高中立体几何知识点

[数学]高中立体几何知识点高中数学立体几何知识点归纳立体几何知识点总结1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.β、γ„或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，平面常用希腊字母α、如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，„表示点，小写字母，a,b,c,„l,m,n,„表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如:a)A?l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;,lα—直线l在平面α内;b),c)a,α—直线a不在平面α内;d)l?m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α?l=A—平面α与直线l交于A点;f)α?β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.证题方法直接证法证题方法反证法间接证法同一法4.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点第1页共48页高中数学立体几何知识点归纳(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定?定义:在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.?如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a?α,aβ，α?β=b,则a?b.?b,b?c,则a?c.?平行于同一直线的两直线平行，即若a?垂直于同一平面的两直线平行，即若a?α，b?α，则a?b?两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α?β,α?γ,β?γ=b,则a?b?如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α?β=b,a?α,a?β，则a?b.(2)两直线垂直的判定?定义:若两直线成90?角，则这两直线互相垂直.?一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b?c,a?b,则a?c?一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a?α,b,α，a?b.?三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.?如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a?α,b?α,则a?b.?三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α?β,β?γ，γ?α,且α?β=a,β?γ=b,γ?α=c，则a?b,b?c,c?a.(3)直线与平面平行的判定?定义:若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.,,?如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a?b,则a?α.,?两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α?β,lα，则l?β.,?如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α?β,l?β，lα，则l?α.,?在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A,α，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB?α.,,?两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α?β,aα，aβ，a?α，则α?β.?如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a?α,bα，b?a，则b?α.第2页共48页高中数学立体几何知识点归纳?如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a?b,a?α,b?α(或bα),(4)直线与平面垂直的判定?定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.?如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m?,,n=B,l?m,l?n,则l?α.?如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l?a,a?α,则l?α.?一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α?β,l?β，则l?α.?如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α?β,a?β=α，lβ，l?a,则l?α.,?如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α?γ,β?γ,且a?β=α,?γ.则a(5)两平面平行的判定?定义:如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点,α?β.?如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b,α，a?b=P,a?β,b?β,则α?β.?垂直于同一直线的两平面平行.即若α?a,β?a,则α?β.?平行于同一平面的两平面平行.即若α?β,β?γ,则α?γ.?一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b,α,c,d,β,a?b=P,a?c,b?d,则α?β.(6)两平面垂直的判定,?定义:两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α,a,β=90?α?β.,?如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l?β,lα，则α?β.?一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α?β，α?γ，则β?γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α?β,A?,α，AB?β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A?a,a?b，A?α,b,?α，则aα.,(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P?β，β?α，P?,a,a?α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a?α,A,?α，A?b,b?a,则bα.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;第3页共48页高中数学立体几何知识点归纳(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义:a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′?a,b′?b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围:0?,θ?90?.(3)求解方法?根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;?解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种:(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0?的角.(2)取值范围0??θ?90?(3)求解方法?作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.第4页共48页高中数学立体几何知识点归纳?解含θ的三角形，求出其大小.?最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0?,θ?180?二面角的平面角(3)?以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，?PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角?PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.?二面角的平面角具有下列性质:(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB?平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD?α，平面PCD?β.?找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(?)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法?先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.?利用面积射影定理S′=S?cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.?利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法:1)直接利用定义求?找到(或作出)表示距离的线段;第5页共48页高中数学立体几何知识点归纳?抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是:?在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;?求出此三棱锥的体积V和所取三点构成1S?h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构三角形的面积S;?由V=3造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.直线和平面的距离14.(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法?直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.?将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.?作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法?直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.?把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法?定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.?转化法为以下两种形式:线面距离面面距离?等体积法?最值法?射影法?公式法第6页共48页高中数学立体几何知识点归纳高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征(略)棱柱:棱锥:棱台:圆柱:圆锥:圆台:球:1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图:正视图:从前往后侧视图:从左往右俯视图:从上往下2画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3直观图:斜二测画法4斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变;(3).画法要写好。5用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(一)空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和22Srlr,，,,S,2,rl，2,r2圆柱的表面积3圆锥的表面积222SrlrRlR,，，，,,,,SR,4,4圆台的表面积5球的表面积2nR,1,,Slrr6扇形的面积公式(其中表示弧长，表示半径)l扇形3602(二)空间几何体的体积1VSh,，1柱体的体积2锥体的体积VSh,，底底3413,,VR(3台体的体积4球体的体积VSSSSh,，，，)下下上上33第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义:平面是无限延展的,无大小，无厚薄。2平面的画法及表示0(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。第7页共48页高中数学立体几何知识点归纳3三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al,,,Bl,,,,l,符号表示为,A,,,,B,,,公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为:A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A?α、B?α、C?α。,公理2作用:确定一个平面的依据。补充3个推论:推论1:经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。推论2:经过两条平行直线，有且只有一个平面。推论3:经过两条相交直线，有且只有一个平面。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。plpl,,,,,,,,,且符号表示为:公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内，没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。ab//,符号表示为:设a、b、c是三条直线，,ac//,cb//,强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.4异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线ABlBlABl,,,,,,,,,,,直线与直线异面符号表示:。5注意点:ab与?异面直线所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为简便一11般取在两直线中的一条上;00,,0,90]?两条异面直线所成的角:，?当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b;第8页共48页高中数学立体几何知识点归纳?两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形;?计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示a,,aαa?α=Aa?α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为:线线平行，则线面平行。,,a,,,,ba//符号表示:,,,,ab//,2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a,,,,b,,,,符号表示:简记为:线线平行，则面面平行。//abA,,,,,,a//,,b//,,,2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;,,,,,,,aa,//(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为:2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。a//,,,aab,,//简记为:线面平行，则线线平行。符号表示:,,,,b,,,作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。第9页共48页高中数学立体几何知识点归纳,,//,,,,aab//符号表示:，简记为:面面平行，则线线平行,,,,,b,,,作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、两个平面平行具有如下的一些性质:?如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行?如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.?如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交?夹在两个平行平面间的所有平行线段相等2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定l,,l1、定义:如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直，记作，lll直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P，点P叫做垂足。2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。lalbababAl,,,,,,,,,,,,,,符号表示:，简记为:线线垂直，则线面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。abab//,,,,,,3、补充性质:00[0,90]4、直线与平面所成的角的范围为:2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα00[0,180]2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β,平面之间二面角范围是3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。ll,,,,,,,,,,符号表示:，简记为:线面垂直，则面面垂直。4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质abab,,,,,,,,1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示:第10页共48页高中数学立体几何知识点归纳(1),//abab,,,,,(2),//abab,,,,,补充性质:，，(3),,//aa,,,,,,,(4),//,aa,,,,,,,，2性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。alaala,,,,,,,,,,,,,,,符号表示:，面面垂直，则线面垂直。本章知识结构框图平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0?.2、倾斜角α的取值范围:0??α,180?.当直线l与x轴垂直时,α=90?.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α?90?)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα?当直线l与x轴平行或重合时,α=0?,k=tan0?=0;?当直线l与x轴垂直时,α=90?,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立(即如果k1=k2,那么一定有L1?L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程第11页共48页高中数学立体几何知识点归纳1、直线的点斜式方程:直线经过点，且斜率为lkP(x,y)y,y,k(x,x)00000(0,b)y,kx，b2、、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为，且与轴的交点为ylk3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程:已知两点其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x2P(x,x),P(x,y)(x,x,y,y)1122221212(a,0)(0,b)2、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中a,0,b,0xyl3.2.3直线的一般式方程Ax，By，C,01、直线的一般式方程:关于的二元一次方程x,y22PPxxyy,,，,，，，，122221(A，B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题:两直线交点坐标L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=03420xy，,,,解:解方程组得x=-2，y=2,2220xy，，,,所以L1与L2的交点坐标为M(-2，2)3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1(点到直线距离公式:Ax，By，C00P(x,y)点到直线的距离为:d,l:Ax，By，C,00022A，B2、两平行线间的距离公式:lllAx，By，C,0已知两条平行线直线和的一般式方程为:，1211C,C12lll:，则与的距离为d,Ax，By，C,0212222A，B第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程222()()xaybr,，,,1、圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程222Mxy(,)()()xaybr,，,,2、点与圆的关系的判断方法:00222222rr(1)>，点在圆外(2)=，点在圆上()()xayb,，,()()xayb,，,0000222r(3)<，点在圆内()()xayb,，,004.1.2圆的一般方程第12页共48页高中数学立体几何知识点归纳22x，y，Dx，Ey，F,01、圆的一般方程:2、圆的一般方程的特点:(1)?x2和y2的系数相同，不等于0(?没有xy这样的二次项((2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了((3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系(DE22x，y，Dx，Ey，F,0Cl(,,,)设直线:，圆:，圆的半径为，圆心rax，by，c,022d到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:CCd,rld,rl(1)当时，直线与圆相离;(2)当时，直线与圆相切;Cd,rl(3)当时，直线与圆相交;4.2.2圆与圆的位置关系两圆的位置关系(l设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当时，圆C与圆C相离;(2)当时，圆C与圆C外切;l,r，rl,r，r12121212CC(3)当|r,r|,l,r，r时，圆与圆相交;121212CCCC(4)当l,|r,r|时，圆与圆内切;(5)当l,|r,r|时，圆与圆内含;121212124.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算，解决代数问题;R第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论(M4.3.1空间直角坐标系OQyyz1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、、分别是P、PM'x第13页共48页高中数学立体几何知识点归纳yQ、R在、、轴上的坐标zx2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点(x,y,z)3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直(x,y,z)y角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点(x,y,z)xzM的纵坐标，叫做点M的竖坐标。z4.3.2空间两点间的距离公式P21、空间中任意一点P(x,y,z)到点P(x,y,z)之间的距离公式11112222P1O222HyNMPP,(x,x)，(y,y)，(z,z)2212121212MM1NN1x第14页共48页高中数学立体几何知识点归纳立体几何综合试题1((本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC—ABC中，各棱长都相等，D、E分别为AC，BB的中点。(1)求11111证:DE?平面ABC;(2)求二面角A—DE—B的大小。11111AA1DC1CBBE12((本小题满分12分)如图:已知直三棱柱ABC—ABC，AB,AC，F为棱BB上一点，BF?FB,2?1，BF,BC,2a。11111(I)若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF?FC;1(II)试问:若AB,2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BBCC成60?角，为什么,证明你的结论113.(本小题满分12分)5PABCD,?ADC,arcsin如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD?BC，?ABC,90?，且，又PA?5平面ABCD，AD,3AB,3PA,3a。(I)求二面角P—CD—A的正切值;(II)求点A到平面PBC的距离。第15页共48页高中数学立体几何知识点归纳PDABC4.(本小题满分14分)在直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB=CC=2，?ACB=90?，E、F分别是BA、BC的中点，1111G是AA上一点，且AC?EG.11(?)确定点G的位置;(?)求直线AC与平面EFG所成角θ的大小.15((本小题满分12分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，，DAB,60:,PD,点E为AB中点，点F为PD中点.(1)证明平面PED?平面PAB;(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第16页共48页高中数学立体几何知识点归纳6.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，O是正方形ABCD的中心，点P在棱CC上，且CC=4CP.1111111111(?)求直线AP与平面BCCB所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);11D1C(?)设O点在平面DAP上的射影是H，求证:DH?AP;111O?(?)求点P到平面ABD的距离.1A1B1?HPDCAB7、(本题满分14分)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明平面;(II)证明平面EFD;(III)求二面角的大小。第17页共48页高中数学立体几何知识点归纳8((本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，点E是棱BC的中点，点F是棱1111CD上的动点.(I)试确定点F的位置，使得DE?平面ABF;11(II)当DE?平面ABF时，求二面角C—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).111第18页共48页高中数学立体几何知识点归纳9、(本小题满分12分)QD1C1如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是1111梯形，AB?CD，AD?DC，CD=2，DD=AB=1，P、Q分别是CC、CD的中点。点P到直线1111AB11P32AD的距离为12C?求证:AC?平面BPQD?求二面角B-PQ-D的大小BA10(本题满分13分)已知长方体ABCD—ABCD中，AB=BC=4，AA=8，E、F分别为AD和CC的中点，111111O为下底面正方形的中心。1DC(?)证明:AF?平面FDB;E11(?)求异面直线EB与OF所成角的余弦值;1AB立体几何F1、(1)取AC中点F，连结BF，DF，?DE分别为AC和BB的中点，DF?AA，1111111DF=(1/2)AA，BE?AA，BE=(1/2)AA，?DF?BE，DF=BE，?DEBF为平行四11111111边形，?DE?BF，又BF在平面ABC内，DE不在平面ABC，?DE?平面ABCC111111111111D(2)连结AD，AE，在正棱柱ABC—ABC中，因为平面ABC?平面ACCA，AC1111111111111O是平面ABC与平面ACCA的交线，又因为BF在平面ABC内，且BF?AC，，所以1111111111111HBBF?平面ACCA，又DE?BF，所以DE?平面ACCA所以?FDA为二面角A—DE—A11111111110B的平面角。并且?FDA=(1/2)?ADC，设正三棱柱的棱长为1，因为?AAC=90，D1111112200DC,,AD,,，ADC,90,？，FDA,45,是AC的中点，所以即为所求的二面角的度数。111111222((I)连结DF，DC?三棱柱ABC—ABC是直三棱柱，111?CC?平面ABC，?平面BBCC?平面ABC111?AB,AC，D为BC的中点，?AD?BC，AD?平面BBCC3,11?DF为EF在平面BBCC上的射影，1122222222DCCC在?DFC中，?DF,BF，BD,5a，,，DC,10a，1112222222BCDCFC,BF，,5a，?,DF，，?DF?FCFC1111111FC?EF6,1(II)?AD?平面BBCC，??DFE是EF与平面BBCC所成的角8,1111第19页共48页高中数学立体几何知识点归纳在?35a15aEDF中，若?EFD,60?，则ED,DFtg60?,?,，15a,3a，?E在DA的延长线上，而不在线段AD上11,?故线段AD上的E点不能使EF与平面BBCC成60?角。12,113.解:(1)在底面ABCD内，过A作AE?CD，垂足为E，连结PEPHDACBE?PA?平面ABCD，由三垂线定理知:PE?CD??PEA是二面角P—CD—A的平面角„„„„„„2分535RtAED,ADaADE,，,3，arcsin？,,，,AEADADEasin在中，„„„„„„4分55PA55RtPAE,tan，,,PEA在中，?二面角P—CD—A的正切值为„„„„„„6分3AE3(II)在平面APB中，过A作AH?PB，垂足为H?PA?平面ABCD，?PA?BC又AB?BC，?BC?平面PAB?平面PBC?平面PAB?AH?平面PBC故AH的长即为点A到平面PBC的距离„„„„„„10分22AHa,a在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为22„„„„124.(本小题满分14分)解法一:(?)以C为原点，分别以CB、CA、CC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F(1，0，0)，E(1，11，0)，A(0，2，0)，C(0，0，2)，1„„„„„„3分AC,(0,,2,2)1设G(0，2，h)，则EG,(,1,1,h).？AC,EG,？EG,AC,0.11?,1×0+1×(,2)+2h=0.?h=1，即G是AA的中点.„„„„6分1(?)设是平面EFG的法向量，则m,(x,y,z)m,FE,m,EG.0，x，1，y，0，z,0,,所以平面EFG的一个法向量m=(1，0，1)„„„„10分,,x，y，z,0.,第20页共48页高中数学立体几何知识点归纳|m,AC|211?sin,,,,,22，22|m|,|AC|1,,，即AC与平面EFG所成角为„„„„„„14分?,,,166解法二:(?)取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC„„„„1分?BC?AC，?ED?AC.又CC?平面ABC，而ED平面ABC，?CC?ED.,11?CC?AC=C，?ED?平面AACC.„„3分111又?AC?EG，?AC?DG.„„„„4分11连结AC，?AC?AC，?AC//DG.1111?D是AC的中点，?G是AA的中点.„„„„6分1(?)取CC的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，1?E、F、M、G共面.作CH?FM，交FM的延长线于H，?AC?平面BBCC，111CH平面BBCC，?AC?GH，又AC//GM，?GM?CH.?GM?FM=M，,11111?CH?平面EFG，设AC与MG相交于N点，所以?CNH为直线AC与平面EFG所成角θ.„„„„„„„„111112分221,因为„„14分CH,,CN,2,？sin,,,？,.,,1122622.5(本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.满分12分.(1)证明:连接BD.为等边三角形.？AB,AD,，DAB,60:,？,ADB？E是AB中点，„„„„2分？AB,DE.？PD,面ABCD，AB,面ABCD，？AB,PD.？DE,面PED，PD,面PED，面PED.„„„„4分DE:PD,D,？AB,？AB,面PAB，面PAB.„„„„„„„„6分？面PED,？AB,(2)解:平面PED，PE,面PED，？AB,PE.？EF,连接EF，PED，？AB,EF.？，PEF为二面角P—AB—F的平面角.„„„„9分3设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在,PEF中,PE,7,EF,2,PF,1,22(7)，2,157？cos，PEF,,,142，2757.即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为„12分1446、解(1)，,APBarctan1717第21页共48页高中数学立体几何知识点归纳(2)略3(3)227方法一:AC交BD于O。连结EO。(I)证明:连结AC，底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。(II)证明:底在ABCD且底面ABCD，?同样由底面ABCD，得底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC，?………………6分由?和?推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD(III)解:由(II)知，，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中，在中，所以，二面角的大小为方法二:如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设第22页共48页高中数学立体几何知识点归纳(I)证明:连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明:依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解:设点F的坐标为则从而所以由条件知，即解得。点F的坐标为且即，故是二面角的平面角。第23页共48页高中数学立体几何知识点归纳且8(本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.解法一:(I)连结AB，则AB是DE在面ABBA;内的射影1111?AB?AB，?DE?AB，1111于是DE?平面ABF,DE?AF.111连结DE，则DE是DE在底面ABCD内的射影.1?DE?AF,DE?AF.1?ABCD是正方形，E是BC的中点.?当且仅当F是CD的中点时，DE?AF，即当点F是CD的中点时，DE?平面ABF.„„„„6分11(II)当DE?平面ABF时，由(I)知点F是CD的中点.11又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF?BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则CH?EF，连结CH，则CH是1CH在底面ABCD内的射影.1CH?EF，即?CHC是二面角C—EF—C的平面角.11121在Rt?CCH中，?CC=1，CH=AC=，1144CC11,,22?tan?CHC=.1CH2422,,arctan22??CHC=arctan，从而?AHC=.11,,arctan22故二面角C—EF—A的大小为.1解法二:以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，1A(0，0，1)，B(1，0，1)，D(0，1，1)，E，F(x，1，0)(1,,0)1121？DE,(1,,,,1),AB,(1,0,1),AF,(x,1,0)112？DE,AB,1,1,0,即DE,AB11111于是DE,平面ABF,DE:AF,DE,AF,0,x,,0111121即x,.故当点F是CD的中点时,DE,平面ABF112(1)当DE?平面ABF时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF?BD.连结AC，设AC与EF11第24页共48页高中数学立体几何知识点归纳H，则CH是CH在底面ABCD内的射影.交于点H，则AH?EF.连结C11?CH?EF，即?AHC是二面角C—EF—A的平面角.11133？C(1,1,1),H(,,0),1441133？HC,(,,1),HA,(,,,,0).14444HA,HC1？cos，AHC,1|HA|,|HC|13,18,,,399，889、?连接CD?P、Q分别是CC、CD的1111中点。?CD?PQ故CD?平面BPQ11又DQ=AB=1，DQ?AB，11QD1C1得平行四边形ABQD，故AD?平面BPQ11HFB1PEA1GCD?平面ACD?平面BPQ1?AC?平面BPQ(4分)BA?设DD中点为E，连EF，则PE?CD1?CD?AD，CD?DD?CD?平面ADD11?PE?平面ADD1过E作EF?AD于F，连PF。则PF?AD，PF为点P到直线AD的距离(6分)1111232PF=，PE=2?EF=又DE=，DD=1，?AD=1(8分)11222取CD中点G，连BG，由AB?DG，AB=DG得GB?AD。?AD?DC，AD?DD?AD?平面DCCD，则BG111?平面DCCD11过G作GH?PQ于H，连BH，则BH?PQ，故?BHG是二面角B-PQ-D的平面角。(10分)25由?GHQ??QCP得GH=，又BG=1，得tan?BHG=1255?二面角B-PQ-D大小为arctan(12分)2Z10、解本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。(?)证法一:如图建立空间直角坐标系。则D(0，0，0)、O(2，2，11DCE0)AB(4，4，0)、E(2，0，8)、A(4，0，8)、B(4，4，8)、B1F(0，4，4)。…2分FAF=(-4，4，-4)，DF=(0，4，4)，1DC11第25页共48页YOA11B1x高中数学立体几何知识点归纳=(-4，0，4)…….4分BF1=0+16-16=0，=16+0-16=0AFDFAFBF11?AF?平面FDB.…6分11证法二:连结BF、DF，则BF是AF在面BC上的射影，易证得BF?BF，11DF是AF在面DC上的射影，也易证得DF?DF，所11以AF?平面FDB.11(?)解法一:EB=(2，4，0)，=(-2，2，OF1D4)….9分CEEB设与的夹角为，则OF,1ABFC1D1O1HBA11EBOF302(2)420，,，，，1cos,,,=…13分2222230||||EBOF24(2)24，,，，1解法二:在BC上取点H，使BH=1，连OH和FH。1111O易证明OH?EB，则?FOH为异面直线EB与F所成角。………...9分1111225又OH=BE=，HF==5，3，4122226OF==2，2，2，41?在?OHF中，由余弦定理，得124，5,2530cos?FOH==………………….………………..13分1302,5,26第26页共48页高中数学立体几何知识点归纳空间向量解决立体几何问题教学目标:(1)掌握用空间向量法解决立体几何问题;(2)空间向量法避免了抽象的推理论证，但在处理问题时用到函数与方程的思想求解有关的量，需加强学生的运算能力;(3)在和同学们的共同探究中，学会将难题分解成多个简单的小题，反之，多个简单的小题组合成难题;教学重点:分析立体几何用向量方法解决综合问题的一般程序方法教学难点:对立体几何中的翻折(旋转)问题，解题的关键什么,教学过程:一、思考引入:4点是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面E,FAD,BCOACABCDABCD角,D,AC,B(1)求证:AC,BD(2)求二面角的余弦值.E,OF,ADCDEAOEFCOFABB二、例题选讲:4例1:O是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成二面E,FAD,BCACABCDABCD角的大小为,60:D,AC,B(1)求证:AC,平面BOD(2)求二面角的余弦值.E,OF,ADCDEOEFOACFABB4OE,FAD,BC变式1:是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成ACABCDABCD二面角的大小为,,D,AC,B第27页共48页高中数学立体几何知识点归纳(1)求证:AC,平面BOD,,2,[,],(2)当时，求二面角的正切值的范围.E,OF,A23DCDEOEFOACFABB,变式2:O为菱形的对角线的交点，4,,沿对角线翻折，记二面角的大小AB,，DAB,ACABCDD,AC,B3为，,(1)求证:平面ABC,平面BOD,,2,[,],(2)当时，求二面角的余弦值的取值范围.F,OD,BA23AOBODBDFFCC4EFD,EF,AE,FAD,BC变式3.边长为的正方形，点分别是的中点，沿把正方形折成二面角的ABCDABCDMBF大小为,为的中点，60:(1)求证:BD//平面CEM第28页共48页高中数学立体几何知识点归纳3119BF(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为,若存在，求出的长，若不存在，请说NBNE,CN,F119明理由.DCCDOEFFEMAABB课堂小结:空间向量是解决立体几何问题的简易而又强有力的工具;若坐标系容易建立，优势更是显而易见.注:与三角函数有关的求值域问题类型;作业:EBE,ABE已知中，是斜边边上的一点，沿将折起使二面角是直二面AB,3，BC,4,ACRt,ABCA,BE,C角，(I)求证:;AC,BE(II)当最短时，求二面角的正切值.ACE,AB,CAAEECBBC第29页共48页高中数学立体几何知识点归纳2012立体几何最新题型一、选择题1(一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为()A(82πB(8πC(42πD(4π[答案]B22[解析]球的半径R,1，1,2～2?S,4πR,8π故选B.2(已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是()147A.B.C(14D(733[分析]根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算([答案]A[解析]这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台～这个四棱台的高是2～上底面是边长为1的正方形、1142222下底面是边长为2的正方形～故其体积V,×(1，1×2，2)×2,.333(设矩形的边长分别为a，b(a,b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为V和V，则()abA(V,VB(V,VababC(V,VD(V和V的大小不确定abab[答案]Ba1b12222[解析]由题意～V,π()b,ab～V,π()a,ba～因为a,b～所以V,V.baab2π4π2π4π4((2010?新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()22A(3πaB(6πa22C(12πaD(24πa[答案]B[解析]本题考查了长方体的外接球的表面积的算法～此题是简单题～在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径(由题可知～长方体的长、宽、高分别为2a～a～a～其顶点在同一个球面上～所以球的直径等于长方体的体对角线第30页共48页高中数学立体几何知识点归纳622222的长度～故2R,4a，a，a～解得R,a～所以球的表面积S,4πR,6πa～故选B.25(已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC,1，OA,x，OB,y，若x，y,4，则三棱锥体积的最大值是()12A.B.334C(1D.3[答案]Bx，y111222[解析]由条件可知V,OA?OB?OC,xy?(),～当x,y,2时～取得最大值.三棱锥O—ABC6662336(某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积为()33A((16，π)cmB((16，3π)cm33C((20，4π)cmD((18，π)cm[分析]本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解([答案]B[解析]由三视图知～该几何体的上部分是正四棱柱～下部分是圆柱(正四棱柱的底面边长为4cm～高为1cm～其333体积为16cm,圆柱的底面半径为1cm～高为3cm～其体积为3πcm.所以该几何体的体积为(16，3π)cm.ππ7(若圆锥轴截面的顶角θ满足<θ<，则其侧面展开图中心角α满足()32ππππA.<α<B.<α<4332πC.<α<πD(π<α<2π2[答案]Dππππθ,,,,～～[解析]?θ???～,32,,64,212,,?sinθ?.～22,,r12,,又,sinθ?～～l22,,第31页共48页高中数学立体几何知识点归纳r?其侧面展开图中心角α,?2π?(π～2π)(l8((2010?全国卷?理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB,CD,2.则四面体ABCD的体积的最大值为()234383A.B.C(23D.333[答案]B11[解析]过CD作平面PCD～使AB?平面PCD～交AB于P～设点P到CD的距离为h～则有V,×2×四面体ABCD3224322×2×h,h～当直径通过AB与CD的中点时～h,22,1,23～故V,.maxmax33二、填空题9((2010?天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________(10[答案]3[解析]由三视图知～该几何体由一个高为1～底面边长为2的正四棱锥和一个高为2～底面边长为1的正四棱柱110组成～则体积为2×2×1×，1×1×2,.332π10((2011?广东广州)将圆心角为，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于__________(3[答案]4π112π2[解析]设扇形的半径为r～弧长为l～则有rl,??r,3π～所以r,3～l,2π～于是圆锥的母线长为3～底面半2232径为1～故表面积S,π?1?3，π?1,4π.11((2010?湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱________cm.的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是[答案]44233[解析]设球的半径为r～根据题意可得8πr，3×πr,6πr～解得r,4.3三、解答题12(已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大,侧面积的最大值是多少,第32页共48页高中数学立体几何知识点归纳[解析]作轴截面如图～令圆柱的高为h～底面半径为r～侧面积为S～h22222,,则，r,R～即h,2×R,r～,2,22?S,2πrh,4πr?R,r2224πr?，R,r，,222r，R,r22,,?4π,2πR～,2,22222当且仅当r,R,r时取等号～此时内接圆柱底面半径为R～高为2R～最大侧面积等于2πR.213((2010?新课标卷)如图，已知四棱锥P,ABCD的底面为等腰梯形，AB?CD，AC?BD，垂足为H，PH为四棱锥的高((1)证明:平面PAC?平面PBD;(2)若AB,6，?APB,?ADB,60?，求四棱锥P,ABCD的体积([解析]本题综合考查立体几何的知识～其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式～在解决时要仔细审核题意～找准入手点进行解决～题目定位于中低档题～考查处理立体几何的常规方法(解:(1)因为PH是四棱锥P,ABCD的高～所以AC?PH.又AC?BD～PH～BD都在平面PBD内～且PH?BD,H～所以AC?平面PBD～故平面PAC?平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形～AB?CD～AC?BD～AB,6～所以HA,HB,3.因为?APB,?ADB,60?～所以PA,PB,6～HD,HC,1～可得PH,3～1等腰梯形ABCD的面积为S,AC×BD,2，3.23，231所以四棱锥的体积为V,×(2，3)×3,.3314(已知四棱柱ABCD—ABCD的侧棱AA垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD?BC，AB?BC，AD,AA111111,2，AB,BC,1，E，F分别为AD，CD中点(1(1)求证:EF?平面AACC;11(2)求证:CD?平面AACC，并求四棱锥D—AACC的体积(1111第33页共48页高中数学立体几何知识点归纳[证明](1)连AC～1?E、F分别为AD～CD中点～1?EF?AC～1又?AC平面AACC～EF?平面AACC?EF?平面AACC1111111(2)四边形ABCD为直角梯形且AD?BC～AB?BC～AD,2～AB,BC,1～?AC,CD,2～222?AD,AC，CD～?CD?AC～又?AA?平面ABCD～1CD平面ABCD～?CD?AA～1AA平面AACC.111AC平面AACC～11?CD?平面AACC11?CD为四棱锥D—AACC的高～11114?V,SAACC?CD,?2?2?2,.1133315(如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—ABC的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE,2，AC,AA,4，1111?E,60?，点B在线段DE上((1)当点B在何处时，平面ABC?平面AABB;111(2)点B在线段DE上运动的过程中，求三棱柱ABC—ABC全面积最小值(111[分析]本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口;第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决([解析](1)由于三棱柱ABC—ABC为直三棱锥～则111第34页共48页高中数学立体几何知识点归纳AA?平面ABC～?BC平面ABC～?AA?BC.而AA?AB,A～只需BC?平面AABB～即AB?BC～就有“平11111面ABC?平面AABB”(111在平行四边形ACDE中～?AE,2～AC,4～?E,60?.过点B作BH垂直AC于H～则BH,3.2若AB?BC～有BH,AH×CH～?AC,4～?AH,1或3.两种情况下～B为ED的中点或与点D重合((2)三棱柱ABC—ABC全面积等于侧面积与两个底面积之和(111显然其底面积和平面ACCA的面积为定值～只需保证侧面ABBA和侧面BCCB面积之和最小即可(111111,3.过点B作BF垂直AC于F～则BF22令AF,x～则侧面ABBA和侧面BCCB面积之和等于4×(AB，BC),4[3，x，3，，4,x，](111122其中3，x，3，，4,x，表示动点(x,0)到定点(0～,3)和(4～3)的距离之和～当且仅当x,2时取得最小值(所以三棱柱的全面积的最小值为4×322×，4，4×272,43，87，16.[点评]立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面积问题～解题时重点关注题目中的位置关系～垂直是求值的根源(本题中的动点问题～还有存在性问题都是当前高考命题的热点～同学们需认真把握(第35页共48页高中数学立体几何知识点归纳知识点3:立体几何【5年真题】04(19)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.2(?)求证AM?平面BDE;(II)求证AM?平面BDF;(III)求二面角A—DF—B的大小;105(18)如图，在三棱锥P,ABC中，AB?BC，AB,BC,PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP?底面ABC(2(?)求证:OD?平面PAB;(II)求直线OD与平面PBC所成角的大小(PDACOB06(17)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，P,ABCD第36页共48页高中数学立体几何知识点归纳PA,，底面，且AD//BC,，BAD,90:ABCD，分别为的中点.M,NPC,PBPA,AD,AB,2BCPB,DM(?)求证:;BDADMN(II)求与平面所成的角。DEA,07(20)在如图所示的几何体中，平面，ABCEDB,平面，，且，ABCAC,BCAC,BC,BD,2AEMAB是的中点((I)求证:;CM,EMDE(II)求与平面所成的角的正切值(EMCCAMBD08(20)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，AC，，3BCF=CEF=,AD=,EF=2。90:第37页共48页BFE高中数学立体几何知识点归纳(?)求证:AE//平面DCF;II)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为,(60:【样题参考】E,ADEAEADE,09样卷(19)如图，在矩形中，，为的中点。将沿折起，使平面AB,2,AD,1ABCDCD平面，得到几何体。ABCED,ABCEBE,ADE(?)求证:平面;BDADE(II)求与平面所成角的正切值。DEDCCEAABB【考点分析】主要考查内容:(1)线线平行、垂直(可能性小);(2)线面平行、线面垂直(可能性最大);(3)线面角(可能性较大);(4)二面角(可能性较小)。对面面平行、面面垂直、线线角、各种距离的考查可能性几乎没有。由于新课程，所以对三视图、直观图、几何体的表面积和体积的考查可能也会成为重点。6题中的几何体3次为锥体、3次为组合型几何体，所以考查时将以这两者几何体为重点;另外还要注意翻折问题和三视图识图。【调整训练】?(一)?一般的平行和垂直关系证明08江苏(16)线面平行+面面垂直在四面体中，CB,CD,AD,BD，且E、F分别是AB、BD的中点，ABCDB第38页共48页FED高中数学立体几何知识点归纳(?)求证:直线EF//面ACD(II)求证:面EFC?面BCD预测(1)线面平行+线面垂直PA,已知线段矩形所在平面，分别是的中点。M,NAB,PCABCDPAD(?)求证:平面;MN//MN,(II)当时，求证:平面。，PDA,45:PCDPNDCBAM预测(2)线面平行+线面垂直DACABC,ABC如图，已知正三棱柱中，，点为的中点。AB,2AA111111第39页共48页高中数学立体几何知识点归纳BC//ABD(?)求证:平面;11C1DAC,ABD(II)求证:平面。11AB11CAB预测(3)线线垂直+线面平行1如图，在四棱锥中，P,ABCDCD//AB,AD,AB,AD,DC,AB,BC,PC.2(?)求证:;PA,BCPBMPAD(II)试在线段上找一点，使平面，并说明理由。CM//DCABP预测(4)线面垂直+线面平行+线面角PAD,PA,PDPD如图，在四棱锥中，