人教版八年级数学上册培优资料1

第1讲认识三角形

考点•方法•破译

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），会画出任意三角形的高、中线、角平分线.

2.知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.

3.了解与三角形有关的角（内角、外角）.

4.掌握三角形三内角和等于180。，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6.会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典•考题•赏析

【例1】若的三边分别为4,X,9,则x的取值范围是,周长/的取值范围是;

当周长为奇数时，x=.

【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5Vx<13,18</<26；周长为

19时，x=6,周长为21时，x=8,周长为23时，x=10,周长为25时，x=12,

【变式题组】

01.若△ABC的三边分别为4,X,9,且9为最长边，则x的取值范围是,周长/的取值范围是.

02.设△ABC三边为a，b,c的长度均为正整数，且a<b<c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形,共有

个.

03.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.

【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当

18cm为腰时，底边为58-18x2=22,则三边为18,18,22.当18cm为底

边时，腰为------=20,则三边为20,20,18.此两种情况都符合两边之

2

和大于第三边.

解：18cm,18cm,22cm或18cm,20,20cm.

【变式题组】

01.已知等腰三角形两边长分别为6cm,12cm,则这个三角形的周长是（

A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm

02.己知三角形的两边长分别是4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为.

【例3】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△£>£（：的中线，FG是△£W的中线，若S&GFC=

2

1cm,则SAABC=-

【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为的中线，知SAEFC=2SAGFC=2.又由EF为△DEC中线,

OEC=25AEFC=4.同理SA40c=8,SA^=16.

【变式题组】

01.如图，已知点。、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S^ABC=4,则5&EFC=.

02.如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，

DEJ_AB于E,于F,若一腰上的高为4cm,则DE+DF=.

03.如图，己知四边形A8CD是矩形，点E在BC上，且AE=AD,DF_LAE于F,则DF与AB的数量关系

是

【例4】已知，如图，则NA+NB+NC+ND+/E=.

【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形

或四边形内角和，结合八字形角的关系即，NA+N8=/C+ND.

故连结BC^ZA+ZD=ZDBC+ZACB,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180"

【变式题组】

01.如图，则/A+N8+/C+NO+/E=_____________.

02.如图，贝!|NA+NB+/C+N。+NE+NF=______________.

03.如图，贝U/4+N8+NC+N0+NE+/F=.

（第3题图）

（第2题图）

BO、C0分别平分NABC、ZACB.则NBOC=.

【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为N8OC=，NA+90。.证法如下：NBOC=180。-NOBC—/OCB

2

=180°-—Z/ABC--Z4CB=180°--(180°-Z4)=90°+-Z4.所以N8OC=125".

2222

【变式题组】

01.如图，ZA=70°,ZS=40",NC=20°,则/8OC=.

（第1题图）

02.点P、。分别是NA8C、NAC8的三等分线的交点，则NOPC=.

03.如图，ZO=140",ZP=100",BP、CP分别平分NAB。、AACO,则NA=

【例6】如图，已知/8=35°,NC=47。，ADLBC,AE平分NBAC,则NEAD=

【解法指导】VZEAD=90°~ZAED=9O°-(ZB+ZBAE)=900-Zfi-y(180°-ZB-

ZC)=90°-ZB-90°+-ZB+-ZC=-(ZC-ZB),故NEAD=6°.

222

【变式题组】

01.（改）如图，已知N8=39。，ZC=61°,BD±AC,AE平分N8AC,贝Ij/8FE=

（说明:原题题、图不符.由己知得/八=98。,8。，47,则点。在CA的延长线上.）

02.如图，在△ABC中，N4C8=40。，A。平分NBAC,/ACB的外角平分线交A。的延长线

于点P,点尸是BC上一动点（F、D不重合），过点F作EFLBC交于点E,下列结

论:①NP+NDEF为定值，②ZP-/DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出

判断，并说明理由.

【例7】如图，在平面内将△A8C绕点A逆时针旋转至△A8C,使CU〃A8,

若/8AC=70°,则旋转角a=.

【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.•••CU〃A8,

：.ZCCA=ZCAB=70°,又AC=AC,AZC,AC=180°-2x70°=40°

AB

【变式题组】

01如图，用等腰直角三角形板画/AOB=45。，并将三角板沿。8方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋

转22。，则三角板的斜边与射线OA的直角a=_________.

（第2题图）

02.如图，在平面内将△AOB绕点。顺时针旋转a角度得到△OAB，，若点A在AB上时，则旋转角a=

.(ZAOB=90°,NB=30°)

03.如图，ZSABE和△ACO是△ABC沿着AB边，AC边翻折180。形成的，若N8AC=130。，则Na=,

演练巩固•反馈提高

01.如图，图中三角形的个数为（）

A.5个8.6个C.7个D.8个

02.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

03.有4条线段，长度分别是4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形，可

以组成三角形的个数是（）A.1个8.2个C.3个D.4个

04.下列语句中，正确的是（）

4.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和

C.三角形的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个钝角

05.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

除直角三角形8.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

06.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形S.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

07.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是9cm,则这个三角形的周长是.

08.三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是.

09.如图，在△ABC中，乙4=42。，与/C的三等分线，分别交于点。、E,则NBDC的度数是,

10.如图，光线/照射到平面镜上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知Na=55,Ny=75。，Z6=

11.如图，点。、E、F分别是BC、AD.BE的中点，且见双=1，则九谢=.

12.如图，已知：Nl=/2,/3=N4,/BAC=63。，则NDAC=.

13.如图，已知点D、E是BC上的点，HBE=AB,CD=CA,ZDAE=L^BAC,求NBAC

3

的度数

培优升级•奥赛检测

01.在△ABC中，2/A=3N8,且/（7-30。=NA+/8,则△48（7是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.有一个角是30。的直角三角形D.等腰直角三角形

02.已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且。幼文，如果b=7,则这样的三角形共有（）

A.21个8.28个C.49个D.54个

03.在△ABC中，ZA=50°,高BE、CF交于。点，则N8OC=.

04.在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26。，则底角的度数为.

05.如图，8P平分NA8C交CD于点F,OP平分/ADC交AB于点E,若NA=40。，ZC=

38。，则/P=.

06.周长为30,且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个？

07.设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30,并满足(。一b)之+仁一c)之+伯-c)?=26,问满足条件

的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)

08.在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角,

于是他把这些数据写在"数学园地"上征答:"共有多少个锐角三角形?"你能回答这个问题吗？

09.现有长为150cm的铁丝，要截成n(">2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼

成三角形，试求”的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的“段？

10.如图，在A88中，BE平分/D8c交CD于F,延长BC至G,CE平分NDCG,且EC、D8的延长线交于A点,

若NA=30°,ZDFE=75°.

⑴求证：ZDFE^ZA+ZD+ZE；

(2)求NE的度数；

⑶若在上图中NCBE与NGCE的平分线交于Ei，NCB&与NGC&的平分线交于心，作NCBE?

与/GCE2的平分线J，依次类推，NCBE.与/GCE”的平分线交于Em，请用含有"的式子表

示/Em的度数.

11.如图，已知OA8C是一个长方形，其中顶点A、8的坐标分别为(0,a)和(9,a).点E在AB上，

且点F在。C上，且。F=1OC,点G在。A上，且使△GEC的面积为16,试求

33

a的值.

12.如图，已知四边形ABCD中，Z4+ZDCfi=180°,两组对边延长后分别交于P、Q两

点，NP、NQ的平分线交于M,求证PM_LQM.

第2讲认识多边形

考点•方法•破译

i.了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.

2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进

行镶嵌设计.

经典•考题•赏析

【例1】如图所示是一个六边形.

⑴从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？

⑵画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？

【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于"边形，从”边形的一个顶点出发，可

引m—3)条对角线，它们将这n边形分成m—2)个三角形，口边形一共有“(〃一3)条对角线,

2

解乂1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD.AE.将六边形分成四

个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；

⑵六边形共有9条对角线.

【变式题组】

01.下列图形中，凸多边形有()A.1个B.2个C.3个D.4个

02.过m边形一个顶点有7条对角线，"边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m=_,n=_,k=_.

03.已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.

【例八V—!2]⑴八边形

的内角和是彳亍/\I—7/\多少度？

(2)几边I__|乙一\</\\____/形的内角和是

八边形内角①②③④⑤和的2倍？

【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n—3)条对角线，并且将n

边形分成("一2)个三角形，这(n—2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n—2)180°；

⑵内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②己知多边形内角和，求其边数.

解：⑴八边形的内角和为(8—2)'180°=1080°；

(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，

则有("一2)xl80°=1080°x2,解得n=14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.

【变式题组】

01.已知n边形的内角和为2160°,求n边形的边数.

02.如果一个正多边的一个内角是108°,则这个多边形是()

A.正方形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

03.已知一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是()

A.8B.7C.6D.5

04.如图，Nl、N2、N3、/4是五边形A8CDE的外角，且Nl=N2=N3=/4=70°,则/AED的度数为（）

A.1100B.1080C.1050D.100°

5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和()人都不变

B.内角和增加180°,外角和不变C.内角和增加180°,外角和减少180°D.都增加180°

【例3】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转60°,则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A?

解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个

外角均为60°,则这个多边形的边数为理21=6.所以这只蚂蚁需要爬行5、6=30匕〃)才能回到点4

60°

【解法指导】多边形的外角和为360°.

(1)多边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.

(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以"边形内角和加外角和

等于180°-n,外角和等于/?-180°-(n-2)-180°=360°.

(3)多边的外角和为什么等于360°,还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点,

再回到点4然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的

各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°

（4）多边形的外角和为360°的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②1

己知多边形边数，求各相等外角的度数.心胃5J

［变式题组］X

01.（无锡）八边形的内角和为_____.度./------------\J/

02.如图所示，已知△ABC中，ZZ\=40°,剪去/A后成四边形，则Nl+/2=_（第2题图）（第4题图）

03.（资阳）"（n为整数，且"23）边形的内角和比（n+1）边形的内角和少—度.

04.（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转40°,再沿直线前进10米后，又向左

转40°..照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米.

【例4】已知两个多边形的内角和为1800°,且两多边形的边数之比为2:5,求这两个多边形的边数.

【解法指导】两个多边形的边数之比为2:5,可设两个多边形的边数为2x和5x,利用多边形的内角可列方程.

解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x,则由多边形内角和定理可得:

(2x-2)-18O°+(5x-2)-18O°=18OO0,解得x=2,；.2x=4,5x=10,

故这两个多边形的边数分别为4和10.

【变式题组】

01.一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为2210°,这个多边形是

02.若一个多边形的外角和是其内角和的2,则此多边形的边数为

5

03.每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的2,则这个多边形是（）

3

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

04.内角和与其外角和相等的多边形是

【例5】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）

A.正三角形B.长方形C.正八边形D.正六边形

【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为360°,由于正三角形、长方形、正

六边形的内角都是360°的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为135°,不是360°的约

数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C.

【变式题组】

01.用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）

A.正三角形B.正方形C.长方形D.正五边形

02.小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）

A.正三角形、正方形、正六边形8.正三角形、正方形、正五边形

C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形

03.只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（）

A.正五边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

04.（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操

作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将

其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；根据以

上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）

A.669B.670C.671D.672

【例6】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无

间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.

【解法指导】正三角形的每个内角为60°,正方形的每个内角为90°,它们无重叠、无间隙可拼

成60°、90°、120°、150°四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.

解：因为正三角形和正方形的内角分别为60°、90°,由此可拼成60°、90°、120°、150°四种角

度，H■•一边形内角和为（n-2）xl80°=（ll-2）xl80°=1620°.

因为120°xll<1620°<150°xll,所以这个H^一边形的内角只有120°和150°两种.设120°的角有m个，150°的

角有n个，则有120°m+150%=1620°,即4m+5n=54此方程有唯一正整数解［加=1,所以这个H"一边形内角中有

1/!=1O

1个角为120°,10个角为150°,此H■-一边形如图所示.

【变式题组】

01.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，

从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形

的地砖边长为0.5m,则第12层的外边界所围成的多边形的周长是.

02.小明的书房地面为210cmx300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（）

A.30cmx30cm的正方形，B.50cmx50cm的正方形，

C.60cmx60cm的正方形，D.120cmxl20cm的正方形，

03.正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为360°,求,+'+!的值.

mnp

演练巩固•反馈提高

01.在一个顶点处，若正0边形的几个内角的和为,则此正"边形可铺满地面，没有空隙.

02.（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20

块时，白色瓷砖为块，当白色瓷砖为/（"为正整数）块时，黑色瓷砖为块.

03.（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第

n个图案中白色的地板砖有块.

第1个第2个第3个

04.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有

个白色正六边形.

05.如果只用一种正多边形作平面镶嵌,而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边

形的边数为（）43B.4C.5D.6

06.下列不能镶嵌的正多边组合是（）

人正三角形与正六边形B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形

五边形与正十边形

07.用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）

人边长相同B.在每一点的交接处各多边形的内角和为180°

C.边长之间互为整数倍D.在每一点的交接处各多边形的内角和为360°,且边长相等

08.（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8,

则第三块木板的边数是（）44B.5C.6D.8

09.［自贡（课改）］张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为

了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）

人正三角形B.正方形C.正六边形D.正八边形

10.我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的,

⑴为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？

（2）你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.

某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z,你能找出之间

有何种数量关系吗？请说明理由.

12.黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：

白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，

正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案［如图（1）、

（2）、⑶）规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（

A.n2+n+2,2n+lB.2n+2,2n+lC.4n,n2—n+3D.4n,2n+l

培优升级•奥赛检测

01.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°,

则这个多边形的边数为（)

A.12B.12或13C.14D.14或15

02.有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）

A.216块B.288块C.384块D.512块

03.如图，/A+/8+/C+ND+/E+NF+/G的度数等于（）4360°B.450°C.540°D.720°

04.从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸“边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角

4

线条数的一，那么此n边形的内角和为.

05.如图，已知DC〃AB,ZBAE=ZBCD,AEA.DE,ZD=130°,求/8的度数.

06.如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米，又向左转30°....，照这样下

去，他第一次回到出发点A时，一共走了米.

07.如图，两直线48、CD平行，则Nl+N2+N3+N4+/5+/6=（）

A.6300B.7200C.8000D.900°

08.将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如（1）,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形，

ABCDE,其中N8AC=.

09.矩形ABCD的边长为16,宽为12,沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形,

设这些四边形中周长最大为m,周长最小为"，则的值为（）

A.120B.128C.136D.144

10.对正方形A8CD分划如图①，其中E、F分别是8C、C。的中点，M、N、G

分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的"七巧/f

板"彳小'

（1）如果设正方形。GFN的边长为1,这七块部件的各块长中，从小到大的四（n（2）

个不同值分别为1、X1、X2、X3，那么Xi=—;各内角中最小内角是一

度，最大内角是_度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_.

（2）请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，

并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上（格点图中上下左右相邻两点距离都为1）.

⑶某合作学习小组在玩七巧板时发现："七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8".你认为这个结论正确吗？请

说明理由.

1L（方案设计题）我们常见到如图的图案地面，它们分别是全

用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料

能铺成平整、无空隙的地面.

D

（1）你能不能另外想一个用一种多边形（不一定是正多边形）（第加国）（第5区图）（第6原图）（第一曼图）

的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；

⑵请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.

12.（俄罗斯萨温布竞赛题）如图，在凸六边形ABCDEF中，已知

Z4+ZB+ZC=ZD+ZF+ZF成立，试证明：该六边形必有两条对

边是平行的.

第3讲全等三角形的性质与判定

考点•方法•破译

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2.全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周

长相等，面积相等：

3.全等三角形判定方法有：S45,AS4AA5,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有法；

4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边

或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明：

5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三

角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.

经典•考题•赏析

【例1】如图，AB//EF//DC,ZABC=90°,AB=CD,那么图中有全等三角形（）

A.5对B.4对C.3对D.2对4D

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此卜、E/

推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的

方法常用到.

解：⑴；AB〃EF〃DC,/A8C=90.：.ZDCB=90.BFC

在△ABC和△£»中

AB=DC

</ABC=/DCB/.A4BC^ADCB（SAS）

BC=CB

⑵在aABE和△DCE中

"NA=NO

<ZAED=ADEC：./\ABE^：.ADCE：.BE=CE

AB=DC

（3）在Rt/^EFB和RtAEFC中

'BE-CE

<：.Rt/\EFB^Rt/\EFC（HL）故选C.

EF=EF

【变式题组】

01.（天津）下列判断中错误的是（）

A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等

02.（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD=8E,ZA

=NFDE,则△ABC丝ZiDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命

题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并

加以证明.z

03.已知线段AC与BD相交于点。，连接A8、DC,E为。B的中点，F为。C的中

点，连接EF（如图所示）.

⑴添加条件NA=N。，ZOEF=ZOFE,求证：AB=DC；

⑵分别将"NA=N。"记为①，"NOEF=NOFE”记为②，"A8=DC”记为③，

添加①、③，以②为结论构成命题1;添加条件②、③，以①为结论构成命题

2.命题1是_一命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证：AF=DE.

【解法指导】想证AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和中，而DE在△CDE和4

DEF中，因而只需证明△AB3Z\OCE或△AEFg/WFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.

证明："：FB=CE：.FB+EF=CE+EF,即BE=CF.c

CEB

AB=DC

在^ABE和△比「中，\AE^DF

BE=CF

：.Z\ABE^/\DCF(SSS):.NB=/C

AB=DC

在AABF和4006中，:NB=/C/\ABF^/\DCE：.AF=DE

BF=CE

【变式题组】

01.如图，AD.BE是锐角△ABC的高，相交于点。，若8O=AC,BC=7,CD=2,则4。的长为()

A.2B.3C.4D.5

第1题图第2题图

02.如图，在△ABC中，AB=AC,N8AC=90。，AE是过A点的一条直线，AE_LCE于E,8O_LAE于D,DE=4cm,CE

=2cm,贝!IBD=.

03.（北京）已知：如图，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LA8于点。，点E在AC上，CE=BC,过点E作AC的垂线，

交CD的延长线于点F.求证：AB=FC.

【例3】如图①，△ABg△DEF,将△A8C和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△如下绕点8顺时针方向旋转，

这时AC与DF相交于点。.

⑴当ADEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、。在同一直线上时，NAFD与NDCA的数量关系是;

⑵当△£）£「继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由.

8(F)

图①图②

图③

【解法指导】⑴/AFD=/DCA

(2)ZAFD=ZDCA理由如下：由△ABCg/^OEF,：.AB=DE,BC=EF,ZABC=ZDEF,ZBAC=ZEDF：.ZABC

-ZFBC=ZDEF-ZCBF,：.ZABF=ADEC

AB=DE

在aABF和△DEC中,

NABF=NDEC

BF=EC

：./\ABF注ADECNBAF=/DEC：.ZBAC-ZBAF^ZEDF-ZEDC,：.ZFAC=/CDFVZAOD^ZFAC+Z

AFD^ZCDF+ZDCA,：.ZAFD^ZDCA

【变式题组】

01.（绍兴）如图，D、E分别为aABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.

若/CDE=48。，则/APD等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

02.如图，RtZXABC沿直角边8c所在的直线向右平移得到△口",下列结论中错误的是（）

A./\ABC出ADEFB.NDEF=90°C.AC=DFD.EC=CF

03.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点8、F、C、

。在同一条直线上.

⑴求证：ABLEDt

⑵若P8=8C,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例4】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△A8C的边AC和43边上的高，点P在B。的

延长线，BP=AC,点Q在CE上，CQ=A8.求证：⑴AP=AQ；（2）AP_LAQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP=AQ,也就是证AAPD

和△AQE,或△APB和△QAC全等，由已知条件8P=AC,CQ=AB,应该证△AP8之ZXQAC,已具备两组边对应相等，

于是再证夹角即可.证AP_LAQ,即证NR4Q=90。，NQAC=9O。就可以.

证明:⑴：BD、CE分别是△ABC的两边上的高，

/8DA=/CEA=90°,

：.Z1+ZBAD^9O°,Z2+ZB4D=90",二/l=/2.

AB=QC

在△APB和△QAC中，■Z1=Z2：./\APB^/\QAC,

BP=CA

J.AP^AQ

(2)VA4PS^AQ4C,：.ZP^ZCAQ,，/P+/PAD=9O°

VZC4Q+ZR4D=90°,J.AP1.AQ

【变式题组】

01.如图，已知AB=AE,NB=NE,BA=ED,点F是CD的中点，求证：AFLCD.E

02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直££得ft件为此时

梯子的倾斜角为75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离N8为bm,

梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是（）

a+ba-h

A.--------mB.--------mC.bmD.am

22

03.