高中数学知识点(精炼)

数学（理）考试能力注重应用意识和创新意识

命题体现数学学科的性质和特点，注重对数学基础知识、基本技能、数学思想

和方法的考查，注重对考生数学素养和解决问题能力的考查，鼓励考生多角度、

创造性地思考和解决问题。

考试范围是《普通高中数学课程标准（实验）》中的必修课程内容和选修系列2

的内容以及选修系列4—5的部分内容，内容如下：

数学1：集合、函数概念与基本初等函数I6旨数函数、对数函数、事函数）。

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。

数学3：算法初步、统计、概率。

数学4：基本初等函数H㈢角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。

数学5：解三角形、数列、不等式。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

选修2—3：计数原理、统计案例、概率。

选修4—5：不等式的基本性质和证明的基本方法。

知识点

数学1：集合、函数概念与基本

初等函数I（指数函数、对数函数、塞

函数）。

一集合

知识点：

集合的概念、分类：

二.集合的特征：

⑴确定性⑵无序性⑶互异性

三.表示方法：

⑴列举法⑵描述法⑶图示法⑷区间法

四.两种关系：

从属关系：对象€、史集合；包含关系：集合C集合

五.三种运算：

交集：AC\B={XIXGAJlxeB}

并集：AU8={xlxeA或xeB}

补集：QA={xlxeU且x史A}

六.运算性质：

AU0=4，AA0-0.

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

若AqB,则An§=A,AU8=8.

集合{4,出,生，…，的所有子集的个数为2"，所有真子集的个数为2"-1所

有非空真子集的个数为2"-2

二函数概念与基本初等函数I

知识点：

指数与对数运算

分数指数系与根式：

如果x"=a,则称x是a的〃次方根，0的〃次方根为0,若a/0,则当〃为

奇数时，a的〃次方根有1个，记做后；当〃为偶数时，负数没有〃次方根，正

数。的〃次方根有2个，其中正的〃次方根记做后.负的〃次方根记做-标.

1.负数没有偶次方根；

2.两个关系式：（%'）”=a；y/a"aw为奇数

lai〃为偶数

正数的正分数指数累的意义:a；=而；

正数的负分数指数累的意义:

分数指数幕的运算性质:

(3)(am)"=amn；(4)(a-b)m=am-bm；

(5)a°=l,其中m、〃均为有理数，a,匕均为正整数

二.对数及其运算

1.定义：若d=N(a>0,且awl,N>0),则匕=log〃N.

2.两个对数：

(1)常用对数：a=10,8=log1oN=lgN；

(2)自然对数：a=e»2.71828,b=log,,N=InN.

3.三条性质：

(1)1的对数是0,即log”1=0；

(2)底数的对数是1,即log-=l；

⑶负数和零没有对数.

4.四条运算法则:

M

⑴\oga(MN)=log,,M+logaN；(2)loga—=logaM-logflN；

n

(3)logflM=nlog^M；(4)logaY[M=—log„M.

其他运算性质:

⑴对数恒等式：**=匕；

⑵换底公式：1085=她巴

⑶logab-logfec=logac；logub-logiG=1；

n

⑷logbn=—log„/?.

m

函数的概念

映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则/,对于集合A中的任

意…个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称

为从集合A到集合B的映射•.

二.函数：在某种变化过程中的两个变量x、y,对于x在某个范围内的每一个

确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称)，是x

的函数，记做y=/(x),其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义

域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域.

三.函数y=/(x)是由非空数集A到非空数集B的映射.

四.函数的三要素：解析式；定义域；值域.

函数的解析式

一.根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知/(J7+1)=X+2«,求函数/(x)的解析式.

二.已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知/(x)是一次函数，且/"(x)]=4x+3,函数/(x)的解析式.

三.由函数/(X)的图像受制约的条件，进而求/(X)的解析式.

函数的定义域

一.根据给出函数的解析式求定义域：

(1)整式：xeR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被开方数大于或等于0

(4)含0次幕、负指数塞：底数不等于0

⑸对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0

二.根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知y=/(x)定义域为[2,5],求y=/(3x+2)定义域;

已知y=/(3x+2)定义域为[2,5],求y=f(x)定义域;

三.实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.

函数的值域

一.基本函数的值域问题：

名称解析式值域

一次函数y=kx+hR

八口.Aac-h1、

a>0时，\-------,4-oo）

4。

二次函数y=ax2+/?x+c

o<0时，（-8,4"ci]

4a

k

反比例函数y=-{y1y£R,且"0}

X

指数函数y=ax{yl），>0}

对数函数y=log“xR

y=sinx

三角函数y=cosx

y=tanxR

二.求函数值域(最值)的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，

因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观

察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、

不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.

反函数

一.反函数：设函数〉=/(幻(*€4)的值域是。，根据这个函数中》，y的关系,

用y把x表示出，得到x=0(y).若对于C中的每一y值，通过x=e(y),

都有唯一的一个x与之对应，那么，x=c(y)就表示y是自变量，x是自变

量y的函数，这样的函数x=*(y)(ywC)叫做函数y=/(x)(xwA)的反函

数，记作x=_r(y),习惯上改写成y=/T(x).

二.函数/(x)存在反函数的条件是：X、y——"对应.

三.求函数/(X)的反函数的方法:

⑴求原函数的值域，即反函数的定义域

(2)反解，用y表示X,得》=广(>)

⑶交换x、y,得、=f-'(x)

(4)结论，表明定义域

四.函数y=/(x)与其反函数y=/T(x)的关系：

(1)函数y=/(x)与y=f-'(x)的定义域与值域互换.

⑵若y=/(x)图像上存在点(凡㈤，则》=尸(%)的图像上必有点S，a),艮喏

f(a)=b,则尸3)=a.

(3)函数y=f(x)与y=/t(x)的图像关于直线y=x对称.

函数的奇偶性：

一.定义：对于函数/(X)定义域中的任意一个X,如果满足/(-X)=-/(x),则

称函数/(X)为奇函数；如果满足/(-x)=/(x),则称函数/(X)为偶函数.

二.判断函数/(X)奇偶性的步骤：

1.判断函数/(X)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不

对称；

2.验证/(x)与/(-x)的关系，若满足/(-x)=-/(x),则为奇函数，若满足

=则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数.

二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

三.已知/(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(“nN*。)上的奇(偶)函数,

分别根据条件判断卜.列函数的奇偶性.

1

fMg(x)-/(X)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x>g(x)

/(X)

奇奇奇偶

奇奇

偶奇

奇奇

偶偶

偶偶偶偶

五.若奇函数/(x)的定义域包含0,则/(0)=0.

六.一次函数y=履+匕(A*0)是奇函数的充要条件是4二g；

二次函数》=数2+法+。(4#0)是偶函数的充要条件是三？

函数的周期性：

一.定义：对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每

一个值时，都有/(x+T)=/(x),则/(x)为周期函数，T为这个函数的一个

周期.

2.如果函数/(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

/(X)的最小正周期.如果函数/(X)的最小正周期为T,则函数/(ax)的最小

正周期为工.

函数的单调性

定义：一般的，对于给定区间上的函数/(X),如果对于属于此区间上的任

意两个自变量的值玉，x2,当玉<々时满足：

(I)f(x,)<f(x2),则称函数/(X)在该区间上是增函数；

(2)/(%,)>f(x2),则称函数/(x)在该区间上是减函数•

二.判断函数单调性的常用方法：

1.定义法：

⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：(4)定论：

*2.导数法：

(1)求函数/)的导数/'(x)；

⑵解不等式/(无)>0,所得x的范围就是递增区间;

⑶解不等式/，(为<0,所得x的范围就是递减区间.

3.复合函数的单调性：

对于复合函数y=〃g(x)],设〃=g(x),则y=/5),可根据它们的单调性确

函数的图像

一.基本函数的图像.

二.图像变换：

y=/(x)-y=f(x)+k

将>=/(x)图像上每一点向上(女>0)或向下(左<0)平移I■个单

位，可得y=/(x)+A的图像

y=/(x)ty=/(x+/i)

将y=/(x)图像上每一点向左(〃>0)或向右(〃<0)平移1〃1个单

位，可得y=/(x+〃)的图像

y=/(x)ty^af(x)

将y=/(x)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(a>1)

或压缩(0<«<1)为原来的a倍,可得y=af(x)的图像

y=/(x)->y=f(ax)

将y=/(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩

(a>1)或拉伸(0<a<1)为原来的工，可得y=/(ax)的图像

a

y=/(x)1y=/(-x)

关于y轴对称

y=/(x)ty=-f(x)

关于x轴对称

y=/(x)-y=/(ixi)

将y=/(x)位于y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴

对称到左侧，可得y=/(Ixl)的图像

y=f(x)-y="(x)l

将y=/(x)位于x轴下方的部分沿左轴对称到上方，可得

y="(x)l的图像

三.函数图像自身的对称

关系图像特征

/(x)=/(-x)关于y轴对称

/(x)=-/(-x)关于原点对称

f(a-x)=f(x-a)关于y轴对称

f(a+x)=f(a-x)关于直线x=。对称

/(x)=/(a-x)关于直线x=3轴对称

2

关于直线》=七也对称

f(a+x)=f(b-x)

2

fM=f(x+a)周期函数，周期为a

四.两个函数图像的对称

关系图像特征

y=/(x)与y=f(-x)关于y轴对称

y=/(x)与y=-/(x)关于x轴对称

y=/(x)与y=_/(—x)关于原点对称

y=/(x)与y=/T(x)关于直线y=x对称

y=/(x_q)与y=f(a-x)关于直线x=。对称

y=/(a+x)与f(a-x)关于y轴对称

数学2：立体几何初步、平面解析几

何初步。

一立体几何初步

知识点：

一.空间直线与平面

i.直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内无数个公共点;

（2）直线和平面相交有且只有一个公共点;

（3）直线和平面平行没有公共点——用两分法进行两次分类.

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为aua,aC\a=A,alla.

2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平

面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

推理模式：aua,bua,allbnaHa.

3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过

这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

推理模式：alla,au0,an0=bnallb.

4.定义：如果一条直线/和一个平面a相交，并且和平面a内的任

意一条直线都垂直，我们就说直线/和平面a互相垂直.其中直线/

叫做平面的垂线，平面a叫做直线/的垂面.交点叫做垂足.

直线/与平面a垂直记作：/_La

5.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂

直，那么这条直线垂直于这个平面.

6.直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那麽

这两条直线平行

7.点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点

和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

8.直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上

任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.

9.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂

直，那么它也和这条斜线垂直.

10.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个

平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.

POla,Oea

推理模式：PAQa^A>=>aJ_AO.

acza,aA.AP

注意：⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直a内的直线a.其实质是：斜线和平面内

一条直线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.

二.空间平面与平面

'没有公共点——两平面平行

1.两个平面的位置关系有两种：’

I有一条公共直线——两平面相交

2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平

面，那么这两个平面平行.

ac/3

定理的模式：S

aCb=P、=all°

alia

b//a

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直

线，那么这两个平面互相平行.

r

推论模式：Qua,/?u=P；a'u0,b'u/3,a//a,hHhall(3

3.两个平面平行的性质：

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

【附】

1.证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再

导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两

个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：aCb,a

Ua,bCa,a〃B,b〃B,则a〃B.

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a±a,则a

//B.

（4）平行于同一个平面的两个平面平行.all00"

2.两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这

个定理可简记为：

“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：a〃B,aua,则a〃6.

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这

个定理可简记为：

“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：a〃0,anY=a,BCV=b,

贝ija〃b.

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面。

这个定理可用于证明线面垂直。用符号表示是：a//a,ala,则a_LB.

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

5.两个平面垂直的定义：

相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

6.两平面垂直的判定定理：（线面垂直=＞面面垂直）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

7.两平面垂直的性质定理：（面面垂直n线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在…个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个

平面。

二平面解析几何初步

知识点：

•直线的方程

1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直

线的倾斜角，范围为［0,幻.

斜率：当直线的倾斜角不是90°时，则称其正切值为该直线的斜率，即

k=tana;当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在。

2、过两点pi(xi,y),p?(x2,y?)(xHx2)的直线的斜率公式:k=tana=2一4

x2-%

若X1=X2，则直线PR的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.

3.直线方程的种形式：

名称方程适用范围

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

点斜式y-yo=k(x-x0)不含直线X=Xo

不含直线X=X1（X|WX2）和

y—x二x—)

两点式

%一%工2一百直线y=Yi（yi^Ya）

幻'一

截距式-----1------1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ah

二.直线与直线的位置关系

（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。

1、当直线不平行于坐标轴时，直线与圆的位置关系可根据下表判定

h：y=kix+b]li：Aix+Biy+Ci=O

h：y=k2x+b2b：A2X+B2y+C2=0

Ki=k2且biWb2

平行—A=刍—_土w—G

A，2

K)=k2且bj=b2

重合

K|Wk2

相交A*

A2B2

垂直Kk2=-1AIA2+B162=0

2、当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。

（二）点到直线的距离、直线与直线的距离

1、点P（xo,yo）到直线Ax+By+C=0的距离为：d［，个+为。弱（不+炉=0）

V/42+B2

2、直线h〃L，且其方程分别为li：Ax+By+Ci=0,l2：Ax+By+C2=0,

\C-C\

则lj与12的距离为：d=（A?+炉W0）

^IA2+B2

（三）两条直线的交角公式

若直线h的斜率为ki，b的斜率为k2，则

k—k

（1）直线h到b的角满足：tanO=£」工（板2WT）.

1+攵*2

（2）直线h与直线12所成的角（简称夹角）。满足：tan9=k&」-k~（匕七1）

1+女］忆2

说明：（1）当h和b的斜率都不存在时，所成的角为0°;（2）当h与12的斜率

有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）h到

b的角q不同于b到h的角％，它们满足：4+%=".

（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的

方程组的解的个数。

三.线性规划

1、二元一次不等式表示平面区域

（1）一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线

Ax+5y+C=0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线.

不等式Ar+By+C20所表示的平面区域（半平面）包括边界线.

（2）对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点（x,y）,使得Ax+By+C的值符号

相同。因此，如果直线4x+5y+C=0一侧的点使Ax+3y+C〉0,另一侧的

点就使Ax+8），+C<0。所以判定不等式Ax+By+C〉0（或

Ax+By+C<0）所表示的平面区域时，只要在直线A%+3y+C=0的一

侧任意取一点（X。,％）,将它的的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，

不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在

区域的另一侧平面区域。

（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平

面区域的公共部分.

2、线性规划

⑴基本概念

名称意:义

线性约束条件由的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对的约束条

件

目标函数关于的解析式

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解

可行域所有可行解组成的集合叫做可行域

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤

①、设出所求的未知数

②、列出约束条件（即不等式组）

③、建立目标函数

④、作出可行域

⑤、运用图解法求出最优解

四.圆的方程

1、圆心为C（a,»,半径为r的圆的标准方程为：（x-a）2+（y—。）2=/2（厂>（））.

特殊地，当a=b=O时-，圆心在原点的圆的方程为：x2+y2=r2.

nF

2、圆的一般方程彳2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为点（一5，_万），半径

3、二元二次方程+8孙+。2+以+3+尸=0,表示圆的方程的充要条件

是：①、/项V项的系数相同且不为0,即4=。。0；②、没有盯项，即

B=0；③、D2+E2-4AF>0.

4、圆C:（x-万+（y-勿2=产的参数方程为尸=。+「cos。（0为参数）.特殊地，

[y=/?+rsin0

，+V=产的参数方程为P=「COS"（o为参数）

y=rsin。

五.直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到

直线L的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切=d=ro△=0

相交od<ru>△>0

相离。d>roA<0

2、圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下关系:

外离=d>R+r

外切od=R+r

相交。R—r<d<R+r

内切=d=R—r

内含od<R-r

数学3：算法初步、统计、概率。

一算法初步

知识点：

（-）算法的基本概念

1、算法定义描述：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某

一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步

之内完成.

2、算法的特性：

①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是

无限的.

②确定性：算法中的每•步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而

不应当是模棱两可.

③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能

通过手工和机器在有限时间内完成.

④输入：一个算法中有零个或多个输入.

⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.

（-）三种基本逻辑结构

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上

到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法

都离不开的一种基本算法结构.

2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不

同流向的算法结构.

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一

处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结

构中一定包含条件结构.循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）当型循环结构：每次执行循环体前对循环条件进行判断，当条件满足时执行循

环体，不满足时停止.

（2）直到型循环结构：执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件

不满足时执行循环体，满足则停止.

二统计、概率

知识点：

分类计数原理和分步计数原理

（1）分类计数原理（加法原理）：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有n种不同的方法，

在第二类办法中有Di?种不同的方法，……，在第n类办法中有叫种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

（2）分步计数原理（乘法原理）：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做

第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件

事有NfiXn^X…Xmn种不同的方法。

—.排列

1.排列的概念：从〃个不同元素中任取加个元素，按照一定的次序排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的个数叫做从n个不同元素

中取出加个元素的排列数，用A；表示.

2.2.排列数公式：从〃个不同元素中任取加个元素的排列的个数A；：=〃（n-l）

（〃一2）…（〃一研1）.

3.附有限制条件的排列

（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限

制的位置.

（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：

元素在某一位置或元素不在某一位置；

元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；

元素不相邻——插空法；

比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.

（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌

握一些问题的逆向思考问题的方向一一间接法.

三.组合

1.组合的概念：从〃个不同元素中任取加个元素并成一组，叫做从〃个不同元素

中取出加个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C：表示.

2.组合数公式C：=一-一.

(〃一加)!加

3.组合数的两个性质：

(1)C：=C：T"；(2)C；+1=C：+C：i

四.排列与组合的综合问题

1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它

们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组

合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行

排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.

2.解排列组合的应用题，要注意四点：

(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件

发生的过程进行分步.

(2)深入分析、严密周详，注意分清是参还是加，既不少也不多，辩证思维，

多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.

(3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的

方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原

理来解决.

(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果

时一，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用

多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统

一，否则易出现遗漏或重复.

五.二项式定理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

2.二项展开式的性质是解题的关键.

3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等

式，进行近似计算等.

六.随机事件的概率

1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.

2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.

3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.

4.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率竺总接近于某

n

个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(Z).由定

义可知OWP(A)W1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.

5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本

事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出

现的结果有〃个，即此试验由A个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相

等,那么每一基本事件的概率都是L如果某个事件A包含的结果有加个,那么事

件4的概率P(Z)=-.

n

6.使用公式P3)=%计算时,确定以、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多

n

变，没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原

理,必须做到不重复不遗漏.

七.互斥事件有一个发生的概率

1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.

2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.

3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；

第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；

第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.

从集合角度来看，尔8两个事件互斥，则表示4、6这两个事件所含结果组

成的集合的交集是空集.

对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生

的两个事件，集合/的对立事件记作从集合的角度来看，事件,所含结果的

集合正是全集〃中由事件Z所含结果组成集合的补集，即ADA=0.

对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.

4.事件/、6的和记作4+8,表示事件48至少有一个发生.当/、6为互斥事件

时，事件4+8是由发生而6不发生”以及“8发生而/不发生”构成的，因

此当A和6互斥时，事件4+8的概率满足加法公式：P(.A+B)=P(A)+P(6)(/、

6互斥)，且有尸(4+N)=PCA)+P(A)=1.

当计算事件A的概率P(/)比较困难时，有时计算它的对立事件N的概率

则要容易些，为此有尸(4)=1-^(7).

对于〃个互斥事件4,4,…，A“,其加法公式为尸(4+4+…+4)=尸(4)

+P(4)+…+尸(An).

5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.

八.相互独立事件同时发生的概率

1.相互独立事件：事件4是否发生对事件6发生的概率没有影响，这样的两个事

件叫相互独立事件.

2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为0,那么在〃次独立重

k

复试验中，这个事件恰好发生A次的概率为只(A)=Qnp(1-p)

3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：

第一，相互独立也是研究两个事件的关系；

第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；

第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率

没有影响”来确定的.

4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同

试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥

事件不可能同时发生.

5.事件/与8的积记作力•8,4•8表示这样一个事件，即4与8同时发生.

当/和8是相互独立事件时，事件A•6满足乘法公式PCA-B）=尸（4）•一

（B）,还要弄清入•万，屋石的区别.A•豆表示事件N与否同时发生，因此它

们的对立事件A与8同时不发生，也等价于A与8至少有一个发生的对立事件即

A+B,因此有入•AB,但N•B-A+B.

九.离散型随机变量的分布列

1.随机变量的概念

如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，

它常用希腊字母J、〃等表示.

（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出,

那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.

（2）若§是随机变量，n=a；+b,其中a、6是常数，则〃也是随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量J可能取的值为耳，X2,…，X],…,

f取每一个值%9=1,2,•••）的概率尸（=p”则称表

・・・・・・

8X\X?Xi

・・・

PPlP2•••Pi

为随机变量&的概率分布，简称§的分布列.

（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是0,那么在〃次独立重复

试验中这个事件恰好发生4次的概率是P（W=k）Wf/j.

其中公0,1,…，n,q=l-p,于是得到随机变量J的概率分布如下:

01・・・k・・・n

00nckkn—k

pC：pqc\Pq・♦・Cipq・・・C'；pq

我们称这样的随机变量§服从二项分布，记作f〜8（〃，0）,其中〃、0为

参数，并记（A；n,p）.

特别提示

二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布.

（3）.几何分布：=k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如

果把k次试验时事件A发生记为人小事A不发生记为Ak，P（AQ=q,那么

P(^=k)=P(X,A；-X^Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：

k

P(^=k)=P(A1)P(A2),.P(Ak_l)P(Ak)=q-'p(k=1,2,3,…)于是得到随机变量，的概率分布

列.

g123・・・k・・・

Pqqpq2p•・・qk，P・・・

我们称巳服从几何分布，并记g(k,p)=qip,其中q=l-p.«=1,23-

十.离散型随机变量的期望值和方差

1.期望：若离散型随机变量当？=%的概率为尸(孑=X,)=P,(7=1,2,

n,•••),则称=为J的数学期望，反映了J的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均由§的分布列唯一

确定.

2.方差：称〃f=£为随机变量f的均方差，简称方差.、原叫标

准差，反映了£的离散程度.

3.性质:(1)E(af+Z>)=aE；+b,〃(aJ+8)(a、6为常数).

(2)二项分布的期望与方差：若f〜8(〃，0),则£§=即，Dg=npq(fl

-p)­

〃，表示£对的平均偏离程度，越大表示平均偏离程度越大，说明f

的取值越分散.

十一.抽样方法、总体分布的估计

(一)抽样

1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为M如果通过逐个抽取的方法从中抽取

一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随

机抽样.⑴用简单随机抽样从含有A'个个体的总体中抽取一个容量为〃的样本

时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为工；在整个抽样过程中各个

N

个体被抽到的概率为,；⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被

N

抽到的概率相等；⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其

他更复杂抽样方法的基础.(4).简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是

逐个地进行抽取；它是…种等概率抽样.

简单抽样常用方法：

(1)抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并

把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，

然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个

号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

适用范围：总体的个体数不多时.

优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.

（2）随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；

第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码.

2.系统抽样：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按

预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系

统抽样.系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号.为简便起见，

有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，

等等.②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k.当色（N

n

为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=»;当过不是整数时，通

nn

过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数，能被n整除，这时k=竺.

n

③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号/.④按照事先确定的规则抽取

样本（通常是将/加上间隔k,得到第2个编号/+k,第3个编号/+2k,这样继续

下去，直到获取整个样本）.

①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系

在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的.

③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽

样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总

体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样…

3.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映

总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种

抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.

常用的抽样方法及它们之间的联系和区别:

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机总体中的个数比较

从总体中逐个抽取

抽样少

将总体均匀分成几

抽样过程中在起始部分抽样

个部分，按照事先确总体中的个数比较

系统抽样每个个体被时采用简单随机

定的规则在各部分多

抽取的概率抽样

抽取

是相同的

各层抽样时采用

将总体分成几层，分总体由差异明显的

分层抽样简单抽样或者相

层进行抽取