四川省成都市郫县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市郫县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.2.已知是单位圆上的动点,且,单位圆的圆心为,则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设集合，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32 B．18 C．16 D．10参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为2，∴几何体的体积V=×43=32．故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量．5.已知两个非零向量，满足，，则的值为（

）A.1 B.－1 C.0 D.－2参考答案：B【分析】根据已知向量的坐标求出向量的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积的坐标表示，属于基础题.6.

函数f(x)、g(x)的图像如图:

则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是:

（

）参考答案：A7.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=有三个不同的实根，则实数a的取值范围是

A．

B．

c．

D．参考答案：D【知识点】函数与方程B9如图，直线y=x-a与函数y=f（x）=ex-1的图象在x≥0处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时a=0；

直线y=|x-a|与函数y=-x2-2x的图象在x＜0处有两个切点，切点坐标分别是(-，)和(-，)，此时相应的a=，a=-，观察图象可知，方程f（x）=|x-a|有三个不同的实根时，实数a的取值范围是(-，0)∪(0，)．【思路点拨】求出直线y=x-a与函数y=f（x）=ex-1的图象在x≥0处有一个切点、直线y=|x-a|与函数y=-x2-2x的图象在x＜0处有两个切点时，a的值，利用函数图象，即可求出实数a的取值范围．8.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，若是角终边上的一点，则A.

B.

C.

D.参考答案：D9.偶函数在内可导，且则在处切线的斜率为（

）A.-2

B.2

C.0

D.无法确定参考答案：B略10.命题“函数是偶函数”的否定是

A.

B.，

C.，

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列中，，那么___________.参考答案：略12.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.②若AsinB>BsinA，则B＞A③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.参考答案：①④⑤13.在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点向圆引两条切线，，切点分别为，.设线段的中点为，则线段长的最大值为

.

参考答案：

14.设f（x）=，则f[f（﹣8）]=

．参考答案：-2【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，从而f[f（﹣8）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣2．故答案为：﹣2．15.在平面直角坐标系中，直线x﹣=0被圆x2+y2=4截得的弦长为．参考答案：2考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线x﹣=0的距离，利用勾股定理，可得结论．解答：解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线x﹣=0的距离为d==，∴弦AB的长等于2=2故答案为：2．点评：本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16.若函数y=﹣|x﹣a|+b和y=|x﹣c|+d的图象交于点M（2，5）和N（8，3），则a+c的值为

．参考答案：10【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别把点M（2，5）和N（8，3）代入函数的解析式，得到∴|8﹣a|﹣|2﹣a|=|2﹣c|﹣|8﹣c|，再函数y=﹣k|x﹣a|+b的对称轴为x=a，函数y=k|x﹣c|+d的对称轴为x=c，得到2＜a＜8，2＜c＜8，继而去掉绝对值，求答案．【解答】解：由题意知：函数y=﹣|x﹣a|+b和y=|x﹣c|+d均经过点（2，5），（8，3）所以：﹣|2﹣a|+b=5①﹣|8﹣a|+b=3②|2﹣c|+d=5③|8﹣c|+d=3④①﹣②得，|8﹣a|﹣|2﹣a|=2，③﹣④得，|2﹣c|﹣|8﹣c|=2，∴|8﹣a|﹣|2﹣a|=|2﹣c|﹣|8﹣c|，又因为：函数y=﹣k|x﹣a|+b的对称轴为x=a，函数y=k|x﹣c|+d的对称轴为x=c，∴2＜a＜8，2＜c＜8∴8﹣a﹣（a﹣2）=c﹣2﹣（8﹣c）∴10﹣2a=2c﹣10∴2a+2c=20∴a+c=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了绝对值函数的图象和性质，属于中档题．17.平面上两定点A,B之间距离为4,动点P满足,则点P到AB中点的距离的最小值为

▲

.

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.高三（3）班班主任根据本班50名学生体能测试成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．（1）求频率分布图中a的值；（2）求该班50名学生中，成绩不低于80分的概率；（3）从成绩在[40，60）的学生中，随机抽取2人，求此2人分数都在[40，50）的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．（2）由所给频率分布直方图知，50名学生成绩不低于80的频率为0.4，由此能求出该班成绩不低于80的概率的估计值．（3）学生成绩在[50，60）的有3人，记为A1，A2，A3，学生成绩在[40，50）的有2人，记为B1，B2．由此能求出此2人分数都在[40，50）的概率．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022+0.028）×10=1，所以a=0.006．…（3分）（2）由所给频率分布直方图知，50名学生成绩不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该班成绩不低于80的概率的估计值为0.4．…（7分）（3）学生成绩在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3，学生成绩在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的成绩都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为p=．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真是题，注意列举法的合理运用．19.我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．（1）试求平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹；提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为其中（2）若中，满足，求三角形的面积的最大值.

参考答案：解：（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为．设动点坐标…………1分根据题意可得

………………２分，即

………………４分整理得

………………５分所以平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹是圆．（用，最后整理得相应给分，其它情形酌情给分）

………………６分（2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为．设顶点，根据题意可得，即整理得

即点落在除去两点的圆上．……………10分又，……………12分……………14分

20.（本题满分10分）设函数.（Ⅰ）若的最小值为3，求值；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.……4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为……10分21.（本小题满分12分）已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小