容器设计的数学建模计算

容器设计的数学建模计算【摘要】本题目属于在一定条件下求最优解的问题。具体到题目是求不同形状的容器在容积一定容器表面积最小的情况下，求容器的各项参数（圆锥台的高h，上下底面半径r,R,L；圆柱高H）之间的比值，并将解的精确度进行优化的问题。求解的大体步骤为先建立简化模型，以便于计算且使结论具有一定普遍性。使用Autocad2007绘图软件绘制图形。建立容器各项参数与表面积、体积的正确的的函数关系式，并使容器表面积达到最小，求出此时各项参数间的比值。解答过程中，因出现较为复杂的函数关系式，我们将借助数学软件LINGO9.0进行编程计算，调整输出数据的精确度的有效位数，得到最优解。【关键词】优化最小值比值理想模型1、问题重述容器的设计问题：（1）.要设计一个无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r<R，高为h。求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R,h/R的精确值（用整数的有限次四则运算及根式运算的最简形式表示）及它们精确到20位有效数字的近似值。（2）.要设计一个无盖的容器，是一个半径为R，高为H的圆柱面放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的半径为R，下半径为r<R,高为h.求容积在一个正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的三个比值r/R,h/R,H/R的精确值（意义同（1））及它们精确到20位有效数字的近似值。（3）.要设计一个无上盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为R<L的圆锥台放在高为h，上半径为R，下半径为r<R的圆锥台组成的。求容积为一整常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值h/L,H/L,r/L,R/L的精确到20位有效数字的值。2、模型假设及符号说明这虽然是一道有关容器设计的实际应用问题，而在实际生产实践中，容器是具有一定的厚度的，而因种类、工艺、功能等原因，不同的容器对厚度的要求也不尽相同，例如从原始的陶器到现代的不锈钢容器，从生活中的碗到工业炼铁的高炉，它们的厚度都不尽相同，甚至同一容器在不同部位的厚度也有所差异（如啤酒瓶的侧壁薄而底厚）。在建模计算的过程中，若将容器厚度加以考虑则会使计算难度增加，且使结果不具有一般性。因此在此我们将对模型进行假设优化，忽略容器的厚度，即容器的体积就是其容积。r：问题1）2）3）中容器下底面圆的半径；R：问题2）中圆柱的底面圆半径以及问题1）中容器的上地面园的半径和问题3）中下圆锥台的上底面圆半径；L:问题3）中上圆锥台的上底面圆半径；h:问题1）2）中圆锥台的高度以及问题3）中下圆锥台的高度；H：问题3）中上圆锥台的高度。3、模型的建立与求解空间体积与面积的线度比可以概括为A^3：A^2(A>0).根据对称性原理，可以猜想当定容时，无论容器的大小，最优解时的形状是相似的，而尺寸比例是相同的。故而:当体积V为定值，不妨设V=360000。3.1模型一：容器主体为正圆台模型当容器为一个正圆台时（如右图），假设正圆台部分上半径为为R，下半径为r，R〉r，高为h，容积为v。根据假设1可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。容器的正圆台部分侧面积：容器底部面积：所以，容器表面积：则使容器表面积最小，得：利用LINGO9.0计算得出:=0.54858381654520368112048360043044=0.892313578454584607048502590053863.2模型二：容器主体为正圆柱体，下面部分为正圆台模型当容器的上面部分是正圆柱体，下面部分是一个正圆台时（如右图），假设正圆柱体部分半径为，高为H，；正圆台部分上半径为R，下半径为r，正圆台高为h。根据假设2可知，制作容器的表面积最小作为最优设计。R容器正圆台部分表面积：容器正圆柱部分表面积：所以，容器表面积为：使容器表面积最小：RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.3655368E-