶端到地面的距离的长约为8.7米．24．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：【答案】建筑物的高度约为136.6米，的长为130米【详解】过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，米，，，，是的一个外角，，，米，在中，（米，（米，在中，（米，米，（米，斜坡的坡比为，，（米，在中，（米，建筑物的高度约为136.6米，的长为130米．25．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房顶”点到盒底边的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．【答案】（1）房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米；（2）新造型“盒身”的高度为6.5厘米【详解】（1）作，垂足为，交于点，四边形是矩形，厘米，，．厘米，厘米，厘米，（厘米），（厘米）答：房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米；（2）在中，，设厘米，厘米，（厘米），厘米，（厘米），厘米，矩形的面积不改变，，解得或，，或，，，．答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．26．（2023•奉贤区一模）九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案：课题测量教学大楼的高度方案方案一方案二测量示意图测得数据甲楼和乙楼之间的距离米，乙楼顶端测得甲楼顶端的仰角，测得甲楼底端的俯角甲楼和乙楼之间的距离米，甲楼顶端测得乙楼顶端的俯角，测得乙楼底端的俯角，参考数据，，，，，，，，请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米）【答案】方案一，故甲楼和乙楼的高度分别为31米和17米【详解】方案一，在中，由三角函数的定义可得：，（米；中，由三角函数的定义可得：，米，（米，米，米；故甲楼和乙楼的高度分别为31米和17米．27．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡．如果高为3米的标尺竖立在地面上，垂足为，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面上（图．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？【答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；（2）14米【详解】如图1，连接并延长，交于点，由题意可知，米，米，米，，，，，，即，米，（米，标尺与路灯间的距离为8米；（2）如图2，连接并延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点，由题意可得，米，，设米，则米，米，米，米，米，米，米，米，米，，，，，，，，即，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），，则（米，（米，此时标尺与路灯间的距离为14米．28．（2023•普陀区二模）购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打折，店购物的实付总金额（元与商品总金额（元之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．（1）当店购买的商品总金额超过200元时，求出与之间的函数解析式；（2）店推出的促销活动中：；（3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵1元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是800元，而在店的实付总金额是819元请求出店这种型号优盘的单价．【答案】（1）；（2）6；（3）40元【详解】（1）根据图象设当时，与之间的函数解析式为，把，代入解析式得：，解得，当时，与之间的函数解析式为；（2）根据题意得：，解得，故答案为：6；（3）在店购买：当时，，解得，商品总金额为1200元；在店购买商品总金额为：（元，两个商店商品总金额的差为（元，店的单价要比店的单价贵1元，购买优盘的数量相同，店的单价为（元．29．（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点、、在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．（1）求该支架的边的长；（2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，，【答案】（1）该支架的边的长7米；（2）6.5米【详解】（1）由题意得，，米，，，米，，在中，，，即（米，（米，在中，，，即（米，答：该支架的边的长7米；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，，，，，在中，，，即（米，（米，（米，答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米．30．（2023•静安区校级一模）有一把长为6米的梯子，将它的上端靠着墙面，下端放