2022年北京仁和中学初二（下）期中数学试卷及答案

1/12022北京仁和中学初二（下）期中数学一、选择题（每题2分，共20分）1．下列图象中，不可能是函数图象的是A． B． C． D．2．函数，随增大而减小，则的范围是A． B． C． D．3．一次函数不经过的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是A． B． C． D．5．五边形的内角和是A． B． C． D．6．菱形和矩形都具有的性质是A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分7．如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形的边长等于A．10 B． C．6 D．58．下列条件之一能使平行四边形是矩形的为①②③④．A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③9．一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是A．甲、乙两地的路程是400千米 B．慢车行驶速度为60千米小时 C．相遇时快车行驶了150千米 D．快车出发后4小时到达乙地10．若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是A． B． C． D．二、填空题（每题2分，共20分）11．在函数中，自变量的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则的取值范围是．13．若关于的函数是一次函数，则，．14．若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．15．如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为．16．已知一次函数，当时，的取值范围是．17．若函数的图象如图所示，那么当时，的取值范围是．18．已知直线与的交点为，则方程组的解．19．如图，把矩形沿直线向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为．20．如图，菱形的边长为4，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值是．三、解答题（21-23题4分，24-26题5分，27-29题6分，30题7分，31题8分）21．（4分）已知函数．（1）若函数图象经过原点，求的值．（2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴的下方？（3）若函数的图象平行直线，求的值．22．（4分）如表是一次函数，为常数，中与的两组对应值，求这个一次函数的表达式．06323．（4分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得．作法：如图2，①在直线上任取两点，，连接；②分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点；③作直线．直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接．，，四边形为平行四边形（填推理的依据）．．24．（5分）已知一次函数与正比例函数的图象都经过点．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积．25．（5分）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．26．（5分）如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形．27．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于，与轴交于．（1）求该直线的表达式和点的坐标；（2）若轴一点，且，直接写出点的坐标．28．（6分）如图，菱形的对角线、交于点，过点作，且，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．29．（6分）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．（1）求点的坐标；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．30．（7分）正方形中，点是边上的任意一点，连接，为的中点，作于，连接，．（1）若，求的大小（用含的式子表示）；（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．31．（8分）在平面直角坐标系中，，，．为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的为矩形的一个矩宽点．（1）在点，，，，中，矩形的矩宽点是；（2）若为矩形的矩宽点，求的值；（3）若一次函数的图象上存在矩形的矩宽点，则的取值范围是．

参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1．【分析】根据函数的定义，对于自变量的某一取值，函数都有唯一值与之对应，判断函数图象．【解答】解：由函数的定义可知、、的图象满足函数的定义，的图象中，对于自变量的某一取值，有两个值与之对应，不是函数图象．故选：．【点评】本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据函数的定义，判断函数图象．2．【分析】根据一次函数的图象的性质得到，随的增大而减小即．根据条件即可解决．【解答】解：函数，随增大而减小，，．故选：．【点评】一次函数的图象的性质：①当，的值随的值增大而增大；②当，的值随的值增大而减小．3．【分析】由于，，由此可以确定函数的图象经过的象限．【解答】解：，，，它的图象选经过的象限是第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：．【点评】一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．4．【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．【解答】解：原直线的，；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的，．新直线的解析式为．故选：．【点评】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式．5．【分析】根据边形的内角和为：，且为整数），求出五边形的内角和是多少度即可．【解答】解：五边形的内角和是：故选：．【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确边形的内角和为：，且为整数）．6．【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解．【解答】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．7．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：四边形是菱形，，，，，，，，，即菱形的边长是5．故选：．【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．8．【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．【解答】解：，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形，不能推出四边形是矩形，①错误；四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，②正确；，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形，不能推出四边形是矩形，③错误；四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，④正确；即正确的有②④．故选：．【点评】本题考查了矩形的判定和菱形的判定的应用，注意：矩形的判定定理有①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③有三个角是直角的四边形是矩形．9．【分析】根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．【解答】解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故选项正确；慢车的速度为千米小时，故选项正确；相遇时快车行驶了千米，故选项错误；快车的速度为千米小时，用时小时，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了函数的图象的知识，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力．10．【分析】根据，可得当时，，分两种情况：当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【解答】解：当时，，当时，，即：，当时，，即：，，当时，，函数图象从左向右逐渐上升，随的增大而增大，综上所述，选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共20分）11．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：，解得，．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．【分析】根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出的范围．【解答】解：由第一象限点的坐标的特点可得：，解得：．故答案为：．【点评】此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．13．【分析】一次函数的系数，自变量的次数，据此解答、的值．【解答】解：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，根据题意，知，解得，，故答案是2、．【点评】本题主要考查了一次函数的定义：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．14．【分析】由菱形的面积公式可求解．【解答】解：由图形可得，，菱形的面积，故答案为：12．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．15．【分析】依题意，已知，，根据矩形的对角线互相平分以及直角三角形的性质可求出的长．【解答】解：，，又、相等且互相平分，为等边三角形，因此．故答案为：5．【点评】本题考查矩形的性质和等腰三角形的判定．16．【分析】先用含的代数式表示，再解关于的不等式组，即得出结果．【解答】解：，，当时，即，解得．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，同时考查了解一元一次不等式组，同学们要熟练掌握．17．【分析】根据函数图象与轴的交点坐标，当即图象在轴上方，求出即可．【解答】解：因为直线与轴的交点坐标为，由函数的图象可知时，图象在轴上方，即，所以当时，．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．18．【分析】一次函数的交点就是两个函数解析式组成的方程组的解．【解答】解：直线与的交点为，方程组的解是，故答案为：．【点评】此题主要考查了二元一次方程（组与一次函数的关系，关键是掌握二元一次方程（组的解就是一次函数图象的交点坐标．19．【分析】先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出以及的长．【解答】解：四边形是矩形，，，是由折叠得到，，，，，设，则，，在中，，，解得：，则的长为：．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．20．【分析】连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值．【解答】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，菱形，与关于对称，，，，点是的中点，，，，在中，，，，，在中，，，，故答案为．【点评】本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长是解题的关键．三、解答题（21-23题4分，24-26题5分，27-29题6分，30题7分，31题8分）21．【分析】（1）将原点坐标代入解析式求解．（2）将代入直线解析式求出直线与轴交点纵坐标，进而求解．（3）由两直线平行可得，进而求解．【解答】解：（1）将代入得，解得．（2）将代入得，当时，函数图象与轴交点在轴下方，解得．（3）当直线与平行时，，解得．【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握一次函数的性质．22．【分析】根据待定系数法求得即可．【解答】解：根据题意得，解得，所以一次函数的表达式为：．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）判断四边形为平行四边形，从而得到．【解答】解：（1）如图2，（2）证明：连接，，，四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形），．故答案为，；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．24．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）求出一次函数与轴的交点坐标即可解决问题．【解答】解：（1）把点分别代入与正比例函数，得到，一次函数解析式是，正比例函数解析式是；（2）令，则，解得．一次函数的图象与轴的坐标为，，这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为．【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．【分析】可连接对角线，通过对角线互相平分得出结论．【解答】证明：连接交于，四边形是平行四边形，、，，，四边形是平行四边形【点评】本题主要考查平行四边形的判定问题，应熟练掌握．26．【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．【解答】证明：，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，四边形是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．27．【分析】（1）根据的坐标即可求得，从而求得直线的表达式，令，求得，即可求得；（2）利用三角形面积求得，由即可求得的坐标．【解答】解：（1）直线与轴交于，与轴交于．，直线的表达式为，令，则，解得，；（2），，，，即，，或．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．28．【分析】（1）由菱形的性质得，，推出，即可得出四边形是平行四边形，又由，即可得出结论；（2）由菱形的性质得，，，，易证是等边三角形，得出，由勾股定理求出，则，由矩形的性质得出，，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：四边形是菱形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，，在中，由勾股定理得：，，由（1）得：四边形是矩形，，，在中，由勾股定理得：．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．29．【分析】（1）由直线与直线交于点，故可联立方程组：得，故．（2）根据函数图象，可知：当时，．（3）当时，对于的每一个值，都有，故当，恒成立，得．【解答】解：（1）由题意得：解得：．（2）如图，当时，．（3）当，恒成立，则，恒成立．，，．若，恒成立，则．当，即，．当，即，不存在．当，即，，故．当时，也成立，综上：．【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数图象的性质以及一元一次不等式，借助