专题11最值问题 （2大易错点分析+26个易错点+易错题通关）-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题11最值问题直线轨迹专题易错点1：将军饮马例：如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．【答案】A【分析】求出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．【详解】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点；∵点A（1，1），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（1，-1），∵A′（1，-1），B（3，3），∴A′B==2，即PA+PB的最小值为2，故选∶A．【点睛】此题考查了最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．变式1：如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为．

【答案】4【分析】本题主要考查最短路径及圆的基本性质．作点B关于直径的对称点E，连接，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解．【详解】解：作点B关于直径的对称点E，连接，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得即为的最小值，如图所示：

∴，∵，∴，∵点为弧的中点，∴与的度数为20°，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，即的最小值为4，故答案为：4．易错点2：三点共线例：如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（

）A．10 B．5 C．13 D．【答案】B【分析】本题考查三角形三边关系．延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，根据三角形三边关系证明此时，最大，最大值等于长即可求解．【详解】解：如图，延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，∵，，∴，∴此时，最大，最大值等于长，∵D是中点，∴，∴最大值，故选：B．变式1：如图，四边形中，，，，，，点P为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查三角形三边关系的应用、勾股定理、平行线的性质，关键是得到点P的运动路线．过P作于H，由三角形的面积公式求得，则点P在平行于且与的距离为1的直线l上运动，作C关于直线l的对称点，连接并延长交直线l于，连接，则，当A、、共线时取等号，此时最大值为的长度，过作于M，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过P作于H，∵的面积为，，∴，则，∴点P在平行于且与的距离为1的直线l上运动，作C关于直线l的对称点，连接并延长交直线l于，连接，则，当A、、P共线时取等号，此时最大值为的长度，过作于M，由题意，，，∴，，在中，，∴，故答案为：．易错点3：两动一定例：如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案．【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示，∵是M关于的对称点，，，∴，，，∵，∴，，∴．∴，故选：B．变式1：如图，在四边形中，，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为．【答案】8【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．【详解】解：连接，过点作于．面积为24，，，，垂直平分线段，，，当的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，．的值最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．易错点4：两动两定例：如图，已知正比例函数y＝kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（）A．2 B．4sin40°C．2 D．4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）【答案】C【分析】如图所示直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点，作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，此时AM+PM+PN＝A′M+PM+PE＝A′E最小（垂线段最短），在RT△A′EO中利用勾股定理即可解决．【详解】解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM+PM+PN＝A′M+PM+PE＝A′E最小（垂线段最短），在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，∴OE＝OA′＝2，A′E＝＝2．∴AM+MP+PN的最小值为2．故选：C．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到等P的位置，题目有点难度，是最短问题中比较难的题目．变式1：如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为．

【答案】【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键．作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案．【详解】如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，

点是点关于直线的对称点，作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作，，，，此时最小，在中，，，，，，的最小值为，故答案为：．易错点5：两动一定长例：如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，，作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，，由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，，，在长方形中，，，由矩形性质可得，，是的中点，，与关于的对称，，在长方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故选：C．【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．变式1：如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为．【答案】【分析】过C作的对称点，连接，交于N；过作，且，过作于F，交于E，的长度即为所求最小值，根据含度的直角三角形的性质，进行求解即可．【详解】解：如图，过C作的对称点，连接，交于N；过作，且，过作于F，交于E，的长度即为所求最小值，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又∵关于对称，∴，∴，∵，∴，∴，，过作，则，∴，

∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴．即：的最小值为．【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．同时考查了平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握轴对称的性质，确定线段和的最小值，是解题的关键．易错点6：三动点例：如图，在直角三角形中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】设PQ与AC交于点O，作于，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质得，根据，得，当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，设PQ与AC交于点O，作于，在中，，∴，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴，∵，，∴，当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值为：，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和垂线段最短的性质．变式1：如图，△ABC中，AC=BC=3，AB=2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是．【答案】/【分析】首先证明四边四边形ABCD是菱形，作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′＋P′F最小，求出ME即可．【详解】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′＋P′F最小，此时P′E′＋P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝1，由勾股定理可得，CH＝，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE＋PF最小为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．易错点7：周长最小例：如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（

）

A．6 B．8 C．12 D．18【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可．【详解】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，

的最小周长为，连接，则，∴，∴是等边三角形，∴，即的周长的最小值是6．故选：A．变式1：如图，在中，点D为上一动点，连接，点E为线段上一点，点F，点G分别为边，边上的动点，若，则的周长的最小值为．

【答案】6【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质．作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G，则此时，的周长最小，最小值，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G，则此时，的周长最小，且的周长的最小值，连接，

∵点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴的周长的最小值为6，故答案为：6．易错点8：中位线例：如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】作，根据中位线定理可推出，进一步可得当时，有最小值，此时的值也最小．据此即可求解．【详解】解：作，如图：

∵E，F分别为的中点∴故：当时，有最小值，此时的值也最小∴的最小值是,∴的最小值是故选：C【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的性质、解直角三角形等．掌握相关结论即可．变式1：已知矩形中，，点E、F分别是边、的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值．【答案】【分析】连接交与点N，连接，利用勾股定理求得，即有，根据平行得和，有．则有为的中位线，即，当时，最小，也最小，利用，即可求得答案．【详解】解：连接交于点N，连接，如下图：∵，点E、F分别是边、的中点，∴，，∴，∵，∴，，∴．∵，∴，∵点是的中点，∴为的中位线，∴，当时，最小，也最小，∵，∴，则．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、三角形中位线和三角函数的应用．解题关键是恰当作辅助线，并得出中位线．易错点9：斜中定值例：如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是()

A． B． C． D．8【答案】B【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解．【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，

∵四边形是正方形，边长为4，∴，则，在中，，由勾股定理，得，∵在中，，点E是斜边的中点，∴，由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，故选B．【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．变式1：如图，长方形两边长，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是．

【答案】/【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出过的中点时值最大是解题的关键．取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点E时最大．【详解】解：如图：取线段的中点E，连接，

∵，点E是的中点，，∴，∵四边形是长方形，∴，，∴，∵，∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．∴点D到点O的最大距离，故答案为：．易错点10：隐直线例：如图，在长方形中，，，动点P满足，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查矩形性质，勾股定理．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案．【详解】解：设中边上的高是，∵在长方形中，，，∴，∵，∴，∴，即，∴动点P在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，则即为最短距离，

，在中，∵，，∴，∴的最小值为，故选：A．变式1：如图，在矩形中，，点E是矩形内一动点，连接，，F为上一动点，连接，则的最小值是．

【答案】【分析】取的中点M，的中点N，连接交于点，过点作于，过点E作于点G,求出，由M、N分别是的中点得到，，根据求得，则点E在线段（不包括端点）上运动，证明，当且仅当B、E、D三点共线时，最小，即为的最小值，由点F在上运动，得到当时，取得最小值，即可得到的最小值．【详解】解：如图，取的中点M，的中点N，连接交于点，过点作于，过点E作于点G，

∵矩形中，，∴，∵M、N分别是的中点，∴，，∵，∴，即，∴，∴点E在线段（不包括端点）上运动，∵C、D关于直线对称，∴，当且仅当B、E、D三点共线时，最小，即为的最小值，∵点F在上运动，∴当时，取得最小值，∴的最小值是：，故答案为：．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，求出和的最小值是解题的关键．易错点11：矩形对角线例：如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小；根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解【详解】解：连接∵，，，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形:∴，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，此时，即∴∴的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．变式1：如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为．【答案】【分析】如图，连接，依题意，四边形是矩形，则，当时，最小，用等面积法求得即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到是解题的关键．【详解】如图，连接，∵过点作轴于点，作轴于点，，四边形是矩形，，当时，最小，直线与坐标轴分别交于点A，B，令则，，令则，解得，，，当时，，．．故答案为：．易错点12：数形结合例：函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把配方得，得到y就是在x轴上的点到和的距离之和，求得点关于x轴的对称点为，连接交x轴于P，则此时，点到和的距离之和最小，即为的长，根据两点间的距离公式即可得到结论．【详解】

就是在x轴上的点到和的距离之和，点关于x轴的对称点为连接交x轴于点P，则此时，点到和的距离之和最小，即为的长，根据两点间的距离公式得：，故选：C【点睛】本题考查了函数的最值，两点间的距离公式，推理出函数的最值就是的长，是解题的关键．变式1：数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值．运用此方法，请你解决问题：已知a，b均为正数，且．则的最小值是．【答案】【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可．【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，∵，即，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．易错点13：蚂蚁爬行例：如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为（）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解，把圆柱的侧面展开，找出最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，线段的长度即为蚂蚁从点爬到点的最短距离，

∵圆柱底面的周长为，∴，∵，∴，∴蚂蚁从点爬到点的最短距离为，故选：．变式1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是．【答案】【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：

，∴在中，；②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：

，∴在中，；∵，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；故答案为：25．易错点14：切线与勾股定理例：如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．2【答案】B【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点．因为为切线，所以是直角三角形．又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可．【详解】解：∵切于于点，∴，∴．又，∴，即，∴当最小时，有最小值．又∵点到直线的距离为，∴的最小值为，∴．故选：B．变式1：如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为．【答案】【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可．【详解】解：对于直线：，令，则，即，令，则，解得，即，∴，，∵，∴，连接，，如下图，∵为的切线，的半轻为1，即，∴，∴在中，，当时，取最小值，也取最小值，此时可有，即，解得，∴，∴长度的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键．易错点15：圆锥侧面展开图例：如图，圆锥的底面半径是，母线长是．如果点是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了圆锥的计算；首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．【详解】解：连接，过作于，设圆锥侧面展开图的圆心角为，圆锥底面圆周长为，，则，，，，由，可求得，，，即这根绳子的最短长度是，故选：B．变式1：如图，圆锥的母线长为2，底面圆的直径为2，若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到的中点D处，则其爬行的最短路线长为．【答案】【分析】画出圆锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，利用弧长公式得到，求出n得到，然后利用勾股定理计算出即可．【详解】解：如图为圆锥的侧面展开图，连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为，根据题意得，解得，即，∴，在中，，∴蚂蚁爬行的最短路线长为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了最短路径问题．易错点16：手拉手例：如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小．【详解】解：如图，在的下方作等边，作射线．，，，，在和中，，，，，，点在射线上运动点是定点，是定值，当时，的值最小，最小值，故选：B．变式1：如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为．【答案】【分析】取AB中点E，连接EC，ED，CP，先证明△AEC是等边三角形，得到AE＝AC，再证明△ADE≌△APC（SAS）得到DE＝CP，然后利用垂线段最短求出CP的最小值为，【详解】解：如图，取AB中点E，连接EC，ED，CP，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，点E是AB中点，∴，AE＝BE＝CE＝1，∠BAC＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE＝AC，∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，∴AD＝AP，∠DAP＝60°＝∠EAC，∴∠EAD+∠DAC=∠DAC+∠CAP，∴∠EAD＝∠CAP，∴△ADE≌△APC（SAS），∴DE＝CP，∴当DE⊥BC时，DE有最小值，即CP有最小值，∵∠B＝30°，DE⊥BC，∴，∴CP的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．易错点17：费马点例：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝4，由旋转的性质得到AC＝CE＝4，CP＝CF，∠PCF＝60°＝∠ACE，得到△PCF是等边三角形，求得PC＝PF，当P，F在直线EB上时，PA+PB+PC的值最小，根据勾股定理得到EB==2，于是得到结论．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，∴AB＝2，AC＝4，将△ACP绕点C逆时针旋转60°得到△CFE，连接PF，EB．由旋转的性质可知：AC＝CE＝4，CP＝CF，∠PCF＝60°＝∠ACE，∴△PCF是等边三角形，∴PC＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PC+PB＝PB+PF+EF，∵PB+PF+EF≥EB，∴当P，F在直线EB上时，PA+PB+PC的值最小，∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴EB==2，∴PA+PB+PC的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．变式1：如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：

①当时，；②当的面积为时，；③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②【分析】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，∴对称轴，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，由图象可得：当时，；∴①正确，符合题意；∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，∴设抛物线为，当时，，当时，，∴，，如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，

∴，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当是，，∴，∴，∴，解得：，故②正确；∵点B是抛物线与y轴的交点，∴当时，，∴，∵为直角三角形，当时，∴，∵，，，∴，整理得：，解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，整理得：解得：或（舍）∴，当时，∴，∴，无解；以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，

则，为等边三角形，∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，当时，∵，当时，，此时不符合题意，故③错误；故答案为：①②．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．易错点18：胡不归例：如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，由此可得PE＝BP，再过点O作OF⊥BH，由此可证得OP＋BP≥OE≥OF，根据垂线段最短可得OP＋BP的最小值为线段OF的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案．【详解】解：如图，过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，则∠BEP＝90°，在Rt△BPE中，sin∠PBE＝，∴sin30°＝＝，∴PE＝BP，过点O作OF⊥BH，垂足为点F，则∠OFB＝90°，∵OP＋PE≥OE≥OF，垂线段最短，∴OP＋BP≥OE≥OF，∴OP＋BP的最小值为线段OF的长，∵在矩形ABCD中，∴∠BCD＝90°，，，，∴，，∴∠CBD＝30°，，∴∠HBD＝∠CBH＋∠CBD＝60°，，∵在Rt△BOF中，sin∠OBF＝，∴sin60°＝，解得：，∴OP＋BP的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值的应用，正确作出辅助线，证得OP＋BP的最小值为线段OF的长是解决本题的关键．变式1：已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为，的最小值为．【答案】【分析】如图：在y轴上确定一点，连接，过点P作于点H，过点A作于点J、交于．利用勾股定理求出，证明；再说明，利用正切的定义列方程求得即可确点P的坐标，求出即可确定最小值．【详解】解：如图，在y轴上确定一点，连接，过点A作于点J，过点P作于点H．

∴，∴，∴，∴∴，当A、、H共线时，即H与J重合时，有最小值，∵，即，∴,

∴,即，解得：，∴此时的坐标为，∵，∴，∴的最小值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、垂线段最短、解直角三角形等知识点，学会用转化的思想是解题的关键．圆轨迹专题易错点1：两动一定例：如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆，E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（

）

A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】过点D作关于直线的对称点F，连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，过点D作关于直线的对称点F，

连接，交于点P，交于点E，此时最小，等于，因为四边形是矩形，，，所以，，所以，所以，所以，所以的最小值为4，故选∶C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．变式1：如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是．【答案】【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理．连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题．【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形，∵是直径，∴，∴，∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为．∵四边形和四边形是边长相等的正方形，∴，，∵∴，∴连接，，，交于点N，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．故答案为：易错点2：点运动路径例：如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理．如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，由旋转的性质得，∴弧的长度为，故选：A．变式1：如图，在矩形中，，，某一时刻，动点E从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点F从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点D作的垂线，垂足为G．在这一运动过程中，点G所经过的路径长是．【答案】/【分析】延长交于，连接，当点E与点A重合时，由已知得点G也与点A重合，当点F运动到点C处时，点E运动到中点处，此时与弧交点为，则点G的运动轨迹为，先求出，再求出圆心角，进而利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，延长交于，连接，在矩形中，，动点E从点Ａ出发，速度为每秒1个单位长度，同时，动点F从点B出发，速度为每秒2个单位长度，，，，，，，四个点在同一圆上，点在以为直径的圆弧上运动，设圆心为O，连接，当点E与点A重合时，由已知得点G也与点A重合，当点F运动到点C处时，则点E运动到中点处，此时与弧交点为，则点G的运动轨迹为，在矩形中，，，，，，在中，，，，，，则点G所经过的路径长是，

故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握矩形性质，得到点G的运动轨迹是解答的关键．易错点3：折叠圆例：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4【答案】A【分析】B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，DE﹣B′E即为所求．【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝6，∴DE＝＝2，∴DB′＝2﹣2．故选A．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．变式1：如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为．

【答案】8【分析】首先根据题意得到点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，得到当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．【详解】如图所示，

∵为中点，，∴，∵将沿折叠，得到，∴，∴点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，∴当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴．∴的最小值为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的概念，解题的关键是得出的轨迹是圆．易错点4：直角圆例：如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：如图所示，，，，点在以为直径的上，当、、共线时最小，在中，，，，，．最小值为．故选：A．变式1：如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是．【答案】【分析】本题考查圆外一点到圆上最小距离问题，勾股定理，圆周角定理，根据得到点在为直径的圆上，连接圆心与点交于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案；【详解】解：∵，∴点在为直径的圆上，∴连接圆心与点交于一点即为最小距离点，如图所示，∵是半圆的直径，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．易错点5：定角定长例：如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查旋转，勾股定理，圆的相关性质，先将逆时针旋转连接，得到，再由隐形圆可得，可求得，由，只需求面积最大即可．【详解】解：如图，以为中心，将旋转，∵，∴与为对应边，设点对应点为，连接∴∴，∴，∴∴在以为弦，优弧所对圆周角为的圆周上，设所在圆的圆心为，连接，作于点，交于点劣弧所对圆周角为，∴所对圆周角为，∴，，∴，∴，∴当面积最大时，四边形ABCD面积最小，作于，由图可知，在时，取得最大值∴最大值为∴四边形最小值为故选A．变式1：如图，中，，，点P在射线上运动，连接交外接圆于D，则的最小值为．【答案】1【分析】如图，连接．首先证明，由此推出点D在以O为圆心，为半径的上运动（是等腰直角三角形，），连接交于，此时的值最小．【详解】连接，则，∵，∴点D在以为弦的一段圆弧上运动，圆心角为，设圆心为O，连接，则为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴（当且仅当D是与圆弧的交点时取等号），∴线段的长的最小值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题．易错点6：四点共圆例：如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键．【详解】解：如图：连接、，∵，∴，∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，如图:连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，∵，∴，在中，，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，即的最小值为．故选：A．变式1：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为．【答案】【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG