高考数学概念、方法、易错点、题型总结大全

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要

掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了

解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、

常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信

通过对本资料的认真研读，•定能大幅度地提升高考数学成绩。

集合与简易逻辑

集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异

性，如

(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+blaeP力eQ},若尸={0,2,5},

Q={1,2,6},则P+Q中元素的有个。

(答：8)

(2)设U={(x,y)IxeeA},A={(x,y)12x—y+机>0},B={(x,y)Ix+y-n<0},

那么点P(2,3)eAn(C,8)的充要条件是

(答：m>-l,n<5);

⑶非空集合S三{l,2,3,4,5},且满足“若aeS,则6-aeS"，这样的S共有个

(答：7)

遇到AnB=0时，你是否注意到“极端”情况：4=0或5=0；同样当AqB时，你

是否忘记A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的董子集。如

集合A={xlax-l=0},B={xlx2-3x+2=0},且AUB=B,则实数a=—.

(答：a=0,l,-)

2

三.对于含有“个元素的有限集合“，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

为2",2"-1,2"-1,2"-2.如

满足{1,2}括Mq{1,2,3,4,5}集合M有个。

(答:7)

四.集合的运算性质：

(DAUB=A0B±A；

(2)AnB=BoB=A;

⑶A=8=廨江“B；

(4)API“8=00

(5)QAU8=U=A=B；

(6)Cv(AnB)=CvAUClJB；

(7)CU(A(JB)^CUAQCL,B.

如：设全集U={123,4,5},若AH8={2},(C")n8={4},(C；A)n(G*)={l,5},则

A=,B=—.

(答：A={2,3},B={2,4})

五.研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如：{xly=lgx}—函

数的定义域；{yly=lgx}—函数的值域；{(x,y)Iy=Igx}—函数图象上的点集，如

(1)设集合M={xly=Jx—2},集合N={yly=x2,xeA/},则MP)N=___

(答：［4,+oo))；

(2)设集合M={ZlZ=(l,2)+〃3,4),/leR},N={£I£=(2,3)+4(4,5),ZeR},则

MnN=

(^：{(-2,-2)))

六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空

集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数/(x)=4x2—2(p-2)x-2p2-p+l在区间［—1」上至少存在一个实数c,使

/(c)〉0,求实数p的取值范围。

(答：(-3，))

2

七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真

假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反二如：

在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或4”为真的充分不必要条件；

⑵“p月为假是“p或q”为真的充分不必要条件；

⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；

(4)“非p”为真是“p月为假的必要不充分条件。

其中正确的是

(答：(1)(3))

八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p"；否命题为“若

-p则「q”;逆否命题为“若「q则「p”。

提醒：

(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同

真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；

(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；

(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命

题的否定仅对命题的结论否定；

(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“AnBoRnN”判断

其真假，这也是反证法的理论依据。

(5)哪些命题宜用反证法？

如：

(1)”在aABC中，若NC=90°,则NA、NB都是锐角”的否命题为

(答：在A48C中，若NCH90°,则NA,不都是锐角)；

(2)已知函数/@)=/+匕,。＞1,证明方程〃x)=o没有负数根。

X+1

九.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的

充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A=

则A是B的充分条件；若BqA,则A是B的必要条件；若人=8,则A是B的充要条

件。如：

(1)给出下列命题：

①实数”0是直线ax-2y=1与22y=3平行的充要条件；

②若a,bGR,ab=0是同+网=1成立的充要条件;

(3)已知若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题是“若x。0或y/0则

孙。0”；

④“若。和b都是偶数，贝Ua+b是偶数”的否命题是假命题。

其中正确命题的序号是

（答：①④）;

（2）设命题p：14x-3K1；命题q:厂-（2。+l）x+若np是~iq的必要而不

充分的条件，则实数。的取值范围是___________

（答：［0,J）

十.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为公>8的

Ah

形式，若。>0,贝ijx〉一；若。<0,则xv—；若a=0,贝U当<0时，x£R；当。20时，xe0o

aa

如

已知关于x的不等式（a+/0x+（2a-3b）<0的解集为（-oo,-l）,则关于x的不等式

（a-3b）x+（。-2a）>0的解集为

（答：｛xlx<-3｝）

十一.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当△=（）和△<（）时的解集你会正确表示吗？

设〃>0,玉,工2是方程尔+以+。=0的两实根，且玉<々，则其解集如下表:

ax2+bx+c<0

ax1+bx+c>0ax2+Z?x+c>0ax2+hx+c<0

A>0{x\x<x或{x\x<x或{xlXj<x<x]

{x[x\x]<x<x2}2

x>x2}x>x2}

A=0,b、{xlx=—勺

{tx1Xw---}R。

2a

A<()R

R。。

2

如解关于x的不等式：ax-（a+l）x+1<0o

（答：当a=0时，x>1；当。<0时，x>］j^x<—；当0<a<l时，l<x<,；当a=l时，xe0；

aa

当a>l时，—<x<l）

a

十二.对于方程。/+以+。=0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次

若则一定有△=从-4四20。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含

有参数时，你是否注意到同样的情形？

如：（1）（a-2）x2+2（a-2）x-1<0对一切xeR恒成立，贝〜的取值范围是一

（答：（1,2］）；

（2）关于x的方程/（x）=k有解的条件是什么？（答：keD,其中。为/（x）的值域），特别

地，若在。刍内有两个不等的实根满足等式cos2x+6sin2x=A+l,则实数女的范围是

2

（答：。1））

十三.一元二次方程根的分布理论。方程/（x）=ax2+6x+c=0（a>0）在化+oo）上有两根、在

（孙〃）上有两根、在（-8,左）和（女,+8）上各有一根的充要条件分别是什么？

A>0

A>0/(m)>0

(<f(k)>0、f(n)>0/伏)<0)。根的分布理论成立的前提是开

hh

—->ktn<-—<n

.2a、2a

区间，若在闭区间［见〃］讨论方程/(x)=0有实数解的情况，可先利用在开区间(孙〃)上实根

分布的情况，得出结果，再令x=〃和》=加检查端点的情况.

如实系数方程/+仪+2。=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则B的取值

a-\

范围是________

(答：(L1))

4

十四.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程如2+以+。=0的两

个根即为二次不等式分2+8x+c>0(<0)的解集的端点值，也是二次函数y="2+bx+c

的图象与x轴的交点的横坐标。

如(1)不等式«>ax+g的解集是(4))，则。=__________

(答：」)；

8

(2)若关于X的不等式a/+Z?x+cV0的解集为(-8,〃2)U(〃,+00),其中机<〃<0,则关于X

的不等式C—一匕X+Q<0的解集为

(答：(-00,---)U(--,4-oo))；

mn

(3)不等式3/一2加:+1<0对尤1,2］恒成立，则实数b的取值范围是

(答：0)。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

函数

映射了：ArB的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中

元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：

(1)设fN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N

中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是

唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

(答：A)；

(2)点(凡加在映射了的作用下的象是。+6),则在/作用下点(3,1)的原象为点

(答(2,-1))；

(3)若4={1,2,3,4},B={a,b,c},a,b,cGR,则A到8的映射有个，5到A的映

射有一个，A到8的函数有个

(答：81,64,81)；

(4)设集合M={-l,0,l},N={l,2,3,4,5},映射fN满足条件“对任意的xeM,

x+f(x)是奇数”，这样的映射f有一个

(答：⑵;

(5)设是集合A到集合B的映射，若8={1,2},则AC5一定是

(答：0或{1}).

二.函数/：A-B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图

像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

如：

(1)已知函数/(x),xeF,那么集合{(x,y)及=f(x),xwF}n{(x,y)lx=l}中所含元素

的个数有个

(答:0或1)；

(2)若函数y=gx2-2x+4的定义域、值域都是闭区间［2,2切，则匕=

(答：2)

三.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和

对应法则唯确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。

如

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，

那么解析式为y=/,值域为{4,1}的''天一函数"共有个

(答：9)

四.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：

1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log“x中x>0,a>0

且三角形中0<A("，最大角N三,最小角《乙等。如

33

(1)函数y=屈三2的定义域是一

lg(x-3)-

(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))；

(2)若函数y=—,—的定义域为R,则ke________

h2+4丘+3

(答：0,£|);

(3)函数/(x)的定义域是国,句，b>-a>Q,则函数F(x)=/(x)+/(-x)的定义域是

(答：

(4)设函数/(x)=lg(Qx2+2x+D，①若f(x)的定义域是R,求实数。的取值范围；②

若/(X)的值域是R,求实数。的取值范围

(答：①。>1;®0<«<l)

2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3.复合函数的定义域：若已知/")的定义域为［a,切,其复合函数〃g(x)］的定义域由不

等式a4g(x)4沙解出即可；若已知〃g(x)］的定义域为"勿，求/(x)的定义域，相当于当

时,求g(x)的值域(即/(x)的定义域)。如

(1)若函数y=/(x)的定义域为,则/(10g2X)的定义域为

(答：IV2<x<41)；

(2)若函数/(f+l)的定义域为［—2,1),则函数/(x)的定义域为

(答：口,5］).

五.求函数值域(最值)的方法：

1.配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间［孙〃］上的最

值；二是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数

形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系)，如

(1)求函数y=求-2x+5,无G［T,2］的值域

(答：［4,8］)；

(2)当XG(0,2］时，函数/(外=。/+45+1)X一3在兀=2时取得最大值，则a的取值范

围是一

(答：a>-■-);

2

(3)已知f(x)=3""(24x44)的图象过点(2,1),则歹(x)="T(x)F-f3/)的值域为

(答：［2,5］)

2.换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解

析式含有根式或三角函数公式模型，如

(1)y=2sii?x-3cosx-l的值域为____

(答：［-4,?);

(2)y=2x+l+VT1的值域为

(答:(3,+oo))

(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为

(答:［―1,—+"^2］)；

2

(4)y=x+4+，9-x2的值域为

(答：［1,372+4］)；

3.函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求

函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如

2sin8-l3,2sin8-lA4/七上p

求函数y-------，y—-----，y-------的值域

1+sinB------1+3V1+cos6

iQ

(答：(-0,1］.(0,1)、(-oo,-］)；

22

4.单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如

求y=x-,(l<x<9),y=sii?x+—y=2*-5+log377^1的值域

x1+sinx

(答：(0,苧、［y,9］>［2,10］)；

5.数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等,

如

(1)已知点P(x,y)在圆f+y2=1上，求上及y-2x的取值范围

x+2

(答：［一理］、［一石,向);

(2)求函数的值域

(答：[10,+00))；

(3)求函数y=7x2-6x+13+y/x2+4x+5及y=Vx2-6x+13-G+4x+5的值域

(答：[匹,+oo)、(-726,726))

注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之

差时，则要使两定点在x轴的同侧。

6.判别式法一一对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可

以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不

等式：

①y=一:型，可直接用不等式性质，如

求y=_:的值域

2+x

(答：(0，])

2

②y一型,先化简，再用均值不等式，如

x4-mx+n

(1)求y的值域

-1+x2

(答：(-00,-1])；

2

(2)求函数>=叵1的值域

%+3

(答：呜])

③yJ""""'型,通常用判别式法；如

x+mx+n

已知函数y=log3如丁"+"的定义域为域值域为[0,2],求常数叽〃的值

X+1

(答：加=〃=5)

④y=)+〃'"〃’型,可用判别式法或均值不等式法，如

mx+n

求的值域

X+1

(答：(-co,-3]Ufl,+℃))

7.不等式法一一利用基本不等式疝(“1eR+)求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边

平方等技巧。如

设x,q,a,,y成等差数列，匕4,区,p成等比数列，则回士"的取值范围是

姑2

(答：(fo,0]U[4,+oo)

8.导数法---般适用于高次多项式函数，如

求函数/(x)=2X3+4X2-40x,xe[-3,3]的最小值。

(答：-48)

提醒：(1)求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？

(2)函数的最值与值域之间有何关系？

六.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示

对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/(%)时，一定首先要判断

即属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不

同子集上各关系式的取值范围的并集.如

(1)设函数〃x)=，则使得/(x)21的自变量x的取值范围是—

4-Vx^l.(x>l)

(答：(-co,-2]U[0,10])；

(2)已知/(x)=F(A-0)，则不等式x+(x+2)/(x+2)45的解集_____

-1(x<0)

3

(答：(-00,-])

2

七.求函数解析式的常用方法：

1.待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：

22

/(x)=ax+bx+c；顶点式：/(x)=a(x-m)+n；零点式：f(x)=a(x-xj(x-x2),要会

根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。如

已知/(x)为二次函数，且/(%-2)=/(-%-2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长

为2VL求/(幻的解析式。

(答：/(x)--^x2+2.X+1)

2.代换(配凑)法——已知形如/(g(x))的表达式，求/(x)的表达式。如

(1)已知/(1-cosx)=sin?x,求一位)的解析式

(答：/(x2)=-x4+2x2,xe[-V2,V2J)；

(2)若/(x—工)=/+3,则函数/。一1)=_____

XX

(答：X?-2x+3)；

(3)若函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当xe(0,+oo)H寸，/(x)=x(l+V%)»那么当

xe(-oo,0)时，f(x)=

(答：X(l—yfx)).

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即/(X)的定义域应是g(x)的值域。

3.方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式

的进行赋值，从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。如

(1)已知/(x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式

(答：f(x)=-3x--)；

(2)已知/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(x)+gO)=—,则/(x)=

A.反函数：

1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单

调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有/(X)=0(XG{0})有反函数；周期函

数一定不存在反函数。如

函数y=》2—2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是

A、a6B、ae[2,+oo)C>ae[1,2JD、aeU[2,+oo)

(答：D)

2.求反函数的步骤：①反求x；②互换X、y；③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。

注意函数y=f(x+l)的反函数不是y=_T'(x+l)，而是y=/T(x)-l。如

设/*)=(匕1)2(x>0).求/(X)的反函数尸(X)

X

3.反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如

单调递增函数/(x)满足条件/(办+3)=x,其中0,若/(x)的反函数/T(X)的定

义域为『,2]，则“X)的定义域是

aa

(答：[4,7]).

②函数y=/(x)的图象与其反函数y=/T(x)的图象关于直线y=X对称，注意函数

y=/(x)的图象与x=/T(y)的图象相同。如

(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),那么“4-X)的反函数的图象一定经过点_

(答：(1,3))；

(2)已知函数/(幻=生艺，若函数卜=8(幻与)，=广1(》+1)的图象关于直线y=x对称，

x-1

求g(3)的值

(答：工);

2

@f(a)=b^f-'(b)=a0如

(1)已知函数/(x)=log3(3+2),则方程广1*)=4的解x=___

X

(答：1);

(2)设函数段)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数尸(x),/(4)=0,则尸(4)=

(答：一2)

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如

已知/,(X)是R上的增函数，点8(1,3)在它的图象上，.尸(x)是它的反函数，那么

不等式|/-(log2x)|<1的解集为

(答：(2,8))；

⑤设/(x)的定义域为A,值域为B,则有了"T(x)]=x(xe8),=x

(xeA),但/"T(x)]w/T"(x)]。

九.函数的奇偶性。

1.具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时，

务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如

若函数/(x)=2sin(3x+6),xw[2a-5肛3a]为奇函数,其中(0,2万)，则a的值是

(答：0)；

2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：

①定义法：如判断函数y=/的奇偶性—(答：奇函数)。

A/9-X2

②利用函数奇偶性定义的等价形式：y(x)±/(-x)=o或**=±I(/(xWO)。如

期

判断/3=彳(5匕+；)的奇偶性_.(答：偶函数)

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于〉轴对称。

3.函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原

点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若/(x)为偶函数，则/(r)=/(x)=/(lxl).如

若定义在R上的偶函数在(-8,0)上是减函数，且/(；)=2,则不等式/(log|x)>2的

解集为.

(答:(0,0.5)U(2,+00))

④若奇函数/(久)定义域中含有0,则必有/(0)=0.故/(0)=0是/(X)为奇函数的既不充

分也不必要条件。如

若〃x)="2+"-2为奇函数,则实数。=(答：1).

2+1

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成''一个奇函数与一个偶函数

的和(或差”'。如

设/(%)是定义域为R的任一函数，/G(X)="X)7J。。①判断F(x)

与G(x)的奇偶性；②若将函数/(x)=lg(10'+l),表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数力(x)

之和，则g(x)=____

(答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)=gx)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(/(0=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

十.函数的单调性。

1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定号)、导数法(在区间(出。)

内，若总有f'(x)>0,则/(x)为增函数；反之,若/(尤)在区间①力)内为增函数，则/(x)N0,

请注意两者的区别所在。如

已知函数/(x)=x3—ax在区间口,+8)上是增函数，则。的取值范围是一

(答：(0,3]))；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y=ax+2(a>0

X

匕〉0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-00，书，店,+00),减区间为

[-*,0](0勺.如

VaVa

(1)若函数/(x)=/+2(a-l)x+2在区间(一8,4]上是减函数，那么实数a的取值

范围是______

(答：a<-3))；

(2)已知函数/*)=罢?在区间(一2,+00)上为增函数，则实数。的取值范围

(答：(g，+8))；

(3)若函数〃x)=log“[x+£-4](a>0,且aAl)的值域为R,则实数a的取值范围是

(答：0<。《4且QH1));

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如

函数y=log,(-X2+2X)的单调递增区间是一

2

(答：(1,2))。

2.特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数〃x)=log“(x2-"+3)在区间(-8,5

上为减函数，求。的取值范围(答：(1,2月))；二是在多个单调区间之间不一定能添加

符号“U”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.

3.你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比较大小；②解不等式；③求参数范围).

如已知奇函数/(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若/(m-l)+/(2m-l)>0,求实数m的取

值范围。(答：

23

十一.常见的图象变换

1.函数y=〃x+a)(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左平移。个单位得到

的。如

设/(x)=2:g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y=x对称，力(外的图像由g(x)的图像

向右平移1个单位得到，则〃(x)为

(答：/z(x)=-log2(x-l))

2.函数y=/(x+a)((a<0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向右平移时个单位得

到的。如

(1)若/(x+199)=4/+4x+3,则函数/(x)的最小值为

(答：2)；

(2)要得到y=lg(3-幻的图像，只需作y=lgx关于轴对称的图像，再向一平移

3个单位而得到

(答：y；右)；

(3)函数/(幻=》・电0+2)-1的图象与工轴的交点个数有个

(答：2)

3.函数y=/(x)+a(«>0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向上平移a个单位得到

的；

4.函数y=f(x)+a(a<0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿>轴向下平移同个单位得到

的；如

将函数y=—竺+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原

x+a

图象关于直线y=x对称，那么

(A)a=-l,"O(B)a=—l,beR

(C)a=l/wO(D)a=O,b€R

(答：C)

5.函数y=/(nx)(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的。

a

如

(1)将函数y=/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变)，再将此图

像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为

(答：/(3x+6))；

(2)如若函数y=/(2x-l)是偶函数，则函数y=/(2x)的对称轴方程是

(答：x=-g).

6.函数y=af(x)(a〉0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的。倍得到的.

十二.函数的对称性。

1.满足条件/(x-a)=/p-x)的函数的图象关于直线％=等对称。如

已知二次函数/(x)=ax2+bx(a丰0)满足条件/(5-x)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根，

则/*)=

(答：-■-X2+x)；

2

2.点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；函数y=/(x)关于y轴的对称曲线方程为

y=/(-x);

3.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；函数y=/(x)关于x轴的对称曲线方程为

y=-/々)；

4.点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)；函数y=/(x)关于原点的对称曲线方程为

y=-x)；

5.点(x,y)关于直线y=±x+a的对称点为(±(y-a),±x+a);曲线/(x,y)=0关于直线

y=±x+a的对称曲线的方程为/(土(y-a),±x+a)=0。特别地，点(x,y)关于直线y=x的对称

点为(y,x)；曲线/(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为/(y,x)

=0；点(元,丁)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x)；曲线=0关于直线y=-x的对称曲

线的方程为了(-乂-幻=0。如

r-3Q

己知函数/(X)="_,(XN士)，若y=〃x+l)的图像是G，它关于直线y=x对称图像是

2x-32

a，关于原点对称的图像为。3,则。3对应的函数解析式是.

(答：y=_j£±£)；

2x+l

6.曲线/(x,y)=0关于点(a/)的对称曲线的方程为/(2a-x,2b-y)=0。如

若函数y=x?+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，则g(x)=_

(答：-X2-7X-6)

7.形如y=g4(cw0,adw儿)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x=-立(由分母

cx+dc

为零确定)和直线y=£(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-!()。如

已知函数图象C与C:y(x+a+l)=a在/+1关于直线＞=兀对称，且图象C关于点(2,

-3)对称，则。的值为

(答：2)

8.|/(x)|的图象先保留/(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对

称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(Ixl)的图象先保留/(x)在丁轴右方的图象，擦去y

轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如

(1)作出函数y=llog2(x+l)l及y=log2lx+ll的图象;

(2)若函数/(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)=|/(x)|+/(k|)的图象关于

对称