北京第四十二中学高三数学理下学期期末试卷含解析

北京第四十二中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是

.参考答案：略2.已知且f（0）=2，f（﹣1）=4，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣3参考答案：A【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由f（0）=2，f（﹣1）=4，列出方程组，求得a=，b=1，从而，进而f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10），由此能求出结果．【解答】解：∵且f（0）=2，f（﹣1）=4，∴，解得a=，b=1，∴，∴f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10）=﹣lg10=﹣1．故选：A．3.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（A）2

（B）-2

（C）-（D）参考答案：A

本题主要考查复数的乘法运算和复数的概念，难度较小。法一：为纯虚数，所以；法二：为纯虚数，所以.故选A。4.已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向参考答案：D【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．5.平面向量与夹角为，，则（

）

A.

B.

C.7

D.3参考答案：A6.复数=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可得到选项．解答：解：复数===i．故选C．点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意共轭复数的应用，考查计算能力．7.（5分）（2015?浙江模拟）设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥αC．若则m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，则m∥n参考答案：C【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；故选C．【点评】：本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．8.某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表：使用年数x（单位：年）12345维修总费用y（单位：万元）0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程=x﹣0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年参考答案：D【分析】计算、，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限．【解答】解：计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+1.2+2.2+3.3+4.5）=2.34；代入回归方程=x﹣0.69得2.34=×3﹣0.69，解得=1.01；∴回归方程为=1.01x﹣0.69，令=1.01x﹣0.69≥10，解得x≥10.6≈11，据此模型预测该汽车最多可使用11年．故选：D．9.设函数是定义在上的偶函数，对任意的都有，则满足上述条件的可以是(

▲

)A． B．

C． D．参考答案：C10.已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则x-y的取值范围是

A．[-2，-1]

B．[-2，1]

C．[-1，2]

D．[1，2]参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正项数列{an}满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最小整数为__________.参考答案：6依题意是首项为，公比为的等比数列，故，两边平方得，所以，两式相除得，故是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.所以，由，，经检验可知，符合题意.即的最小值为.

12.（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则f′（x）叫f（x）的一阶导数，f″（x）叫f（x）的二阶导数，若方程f″x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的“拐点”．有个同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=．参考答案：2014【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；阅读型；导数的综合应用．【分析】：由题意求导g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，从而得到（，1）是函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心，从而解得．解：∵g（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=2x﹣1=0得，x=；g（）=?﹣×+3×﹣=1，则（，1）是函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心，则g（）+g（）=2，g（）+g（）=2，…，g（）+g（）=2，故g（）+g（）+…+g（）=2014；故答案为：2014．【点评】：本题考查了学生对新知识的接受与应用能力及导数的综合应用，属于中档题．13.为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为

.

参考答案：75%

略14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为

。参考答案：的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位得到，即。15.使不等式（其中）成立的的取值范围是

．参考答案：16.已知整数以按如下规律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，则第60个数对是；参考答案：（5,7）通过观察可知数对按照两数之和为2,3，4,5，……依次排列，和为2的有1个，和为3的有2个，以此类推可知和为11的有10个，这之前共有55个，从第56个开始为，所以第60个数对为17.（4分）（2015?上海模拟）已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．参考答案：【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），

（II），，即，．，，，即的取值范围是．略19.（12分）

已知函数，若数列成等差数列。

（I）求数列的通项公式；

（II）设数列，试比较的大小。参考答案：解析：（I）设已知数列的公差为d，则有

…………2分又

…………4分

（II）由（I）知当时，

…………8分

…………10分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，|AB|=，点P是椭圆C上的动点，且cos∠F1PF2的最小值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（﹣2，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点，求?的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意|AB|==，∠F1PF2最大时余弦值为，此时点P在上顶点处点处，，解出a，b即可；（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，设其方程为x=my﹣2，与椭圆C的方程联立得（4m2+5）﹣16my﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=，y1y2=?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣3）（my2﹣3）=（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）=当l与x轴重合时，M，N即为椭圆左右顶点，?=﹣（a+c）（a﹣c）【解答】解：（Ⅰ）∵过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，|AB|=，∴，∵点P是椭圆C上的动点，且cos∠F1PF2的最小值为．即∠F1PF2最大时余弦值为，此时点P在上顶点处，∴，解得a=，b=2，c﹣1椭圆C的方程为；…（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，设其方程为x=my﹣2，与椭圆C的方程联立得（4m2+5）﹣16my﹣4=0，…设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=，y1y2=?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣3）（my2﹣3）=（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）==﹣4+…当l与x轴重合时，M，N即为椭圆左右顶点，?=﹣（a+c）（a﹣c）=﹣4；综上，?的取值范围：[﹣4，]．…21.已知（I）如果函数，（x）的单调递减区间为，求函数f（x）的解析式；（II）（Ⅱ）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图像过点P（1，1）的切线方程；

（III）对一切的恒成立，求实数a的取值范围。参考答案：略22.

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m