衔接点20 多力平衡和动态平衡（解析版）

衔接点20多力平衡和动态平衡课程标准初中初中无该知识点高中1.知道建立坐标系的原则.2.会用正交分解法分析平衡问题．3.进一步熟练掌握平衡问题的解法.4.会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题．高中物理新知识、新模型知识点一正交分解法求解多个共点力1．当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法．2．用正交分解法解决平衡问题的一般步骤．(1)对物体受力分析．(2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便．(3)根据共点力平衡的条件列方程：Fx＝0，Fy＝0.知识点二动态平衡1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型．2．基本方法：解析法、图解法和相似三角形法．一、解析法解题步骤：(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式．(2)根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况．二、图解法1．适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化．2．一般步骤：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出构成一个三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，由题意改变方向变化的力的方向．由动态图解可知力的大小变化情况．三、相似三角形法1．适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直．2．解题技巧：找到物体变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化．初、高中物理衔接点一.动态平衡问题1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．2．做题流程受力分析eq\o(→,\s\up7(化“动”为静))画不同状态平衡图构造矢量三角形eq\o(→,\s\up7(“静”中求动))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\o(→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))找关系求极值))3．三力平衡、合力与分力关系如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．二.活结问题如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsinθ1＝Fsinθ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sinθ＝eq\f(d,L1＋L2)＝eq\f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcosθ＝mg，FT＝eq\f(mg,2cosθ)也减小．三.平衡中的临界、极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.2．极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．3．解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．例题1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用FT表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()A．F逐渐变大，FT逐渐变大B．F逐渐变大，FT逐渐变小C．F逐渐变小，FT逐渐变大D．F逐渐变小，FT逐渐变小答案A解析以O点为研究对象，受力如图所示，由共点力的平衡条件知：FT＝eq\f(mg,cosθ)，F＝mgtanθ，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，所以F逐渐变大，FT逐渐变大，选项A正确．例题2.(多选)用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是()A．绳OA上的拉力逐渐减小B．绳OA上的拉力先减小后增大C．绳OB上的拉力逐渐增大D．绳OB上的拉力先减小后增大答案AD解析将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故A、D正确．例题3.如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.在此过程中，杆BC所产生的弹力()A．大小不变 B．逐渐增大C．先增大后减小 D．先减小后增大答案A解析以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反．根据三角形相似得eq\f(F合,AC)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(FN,BC)又F合＝G得F＝eq\f(AB,AC)G，FN＝eq\f(BC,AC)G∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A.例题4.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案C解析A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．对A：FT＝mgsin45°＋μmgcos45°对B：2mgsin45°＝FT＋3μmgcos45°＋μmgcos45°整理得，μ＝eq\f(1,5)，选项C正确．一、单选题1．“安吉游戏”源起浙江省安吉县，是安吉幼儿园“游戏”式的教学方法的简称。“安吉游戏”提倡把游戏还给孩子，让他们在自主、自由的游戏中学习。如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为（为锐角），挡板对篮球的弹力为，斜面对篮球的弹力为，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是（）A．斜面对篮球的弹力小于挡板对篮球的弹力B．斜面对篮球的弹力小于篮球重力GC．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，减小D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，增大【答案】C【解析】AB．对篮球受力分析如图所示

设篮球质量m，由于篮球处于静止状态，所以和的合力大小等于，则有故故AB错误；CD．对篮球进行受力分析如图所示

挡板绕O缓慢把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，图中得B缓慢下移，即，则减小，也减小，故C正确，D错误。故选C。2．如图所示上海世博会江苏城市案例馆中的穹形门窗。在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从C点沿支架缓慢地向B点靠近（C点与A点等高）。则绳中拉力大小变化的情况是（）A．先变小后变大 B．先不变后变大 C．先不变后变小 D．先变大后变小【答案】C【解析】当轻绳的右端从直杆最下端移到直杆上端时，如图

设两绳的夹角为，绳子总长为，两直杆间的距离为，由数学知识得到不变，则保持不变，再根据平衡条件可以知道，两绳的拉力F保持不变。当轻绳的右端从直杆的顶端移到B点时，设两绳的夹角为，以滑轮为研究对象，分析受力情况如图

根据平衡条件得得到绳子的拉力在轻绳的右端从直杆最上端移到B点的过程中，减小，增大，则F减小，所以绳中拉力大小变化的情况是先不变后变小。故选C。3．如图所示，OM是竖直的固定挡板，ON是可绕O点转动的木板，两个半径不同的均匀圆柱A、B放置在挡板与木板之间。不计所有摩擦，当木板绕O点缓慢顺时针方向转动到水平的过程中，下列说法正确的是（）

A．A对B的支持力逐渐减小B．木板对B的支持力逐渐增大C．木板对A的支持力大小不变D．挡板对A的支持力大小不变【答案】A【解析】AB.对B受力分析，由三力平衡知

根据正弦定理当木板缓慢顺时针转动到水平的过程中，不变，由钝角变为锐角，变大，所以A对B的支持力逐渐减小，木板对B的支持力先增大后减小。A正确，B错误；CD.将A、B看成整体受力分析

当木板缓慢顺时针转动到水平的过程中，方向不变，根据动态三角形，挡板对A的支持力逐渐减小，木板对A、B总的支持力逐渐减小，因木板对B的支持力先增大后减小，木板对A的支持力不可能不变。CD错误。故选A。4．如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则（）

A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变【答案】C【解析】AB．对足球受力分析如图所示：

设悬绳与坚直方向的夹角为，将网绳在钉子上多绕几圈后，绳子长度减小，增大，由平衡条件可得得网绳的拉力T随着的增大而增大，A错误，B错误；CD．平衡条件可得解得所以墙壁对足球的支持力随着的增大而增大，C正确，D错误。故选C。5．如图所示为某独轮车搬运光滑圆柱体的截面图，两挡板OA、OB可绕O点转动，且保持不变，初始时OB与水平方向夹角为60°。保持O点的位置不变，使两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平。在此过程中关于圆柱体的受力情况，下列说法正确的是（）A．挡板OA对圆柱的作用力一直增大B．挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小C．挡板OB对圆柱的作用力一直增大D．小车对圆柱的作用力先减小后增大【答案】B【解析】由题意可知，初始状态两挡板对圆柱弹力均等于mg，重力个两弹力组成闭合三角形，如图两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平过程中，两挡板弹力夹角不变，则挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小，挡板OB对圆柱的作用力逐渐减小。小车对圆柱的作用力等于mg保持不变。故选B。6．拔河比赛是长郡中学“教师趣味运动会”必备项目，如图甲所示为拔河比赛时一位老师的拔河示意图，可以认为此时处于平衡状态．该情形下可简化成如图乙所示的一质量分布均匀的钢管模型．在拔河时身体缓慢向后倾倒，可以认为钢管与地面的夹角逐渐变小，在此期间，脚与水平地面之间没有滑动，绳子的方向始终保持水平．已知当钢管受到同一平面内不平行的三个力而平衡时，三个力的作用线必交于一点．根据上述信息，当钢管与地面的夹角逐渐变小时，下列说法正确的有（  ）

A．地面对钢管支持力变小 B．地面对钢管的摩擦力变大C．地面对钢管的作用力不变 D．手对绳子的摩擦力方向向左【答案】B【解析】ABC．对钢管受力分析，钢管受重力G、绳子的拉力T、地面对钢管竖直向上的支持力、水平向右的摩擦力可认为钢管受到重力G、绳子的拉力T和地面对钢管作用力F三个力，钢管平衡，三个力的作用线必交于一点，由此可知F方向斜向上，与水平面夹角为，根据共点力平衡条件可知即随着钢管与地面夹角的逐渐变小，地面对钢管支持力（与重力等大反向）的大小不变，地面对钢管的作用力变大，地面对钢管的摩擦力变大，故AC错误，B正确；D．根据相互作用力，手对绳子的摩擦力方向向右，故D错误。

故选B。7．水平固定放置的光滑圆筒横截面如图所示，圆心为O，两个可视为质点的小球固定在质量不计的刚性杆两端，开始时系统处于静止状态，与水平方向的夹角分别为37°和53°。现对小球a施加始终沿圆切线方向的推力F，使小球在圆简内缓慢移动，直到小球b到达与圆心O等高处，已知。下列说法正确的是（）A．质量之比为4：3B．对a施力前，圆筒对的弹力大小之比为3：4C．移动过程杆上的弹力逐渐增加，圆筒对b的弹力逐渐增加D．b到达与圆心O等高处时，F的大小小于b的重力【答案】B【解析】A．对小球a施力前，对受力分析，组成的矢量三角形如图甲所示，由正弦定理有杆对的弹力等大反向，可得A错误；B．由正弦定理有由于有可得B正确；C．移动过程对b受力分析，杆对b的弹力与圆筒对b的弹力间的夹角保持不变，画出力的矢量图如图乙所示，可以看出移动过程先增大后减小，当方向与竖直方向成45°角时达到最大，杆对b的弹力一直增加，小球b到达与圆心O等高处时，达到最大，C错误；D．小球b到达与圆心O等高处时，小球a恰好位于圆筒最低点，对小球b受力分析，此时杆对b的弹力对小球a受力分析，沿圆筒切线方向，有D错误。故选B。8．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平墙上，另一端与一小球相连，在小球上再施加一个拉力使小球处于静止状态，弹簧与竖直方向夹角为，拉力与竖直方向夹角为，且；现保持拉力大小不变，方向缓慢转至水平，则下列说法正确的是（）

A．先增大后减小B．一直减小C．弹簧的弹力先减小后增大D．弹簧的弹力先增大后减小【答案】A【解析】根据题意，对小球受力分析，保持拉力大小不变，方向缓慢转至水平过程中，由矢量三角形可得，如图所示

由图可知，弹簧弹力逐渐增大，先增大后减小。故选A。9．如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为O，两根不可伸长的轻绳A、B一端系在圆环上，另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，重物静止，结点位于O点，A绳竖直，B绳与A绳的夹角。现保持结点位置和B绳的方向不变，让A绳绕着O点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的是（）A．开始时，B绳上的张力不为零 B．A绳上的张力一直减小C．A绳上的张力先增大后减小 D．B绳上的张力一直增大【答案】D【解析】A．开始时，重物受力平衡，假设B绳上的张力不为零，则A绳不可能竖直，A错误；BCD．A绳从竖直转到水平过程，设A、B绳上的张力分别为、，则该过程中结点的受力情况如图所示，由力的矢量三角形知，A绳上的张力先减小后增大，B绳上的张力一直增大，BC错误，D正确。故选D。10．在如图所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接，且系统均处于静止状态。现用等长的轻绳来代替轻杆，使系统依然保持平衡，下列说法正确的是（）

A．图中的AB杆可以用轻绳代替的是甲、乙、丁B．图中的AB杆可以用轻绳代替的是甲、丙、丁C．图中的BC杆可以用轻绳代替的是乙、丙、丁D．图中的BC杆可以用轻绳代替的是甲、乙、丁【答案】B【解析】图甲、丙、丁中，AB杆对B点产生的是拉力，当用轻绳代替时效果不变，仍能使装置平衡，故AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有图甲、丙、丁；同理可知，BC杆可以用轻绳代替的只有图丙。故选B。二、多选题11．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（）A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移【答案】AB【解析】如图所示，两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的。假设绳子的长度为x，则有绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变。AC．两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A正确，C错误；B．当N向右移动后，根据，即L变大，绳长不变，所以θ角减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉力变大，B正确；D．绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误。故选AB。12．如图所示，轻弹簧上端固定，另一端连在置于水平地面点的小滑块上，弹簧处于伸长状态，小滑块恰好能静止。现将外力作用在小滑块上使其刚好能运动到点并撤去，弹簧此时处于压缩状态且与小滑块在点时形变量相同、则下列说法正确的是（）

A．撤去外力后，物块在点时对地面的压力等于在点时对地面的压力B．撤去外力后，物块在点处一定能静止C．在点时弹簧弹性势能等于在点时弹簧弹性势能D．外力做的功大于摩擦生热【答案】BC【解析】AB．受力分析如图所示可得弹簧在处的水平分力比处的小，物块在处恰好不动，则撤去外力后，物块可以静止在处，选项A错误，B正确；C．弹簧在处和处的形变量相同，则弹性势能也相等，选项C正确；D．从到，根据动能定理F做的功等于摩擦生热，选项D错误。故选BC。

13．2021年3月24日“新疆棉事件”，加深了人们对新疆棉花的认识。新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收。自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包。通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”形挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”形挡板可绕P轴在竖直面内转动。在使BP板由水平位置逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A．当BP板转过60°时，棉包受到三个力的作用B．棉包对AP板的压力从0逐渐增大到mgC．棉包对BP板的压力逐渐减小D．当BP板转过30°时，棉包对AP板的作用力大小为【答案】BC【解析】A．若BP板从水平方向转过60°时，AP板转到水平方向，此时棉包受到重力和AP板的支持力两个力的作用，故A错误；BC．BP板水平时，棉包对AP板的压力为零，BP板由水平位置逆时针缓慢转动60°的过程中，由几何关系可知，棉包对AP板的压力逐渐增大至mg，对BP板的压力逐渐减小，一直减小为零，当BP板转过60°时，AP板转到水平方向，棉包对AP板压力达到最大，对BP板的压力减为零，故BC正确；D．当BP板转过30°时，两板与水平面夹角都为30°，棉包受力分析如图所示

由共点力平衡关系可得解得根据牛顿第三定律可知，棉包对AP板的作用力大小为故D错误。故选BC。14．一倾角为的斜劈放在水平地面上，物块与斜劈间的动摩擦因数为，现给物体施加如图所示的力F，F与竖直方向夹角为，物块沿斜面下滑，斜劈仍静止，已知，斜劈的质量为M，物块的质量为m，设地面对斜劈的支持力为，地面对斜劈的摩擦力为f，则下列说法中正确的是（）

A． B．C． D．【答案】AC【解析】由题意可知所以物块在没有施加外力F时，可以沿斜面匀速下滑，此时物块受重力、支持力和摩擦力作用，三力平衡，所以支持力和摩擦力的合力与重力等大反向。根据牛顿第三定律可知，物体对斜面体的作用力方向竖直向下，大小等于mg。施加力F后，物块受重力、支持力、摩擦力和推力F，导致支持力变大，因为所以支持力和滑动摩擦力同比增加，故其合力的方向不变，大小增大。根据牛顿第三定律，物体对斜面体的压力和滑动摩擦力的合力方向也不变，竖直向下，大小大于mg，因此对M受力分析可知故选AC。15．如图甲所示，笔记本电脑底座一般设置有四个卡位用来调节角度，某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1调至卡位4（如图乙），电脑始终处于静止状态，则（）

A．电脑受到的支持力变大B．电脑受到的摩擦力变大C．散热底座对电脑的作用力的合力不变D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力【答案】AC【解析】A．电脑受到的支持力为由原卡位1调至卡位4，θ减小，故FN增大，A正确；B．电脑受到的静摩擦力为θ减小，Ff减小，B错误；C．由平衡条件知，底座对电脑的作用力的合力与电脑重力等大反向，故保持不变，C正确；D．电脑受到的支持力与摩擦力两力的矢量和与其重力大小相等，但电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，D错误。故选AC。

16．如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带