广东省梅州市国家级重点中等职业学校高三数学文知识点试题含解析

广东省梅州市国家级重点中等职业学校高三数学文知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数f(x)图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的单调递增区间为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据图像得到，在于图像的平移得到，将带入正弦函数的递减区间，即可得答案.【详解】由图像得，∴，∴，∵图像过点，∴，即，解得：，∴，∴，∴，∴函数的单调递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2.公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：，sin15°≈0.2500，sin7.5°≈0.2588）（）A．48 B．36 C．24 D．12参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．3.“”是直线平行于直线的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C4.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：1.恒成立问题；2.函数的极值与最值.【思路点晴】本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒成立问题,属中档题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,本题不等式给出的是分式,应先等价为整式,转化为函数的单调性问题,进一步转化为另一个不等式恒成立问题,分离变量重新构造函数解决问题.注意单调性的转化中等号的取舍与验证.5.已知数列{an}满足a1＝1，，则＝()A

1

B

0

C

2014

D

－2014参考答案：B略6.函数的零点所在的区间是

（

）A．（0，1） B．（1，2）

C．（2，3） D．（3，10）参考答案：C7.设当x=θ时，函数f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，则sinθ=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．解出θ，【解答】解：，其中，，由f（θ）=5sin（θ+φ）=﹣5，可得sin（θ+φ）=﹣1，∴，k∈Z，，k∈Z，∴，故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．8.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) (B) (C) (D)参考答案：D因为函数满足，所以的图像关于直线对称，而的图像关于对称（不符合题意）；的图像关于对称，符合题意.故选D.9.

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D10.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=(

)A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题；规律型．【分析】集合A中元素个数较少，是有限集合，B是无限集合，可以利用交集的定义逐一确定A∩B中元素，得出结果．【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}，∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={1，2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形ABCD面积的最大值为_______．参考答案：.解：设，在中，由余弦定理得，.在中，由余弦定理可得，，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.12.在一个边长为米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为

；参考答案：略13.设R，函数的最小值是－2，则实数k=

.参考答案：答案：

14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.参考答案：

60

15.已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=．参考答案：﹣1考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．分析： 先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答： 解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评： 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．16.在的展开式中，的系数是

（用数字作答）．参考答案：17.设，则的值为 .参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求的值。参考答案：解：（1）C:（2）将直线的参数表达式代入抛物线得

代入得略19.已知函数f（x）=在（0，+∞）存在最大值，且最大值为1．（1）求实数k的值；（2）若不等式f′（x）＞a﹣在（0，2]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最大值并令其为1，从而解得；（2）化简原不等式可得2lnx+ax2﹣（2a+1）x＜0，记g（x）=2lnx+ax2﹣（2a+1）x，求导g′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，由f′（x）=0得x=e1﹣k，当x∈（0，e1﹣k）时，f（x）单调递增，当x∈（e1﹣k，+∞）时，f（x）单调递减，故f（x）的最大值为f（e1﹣k）=ek﹣1=1，所以k=1；（2）原不等式可变形为2lnx+ax2﹣（2a+1）x＜0，记g（x）=2lnx+ax2﹣（2a+1）x，g′（x）=，当a≤0时，g′（x）≥0，即g（x）在（0，2]递增，所以gmin（x）=g（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，解得a＞ln2﹣1，故ln2﹣1＜a≤0；当0＜a≤时，g′（x）≥0，g（x）在（0，2]递增，所以gmin（x）=g（2）=2ln2﹣2a﹣2＜0，解得a＞ln2﹣1，故0＜a≤；当a＞时，由g′（x）＜0得＜x≤2，由g′（x）＞0得0＜x＜；所以g（x）在（0，）递增，在（，2）递减，故gmin（x）=g（）=﹣2lna﹣﹣2＜0，记h（a）=﹣2lna﹣﹣2（a＞），则h′（a）=＜0，h（a）＜h（）=2ln2﹣3＜0，故a＞；综上所述，实数a的取值范围是a＞ln2﹣1．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用．20.设函数f（x）=ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x2+3x），若对任意x≥0都有g（x）≤0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得当a=1时的函数f（x）的导数，求得单调区间，可得x=0取得极大值，且为最大值；（Ⅱ）求得g（x）的导数，由a=1可得ln（x+1）≤x对x＞﹣1恒成立，对a讨论，分①当a≤﹣时，②当﹣＜a＜0时，③当a≥0时，运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到所求a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x，导数f′（x）=﹣1=﹣（x＞﹣1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=0处，f（x）取得极大值，且为最大值f（0）=0；（Ⅱ）由函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x2+3x）=（x+1）ln（x+1）+a（x2+2x），导数g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1（x＞﹣1），由（Ⅰ）可得a=1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）≤x对x＞﹣1恒成立．①当a≤﹣时，g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1≤x+2ax+2a+1=（2a+1）（x+1）≤0，即g（x）在[0，+∞）递减，从而g（x）≤g（0）=0满足题意；②当﹣＜a＜0时，存在x∈（0，﹣﹣1），使得ln（x+1）＞0，1+2a（x+1）＞0，从而g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1＞0，即g（x）在（0，﹣﹣1）递增，故存在x0∈（0，﹣﹣1），使得g（x0）＞g（0）=0，不满足题意；③当a≥0时，?x＞0，g（x）=（x+1）ln（x+1）+a（x2+2x）＞0，此时不满足题意．综上可得，a的取值范围是（﹣∞，﹣]．21.设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．参考答案：解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．

(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．由于sin(x－y)≥0，cosz>0，故cosxsinycosz≤cos2z=cos2=(1+cos)=．当x=y=，z=时取得最大值．∴最大值，最小值．22.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过点F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，当直线l与x轴垂直时，=2． （1）求椭圆的方程； （2）设F2是椭圆的右焦点，求的最大值和最小值． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由抛物线方程求得焦点坐标和点C和点D坐标，由题意可知==2，求得丨F1A丨=，求得A点坐标，代入椭圆方程，根据椭圆的性质即可求得a和b的值，求得椭圆的方程； （2）当AB垂直于x轴，求得A和B点坐标，求得向量和，由=4﹣=，当AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2，x1x2，由=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），根据向量数量积的坐标表示，=﹣，由k2≥0，即可求得∈[﹣1，]． 【解答】解：（1）由抛物线方程，得焦点F1（﹣1，0）． 设椭圆的方程：（a＞b＞0）， 解方程组，求得C（﹣1，2），D（1，﹣2）， 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ∴==2，丨F1A丨=， ∴A（1，）， ∴， 又a2﹣b2=c2=1， 因此，，解得：b2=1，a2=2， 椭圆的方程为；…5分． （Ⅱ）由F1（﹣1，0），F2（1，0）， ①AB垂直于x轴，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣） ∴=（﹣2，），=（﹣2，﹣），=4﹣= ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k， 则直线AB的方程为y=k（x+1）， 由，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0， △=8k2+8＞0， ∴方程有两个不等的实数根． 设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2