2020-2021学年杭州二中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年杭州二中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）

34万

1.若复数2=9。59-*+61116-彳）》是纯虚数，贝肚血（6一1~）的值为

A.—7B.——C.7D.—7或——

77

2.若曲线y=Asinoox+a（A>0fa）>0）在区间［0,生］上截直线y=2与y=-1所得的弦长相等且

不为0,则下列对a和4的描述正确的是（）

1Q12

A.a=-,A>-B.a=1,A>1C.a=-,A<-D.a=1,A<1

2222

3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0]上是减函数，设a=/(log4),b=0°gi3),c=

;'(O.2O06),则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

4.已知叵]，则国的值是()

A.0B.0C.0D.0

5.已知m>0,且zncosa—s讥a=V^sin(a+0),则=()

A.-2B.—|C.|D.2

6.函数般=善:的:喊:的图像大致形状是()

'阂

7.已知函数f（x）=T々n，若函数y=/（/«）-a有且只有1个零点，则实数a的取值

IO/I人｝f人—U

范围是()

A.(—co,-1)U[2,+8)B.(—oo,0)U[4,+oo)

C.(-00,1)U[4,4-00)D.(―8,1)U[2,+00)

1

8.设仇6[0,2兀)，则使sina>5成立的灯的取值范围是()

9.y=25讥©%-2）的周期为（）

A.B.71C.27TD.47T

二、单空题(本大题共3小题，共9・0分)

11.已知/(%)、0(%)均为奇数，且尸(乃=a/(%)+bg(x)+2在(一8,0)上的最小值是一1,则函数F(x)

在(0,+8)上的最大值是.

12.已知/(%)为偶函数,且f(2+%)=/(2-%),当一2<%<0时,/(%)=2%,若?iEN*,an=/(n),

则。2008=---♦

13.已知函数了(无)=2"一：—a,若存在X。e[―2,—1],使得=0,则实数a的取值范围是.

三、多空题(本大题共4小题，共12.0分)

14.如图，有一块半径为R的半圆形广场，M为凝的中点.现要在该

广场内以。M为中轴线划出一块扇形区域OPQ,并在扇形区域内

建两个圆形花圃(圆N和圆S),使得圆N内切于扇形。PQ,圆S与

扇形。PQ的两条半径相切,且与圆N外切.记NP0M=0(0<0<

会，则圆S的半径y可表示成。的函数式为_(1)_,圆S的半径y的最大值为_(2)_.

15.对于定义在R上的函数/(%),如果存在实数a,使得/(a+%)•/(a-％)=1对任意实数％eR恒成

立，则称/(%)为关于a的“倒函数”.已知定义在R上的函数/(%)是关于0和1的“倒函数”，且当

xe［O,l］时,/(%)的取值范围为［1,2］,则当xe［1,2］时，fQ)的取值范围为当xe

［—2016,2016］时，f(x)的取值范围为_(2)_.

oaa

16.已知cos。=一^,。=(兀,2兀)，则s讥。sin-+cos-=_(2)_.

17.某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T=4s讥(3t+R)+b(其中］＜9＜兀)，6

时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14

时温差的最大值是℃；图中曲线对应的函数解析式是.

th

四、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

18.已知函数/(x)=sin(开-GX)cosa)x+cos2cox＞0)的最小正周期为开.

(1)求0的值；

(2)将函数1y=/(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1,纵坐标不变,得到函数1y=g(x)的

2

穴

图象，求函数g(x)在区间0—上的最小值.

_16_

19.已知函数/(%)=%3+(m—4)/—3mx+(n—6)(%eR)的图象关于原点对称(利九eR).

(1)求m,九的值；

(2)若函数FQ)=/(%)-(a%2+b)在区间［1,2］上为减函数，求实数a的取值范围.

20.已知函数/(%)=%+(

(1)求函数/Q)定义域;

(2)判断并证明函数/(%)=%+［的奇偶性

(3)证明函数/(%)=%+(在％e［2,+8)上是增函数.

21.设函数/(%)=loga(3+x)+loga(3-比)，(a>0,且a力1),『(1)=3.

(1)求a的值及/'(X)的定义城；

(2)判断/Q)的奇偶性，并给出证明；

(3)求函数/(%)在［1,2］上的值域.

22.已知诵,纪盛;.函数“四磁=警--怎翁,-H-期？普&题;.K；,€：.<

(1)已知任意三次函数的图像为中心对称图形，若本题中的函数..奠礴图像以.翼幻喊:为对称中心，求

实数碱和微的值

(2)若圈>1,求函数,翼域:在闭区间『网看Mil上的最小值

参考答案及解析

1.答案：C

解析:

先由复数是是纯虚数求得sine和cos。，再运用同角关系式和两角和差公式可得答案.

34

解：由于z=(cos6-彳)+(sin6-彳》是纯虚数,

34I.........-4

：.cos^=—,sin:.sin6=一《1-cos&---

555

c7T

tank-=tand-tan一

------------1■

\4)7T~'

1+tan^tan—

4

故选c.

2.答案：A

解析：解：由题意曲线y=4siri3x+a(4>0,3>0)的图象关于直线y=a的对称

又截直线y=2及y=-1所得的弦长相等

所以，两条直线y=2及y=-1关于y=a对称

a=——2-1=-1

22

又弦长相等且不为0

故振幅4大于等=|

故有a=&>|

故应选A.

曲线y=Asinatx+a{A>0,a>>0)的性质知，在一个周期上截直线y=2与y=-1所得的弦长相等

且不为0,可知两条直线关于y=a对称，由此对称性可求出a,又截得的弦长不为0,故可得振幅大

琮

本题考点y=Asin^x+9)中参数的物理意义，考查三角函数的图象的性质及其与相应参数的关系,

考查对三角函数图象的特征理解的能力.

3.答案：C

解析：

本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算性质以及函数奇偶性和单调性的关系进行转化是

解决本题的关键.

根据对数的运算法则和性质结合函数单调性和奇偶性的关系将条件进行转化即可得到结论.

解：是定义在R上的偶函数，且在(-8,0］上是减函数，

•1•/(X)在且在［0,+8)上是增函数，

b=/(log13)=/(log23)=/(log49)>/(log47)=a,

2

06

•••log47>1,0<O.2<1,

06

log47>O.2,

则f(log47)>/(0.20-6),

即c<a<b,

故选C.

4.答案:C

解析：试题分析：由凶与凶可得凶，而回，选C

考点：同角三角函数的基本关系式.

5.答案：A

解析：解：因为mcosa—sina=V5sin(a+9)=y/Scoscpsina+y/Ssincpcosa?

所以尸=*°SQ所以症+1=5,所以m=2,

\jn=\5sin(p

tancp=—m=—2.

故选A.

利用两角和的正弦函数展开等式的右侧，列出方程组，然后求出tern?即可.

本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦函数的应用，考查计算

能力.

6.答案：B

I:•,,

解析：试题分析：易知：新■斓，域:麻厕所以X>0时,图象与y=胪在第一象限的图象一样,X<0

'ME

时，图象与y=a久的图象关于x轴对称，故选2.

考点：指数函数的图像与性质；图像的变化；分段函数。

点评：本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是

识图问题常用的方法.

7.答案：C

解析：解：函数所修；段…，LI

当x<0时，f(x)=3-/(-%)=3-/__L/

作出f(x)的图象，,

令/(无)=t,teR,JX

•・•/«)=。只有一个交点，

・・・当C22时，对应的％只有一个解；此时/«)24,即a24.

当tV—1时，对应的二只有一个解；此时f(t)VL即a<l,

综上可得实数。的取值范围(-8,1)U[4,+00).

故选：C.

根据函数7"(>)=12>汽、v一n，作出/(x)的图象，令=求解t的范围，根据/(t)=a只

有一个交点，即可求解实数a的取值范围.

本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查了分类讨论的数学思想方法，难度适中.

8.答案：B

解析：

本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，是基础题.利

用正弦函数的图象和性质直接求解.

解：•・,aG[0,2TT),sina>

-7TV_a<_—57r.

66

・,・设ae[0,271),则使sina>：成立的a的取值范围是邑9).

N66

故选：B.

9.答案：D

解析：解：:y=2sm(；x-g)

ZO

„27T.

••・由三角函数的周期性及其求法可得：T=—=4n,

2

故选：D.

根据已知直接利用正弦函数的周期公式即可求值.

本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查.

10.答案：B

解析：解：直线丫=做％+1)(卜20)的图象必过点(—1,0),又因为kN0,函数是增函数,

故选：B.

根据直线y=/c(x+l)(fc>0)的图象必过点(-1,0)以及函数的单调性，即可选出答案.

本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题.

11.答案：5

解析：解：由题意，xe(-00,0),F(x)=af(x)+bg(x)+2>-1,

•1•a/(x)+bg(x)>-3,

•1•a/(-x)+bg{—x)=-a/(x)-bg(x)=—[a/(x)+bgQx')]<3.

F(—x)=Gt/(—x)+bg(—x)+2=——bg(x)+2<5

函数F(x)在(0,+8)上的最大值是5,

故答案为：5

确定a/(x)+bg(x)2-3,利用奇函数的定义，即可求函数尸(x)在(0,+8)上的最大值.

本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.

12.答案：1

解析：解：,."(2+x)=+(2—x),/(x)为偶函数

:•f(x+4)=f(—x)=f(x)

由此可知”乃为周期函数，周期为4,

则。20。8=/(2008)=f(4)=/(0)=2°=1.

故答案为：1

先根据条件求出函数的周期，然后根据周期性将2008转化到[-2,0]上的函数值进行求解.

本题主要考了函数的周期性，以及函数的奇偶性和函数求值，同时考查了转化的思想，属于基础题.

13.答案：[|,|]

解析：解：根据题意，若存在[-2,-1],使得/。)=0,即方程有4-1=a有解，

设g(x)=2X—3xe[-2,-1],则g(x)在区间[―2,—1]上为增函数，

且以-2)=|,g(—l)=|,

若方程有2，—：=a有解，即函数y=g(x)与直线y=a有交点，必有:WaW|,

即a的取值范围为1,勺；

故答案为：色|].

根据题意，原问题可以转化为方程有工—：=a有解，设g(x)=2X—3xe[-2,-l],进而原问题

等价于函数y=g(%)与直线y=。有交点，结合函数y=g(%)的单调性分析可得答案.

本题考查函数与方程的关系以及应用，注意将原问题转化为函数图象与直线相交的问题，属于基础

题.

14.答案：y=86(05)

R

8

解析：解：(1)如图所示,

设圆N的半径为a,根据题意列方程组得能：黑毛瑞=y

RsinO(l-sinO)其中。e(0,今；

解得y=—(l+sin0)2-

(2)令1+sin。=t(l<t<2),

则sin。=t—1,

所以函数。=R"?(2-t)=R(_1+|_金,

设x=p则xe

所以函数y=(-2%2+3%-1)R；

当久=[,即t=q时，

函数y取得最大值为yma支=(―2X2+3X：—1)R=*

Xo4o

故答案为：⑴y=黑；制;T)，ee(o,5；(2)*

(1)设圆N的半径为a,根据题意列出方程组，消去a求得圆S的半径y与8的函数关系；

(2)利用换元法，把函数化为二次函数，再求最值.

本题考查了直线与圆、圆与圆位置关系的判定及其应用问题，也考查了利用二次函数求最值的问题,

是中档题.

15.答案：百1]

1

[于2]

解析：解：若函数f(x)是关于o和1的“倒函数”，

则X)=l，则f(x)¥0,

且f(1+无)•f(1一%)=1,

BP/(2+x)-/(-x)=1,

即/'(2+x)"(—£)=1=〃£)"(一乃,

则f(2+x)=f(x),

即函数/(x)是周期为2的周期函数，

若％G[0,1],则一]E[—1,0],2—xG[1,2],止匕时1<f(%)<2

・・・/(%)•/(-%)=1，

・,•仆)=看小，

・•・当％e[1,2]时，/(%)e[|,1].

即一个周期内当％e[0,2]时，/(%)e[1,2].

1

.♦.当xe[-2016,2016]时,f(x)G[-,2].

故答案为：E，l],停,2].

根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性

和函数的关系进行求解即可得到结论.

本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本

题的关键.综合性较强，有一定的难度.

16.答案：Y

V5

~5~

解析：解：,•・cose=--<0,9=(71,271),

sind=—V1—cos20=—p

.6尸3兀、.08c

••—G.—),sin—Fcos—>0,

2k24722

.o,e1.e।m―F「Vs

・•・sin-+cos-=/(sin-+cos-)z=vl+sinB=-=—.

故答案为：-g,些.

55

利用同角三角函数基本关系式可求s出0的值，结合范围《6(》乎)，可得sin：+cosg>0,根据同角

三角函数基本关系式即可计算得解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

17.答案：20

7=10s讥生+亨)+20,te[6,14]

解析：

本题主要考查由函数y=Asin^x+g)+b的部分图象确定其解析式的基本方法.

(1)由图象的最高点与最低点，易于求出这段时间的最大温差；

(2)4、b可由图象直接得出，3由周期求得，然后通过特殊点求0,则问题解决.

解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30-10=20冤，

(2)图中从6时到14时的图象是函数T=Asin(a)t+9)+匕的半个周期，

.空=14—6,解得a=p

Z&)o

■\"1

由图示，A=j(30-10)=10,fa=j(10+30)=20,

这时，T=10sin(-t+^)+20,

8

将(6,10)代入上式，可得sinsX6+p)=-1,

其中3＜勿＜兀，可取0=：兀，

综上，所求的解析式为T=10si7i《t+亨)+20,tE[6,14].

故答案为：20；T=10sm(^t+y)+20,t6[6J4].

18.答案：解：(1)・・,/(%)=sin(7r—a)x)cosa)x+cos26)x,

l+cos2cox

f(x)=sinxcosx+

7

=—sin23x+—cos23x--

222

=—sin(23z-g)±

242

由于3>0,依题意得T=7T,

所以3=1;

(2)由(1)知f(x)=gsin(2x+^)+i,

g(x)=f(2x);正sin(4x+—)+—

242

时，生《4x+工《三，

16442

•二卫《sin(4x+—)Cl»

24

1Cg(X)&I9

g(%)在此区间内的最小值为1.

解析：本题主要考查三角函数的恒等变形和三角函数图象的变换.

(1)由诱导公式，倍角公式化简函数解析式，由三角函数的周期性及其求法即可得解;

(2)由函数y=Asin^x+0)的图象变换规律可得函数g(x)解析式，由正弦函数的图象和性质即可求

值.

19.答案：解：(1)•.・函数/(%)的定义域为R,且其图象关于原点对称，

•••/(x)是奇函数，

••・y(r)=

—x3+(m—4)x2+3mx+(n—6)=­［x3+(m—4)x2—3mx+(n—6)］=—x3—(m—4)x2+

3mx—(n—6),

二二得CT：二。。得m=4,-6,

则/(%)=x3—14%.

22

(2)F(x)=/(%)—(ax+b)=——ax—12x—b,

・•・F'(x)=3x2—2ax—12%,

又F⑺在［1,2］上是减函数，得｛眼：0二滑。得雷iU

即卜2—如解得a20,

la>0

故实数a的取值范围为［0,+8).

解析：(1)根据条件判断函数f(x)是奇函数，建立方程关系进行求解即可.

(2)求出函数F(x)的解析式，和导数，结合函数单调性的性质进行转化求解即可.

本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性的性质求出小，九的值，以及利用导数研

究函数的单调性是解决本题的关键.

20.答案：解：(I)、・函数fO)=x+£,

.•・分母］。0,

・•・函数f(%)定义域为｛%|%。0,%ER｝.

(2)任取久ER,

则有/(f)=_%+?=_(%+》=一/(%),

・•・函数f0)=x+:是奇函数.

(3)在［2,+8)上任取第1，%2,且;

44444

则/'(久2)-f。1)=。2+-)-(£1+『)=。2-%1)+(『一『)=(%2-%1)(1--)=

“242X14I”2

(42一％1)(第1。2-4)

1

X1X2

•・.24久1<%2，

•••12—%1>0，%1%2—4>0,

中2)-/(修)>。，

fQJ

•••f(x2>

・•・函数/(%)=无+；在xe[2,+8)上是增函数.

解析：本题(1)直接根据分式有意义时分母不为0,求出X的取值范围，得到本小题结论；(2)利用函

数奇偶性定义，可证明本小题结论；(3)利用函数单调性定义证明本小题结论.

本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题.

21.答案：解：(1)由£+可得一3<%<3,

故函数的定义域(-3,3),

2

因为f(久)=loga(3+x)+loga(3-%)=loga(9-x),

由题意f(l)=loga8=3,

故a=