高考数学高三年级上册考试卷《函数与导数》含解析

高考数学高三上学期考试卷《函数与导数》

1.航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式丫=

Voln(l+^).其中，人是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，，如是火箭(除去燃料)的质量，v是

火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知％=2km/s,则当火箭的最大速度v可达到10km/s时;火箭的总

质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的()倍

A.e5B.e5—1C.e6D.e6—1

【答案】A

【考点】新情景问题下的指对数运算

【解析】由题意可知，21n(1+当)=10,则1+2="土色=e5,即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去

燃料)的质量的e5,故答案选A.

2.在ZkABC中，“A<8”是“A-B<cosB-cos4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【考点】条件的判断、函数的单调性应用

【解析】由题意可知，由A—B<cosB—cosA可构造函数兀r)=x+cosx,则八x)=1—sinxNO,即函数凡0在

定义域上单调递增，而在aABC中，由AV3可得到A+cos4VB+cosB,即A-8<cosB-cosA,反之亦可

推出，则“AVB”是“A-8<cosB-cos4”的充要条件，故答案选C.

3.已知函数本)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0］上是减函数，42)=0,则不等式於一1次》)<0的解

集是

A.(-2,2)B.(-00,-2)U(1,2)

C.(-00,-1)U(O,3)D.(-2,-1)U(2,3)

【答案】D

【考点】利用函数的性质求解不等式

【解析】由题意可知，,/(x)在［0,+再上是增函数，且八-2)=0,所以当XV—2或x>2时，式x)>0,当一2

<x<2时，兀0<0,则①/(x-l)>0且,/)<0时，即x—l>2或x—lV—2,-2<x<2,解得一2cx<—1：

②/伏-1)<0且<x)>0时，即一2<》一1<2,》<-2或x>2,解得2Vx<3：综上不等式的解集为(-2,-

1)U(2,3),故答案选D.

4.已知函数g(X)=./(X)一大一X),若X1WX2，则

A.大为次X2)=八Xl+及)B.7(X|)+y(X2)=/(XlX2)

可+刍g(Xl)+g(X2)

c.Xlg(Xl)+x吆(X2)>X|g(X2)+x2g(X|)D.g(—丁)W----弓----

【答案】AC

【考点】函数的单调性应用

【解析】由题意可知，对于选项A,人工|)/(*2)=，％*2=，1+*2=区即+*2),故选项A正确；对于选项

+./(X2)=d'1+/2,人处及)=。中2差大制)+1松)，故选项B错误；对于选项C,因为函数./)=〃3>1)为单调递

增函数，所以g(x)=/(x)—/(一X)亦为单调递增函数，所以(XI—X2)(g(xi)—g(X2))>0,展开得Xlg(Xl)—X|g(X2)一

X吆(X|)+x2g(X2)>0，即Xlg3)+X吆(X2)>Xlg(X2)+x吆(X|),故选项C正确；对于选项D,可取值为=-2,X2

=0,代入验证可知错误，故选项D错误；综上，答案选AC.

2s帝，

5.已知函数fix)=<若存在实数X|,X2,X3,X4(X|<X2<X3<X4)满足

|log2(x—1)1，

/(X,)=XX2)=Jlx3)=X%4)-m,则

A.OW/HWIB.x)+x2=|

C.X3X4—X3—X4=oD.X32+X42^>8

【答案】BCD

【考点】分段函数的性质应用

【解析】结合函数/)的图像，可知0<加<2,故选项A错误；当一件Wx©时，火x)=2sin§x的对称轴为

X=-V，所以Xl+X2=-I，故选项B正确；当时，於）=|1og2（x—l）|,所以於3）=|10g2（X3—l）l=AX4）=

|10g2（X4—1）|）所以10g2（X3—l）+10g2（X4-l）=10g2（X3—1）。4-1）=0,所以。3—1）（X»—1）=1,所以4以一心一

%4=0,故选项C正确；因为X3X4—X3~X4=0,所以用+工4=片乂》正所以片+工424,（-3%4）2

24,所以心2+值228,等号不成立，所以选项D正确；综上，答案选BCD.

6.若a,b,c满足2a=3,Z>=log25,c=log32,则（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a〈b〈cD.c<b<a

【答案】A

【考点】比较大小

【解析】由题意可知,因为2"=3,所以b=k»g23>log22=l,而b=k»g25>log23,c=log32<log33=l,所

以cVa<b,故答案选A.

7.2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州

漾潺县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震.科学家通过研究，发

现地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg£=4.8+1.5M.设漾源县地震所释

放的能量为昂，玛多县地震所释放的能量为员，则曾约等于（）

A.10B.15C.30D.32

【答案】D

【考点】新情景问题下的指对数的运算

【解析】由题意可知，lgE2=4.8+1.5X7.4,IgEi=4.8+1.5义6.4,所以麻2—楣笈=1瓯=1.5,所以寸=10「5

亡32,故答案选D.

8.已知函数兀v)是定义在R上的偶函数，当x20时，Kx)=/-4x,则不等式Xx+2)V5的解集为()

A.(—3,7)B.(—4,5)C.(—7,3)D.(—2,6)

【答案】C

【考点】利用函数的性质解不等式

【解析】由题意可知，因为函数兀0为偶函数，所以.*仅+2|)=//+2),则不等式兀r+2)V5可化为4x+2|)

<5,即卜+2|2—4仅+2]<5,可化为(仅+2|+1)(k+2|-5)<0,解得以+21V5,解得一7cx<3,故答案选C.

9.函数应r)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是()

A.0</(2)</(3)</(3)-A2)B.0寸(3)〈述3)—式2)<八2)

C.0</(3)</(2)</3)-/(2)D.0</3)-/(2)</(2)</(3)

【答案】B

【考点】导数的几何意义、函数的切线斜率

【解析】由题意可知，由图象可知函数在(0,+8)上单调递增，故[(x)>0,结合图形由导数的几何意义,

即切线的斜率可知，/(3)</3)-^2)</(2),故答案选B.

10.(2022•江苏淮安市六校第一次联考)

已知函数段)="(“>1),若存在实相，〃使得人》)的定义域和值域都为I，”，nJ,则实数a的取值范围为()

A.(1,elB.(1,a2)B.(1,ee)D.(ee,e)

【答案】C

【考点】函数的定义域与值域、构造新函数、数形结合等

【解析】由题意可知，dn=m,an=n,则函数/=x(x>0)有两个不等的根，即xlna=lnx,化为lna=中(x

>0)有两个不等的根，即曲线仪幻=半与直线y=lna有两个交点，因为所以当xe(0,e)时，

gQ)>0,即函数g(x)单调递增；当x£(e,+8)时,g《X)V0,即函数g(x)单调递减,所以当X=e时,g(x)max

=g(e)=3且易知当X趋向于。时，g(x)趋向于一8，当x趋向于+8时，g(x)趋向于0,所以曲线g(x)=一■

11

与直线y=ln“有两个交点，可得0Vlna<j解得l<a<e展，故答案选C.

11.(多选题)已知a>0,b>0,且bRl,若10&力>1,则下列不等式可能正确的是()

A.(b-l)(b~a)>0B.3—1)3—6)>0

C.(a—1)0—1)<0D.(a~\)(b~a)>0

【答案】AD

【考点】函数的单调性应用

【解析】由题意，因为log/>l,且k>g<,a=l,所以①当”>1时，则即6>a>l,所以(3—1)出一a)

>0,(a—1)3—0>0,故选项A、D正确；②当0<“<1时，则0<b<a<l,所以3—1)5一6)<0,(«-

1)(6—1)>0,故选项B、C错误；综上，答案选AD.

12.(多选题)已知犬x)是定义在R上的偶函数，且|x+3)=/(x—1),若当xd[O,2]时，兀0=2*—1,则

下列结论正确的是()

A.当xe[—2,0]时，J(x)=2~x-\B.火2019)=1

C.y=/(x)的图像关于点⑵0)对称D.函数g(x)=/(x)—logM有3个零点

【答案】ABD

【考点】函数的性质综合应用

【解析】由题意，已知_/(x)是定义在R上的偶函数，且贝x+3)=/a—l),即该函数周期为4,又因为xW[O,

2]时，应》=2*—1,当xG[-2,0]时，-xd[0,2J,fix)=J(-x)=2~x-\,所以选项A正确；/2019)=/4

X505-1)=/(-1)=犬1)=1,所以选项B正确；y=/(x)的图象关于点(2,0)对称，则犬3)+式1)=0,但是式3)

=/(-1)=/0)=1，式3)+/(1)彳0与43)+贝1)=。矛盾，所以选项C错误；可作出函数y=/(x)，y=log2X的图

象即可得到，函数g(x)=/(x)—log2X有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD.

【答案】ABC

【考点】函数图像的识别与判断

【解析】由题意，①若。>0,不妨取。=1,则_/(》)=9一，则函数定义域为R，且为奇函数，当x=0时,

的)=0,当XW0时，函数可化为/)=-4，则/)在(一8,-1),(1,+<»)上单调递减，在(T,0),(0,

1)上单调递增，故选项B可能;

Y

②若QVO,不妨取。=—1,则---，定义域为{x|xW±l},且为奇函数，当x=O时，贝0)=0,当x

x—1

ro时，则以)在(-8,-1),(-1,0),(0,1),(1,+8)上单调递减，故选项A可能；故不

X—

X

可能是选项D；综上，答案选ABC.

14.(多选题)已知函数加)=廿一ax,xWR(e为自然对数)，则下列判断正确的是()

A.当“=1时，函数；(x)在(-8,0)上单调递增

B.当a=0时，./(x)—lnx23在(0,+oo)上恒成立

C.对任意的。<0,函数应r)在(-00,0)上一定存在零点

D.存在。>0,函数<x)有唯一极小值

【答案】CD

【考点】含参函数的综合应用：单调性、恒成立、零点、极值等

【解析】由题意，对于选项A,当。=1时，/(x)=e*—x,/(x)=e*—I,当x<0时，/(x)<0,故«r)在区间(一

00,0)上单调递减，故选项A错误；对于选项B,当a=0时，式的=廿，此时,/(k-InxMeX-Inx,因为X1)

-lnl=e'-0<3,故选项B错误；对于选项C,当“<0时，/(x)=e'—ax,/(x)=e'-a>0,故犬x)在R上为

增函数，又五0)=1,./(:)=/—IVO,./(X)在区间(一8,0)上一定存在零点，故选项C正确；对于选项D,取

4=2,则负x)=e，-2x,/(x)=e*—2,当x〈ln2时，/(x)V0,当x>ln2时，/(x)>0,故兀v)有唯一的极小值

点x=ln2,故选项D正确；综上，答案选CD.

15.(2022•江苏淮安市六校第一次联考)

已知函数/)=［鬻::4°,则4—2022)=_____.

\j\-XIJ)fXU

【答案】一2

【考点】分段函数求函数值

【解析】由题意可知，八一2022)=/(—2019)=…=/(—2022)=/(0)=log3(0+1)—2=-2.

16.已知函数人x)满足：«x+y)=/(必⑪)，且当x＞y时，式x)＞用)，请你写出符合上述条件的一个函数共0

【答案】兀0=2'(答案不唯一)

【考点】开放性试题：函数的性质应用

【解析】由题意，因为Hx+y)=/(xy(y),所以考虑指数函数式》)="，当x＞y时，＞U)＞y&),所以。＞1,则

可写出一个符合的条件为：y(x)=2\

17.已知函数＜x)=or—/+3,g(x)=4'—2,若对于任意.，x2e(O,1］,都有«ri)2g(X2)成立，则。的取

值范围为.

【答案】［0,+oo)

【考点】函数的恒成立问题

【解析】由题意，段)=如一/+3,g(x)=4*—2,且对于任意X”X2G(0,1］,都有式》)》g(X2)成立，则1Axl)min

2g(X2)max，因为以》)=4'-2在(0,1］上单调递增，所以g(x)max=g(1)=2,所以如一/+322对于任意任意

Xd(0,1］恒成立，即一;对于任意xG(0,1］恒成立，又以X)=X一:在区间(0,1］上单调递增，所以/7(x)max

="1)=0,所以则。的取值范围为［0,+oo).

18.己知函数段)=f；'①若a=l,则不等式7(x)Wl的解集为；②若存在实数4使函数g(x)

=y(x)—b有两个零点，则实数a的取值范围为.

【答案】(-8,0］；(-00,2)U(4,+oo)

【考点】双空题：分段函数解不等式、零点问题

(2X,xWl

【解析】由题意，①当”=1时，处0=,若xWl,即2，W1,解得xWO；若X＞1,即/W1,解得

一lWxWl,故的解集为(-8,0］；②g(x)=/U)—b的零点问题可转化为＞=兀¥)和＞=〃图象的交点

可题，即2"=*2时，X=2或x=4,当。=2时，危尸仁'此时g(x)=ya)—Z?只有一个零点；当。＜2

(2X,xW4

时，g(x)有2个零点；当a=4时，式*)=^2,x＞4'此时g(x)=Ax)一方只有一个零点；当。＞4时，有2个

零点：当2VaV4时，g(x)最多只有1个零点，故可得a的取值范围是(一8,2)U(4,+oo).

【考点】函数的图形识别与判断

21—e

【解析】由题意可知，4x)=(l)sinx=—7-sinx,则火一的=加),且次2)V0,则排除选项A、C、D,

1+ev1+e

故答案选B.

丫2.-A

20.已知凡r)=e'若犬。㈤，则实数。的取值范围为()

、铲一1,x>0

A.(—00,0]B.(—co,1]C.(-8,D.1]

【答案】c

【考点】分段函数的不等式应用

【解析】由题意可知，函数式x)的图像如图所示，分别求出函数Kx)在原点处的切线方程，如图所示，若使

得犬劝》。仇|恒成立，当aWO时，显然成立，因为:<1,故当。>0时，不等式恒成立，则只需aW：即可，

故答案选C.

21(多选题)若〃(其中巾为整数)，则〃?叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m.设函数40

=|x—{x}|,下列结论正确的是()

A.{1)=1B.1-地)=也一1C.兀r)w£D.函数y=/(x)是偶函数

【答案】BCD

【考点】函数的性质综合应用

【解析】由题意可知，对于选项A,因为所以碎}=0,故选项A错误；对于选项B，K—45)

=|小一{啦}|=|一也+1|=正-1,故选项B正确；对于选项C,/)的值域为[0,1],所以於尾，故选项

C正确；对于选项D,因为人一x)=|(—x)—{(一x)}|=|-x—{幻|=卜一{x}|=/(x),所以函数y=y(x)是偶函数，

故选项D正确；综上，答案选BCD.

22.(多选题)已知函数«r)=ex,g(x)=lnx,下列结论正确的是()

A.函数y=y(x)—g(x)在(0,：)上单调递减

B.函数y=7(x)—g(x)的最小值为2

C.若P,。分别是曲线y=/(x)和y=g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为我

D.若贝x)—l)x对xG(0,+s)恒成立，则0<n?We

【答案】ACD

【考点】函数与导数综合应用：函数的单调性、最值、恒成立问题等

【解析】由题意可知，令力(1)=於)一g(x)=e，-Inx,则力。)=©入一；，力"(幻=&'+育>0在(0,+oo)上恒成立，

\-1\

则在(0,+s)上单调递增，而"q)=ee—e〈o,故〃3<0在(0,J上恒成立，即〃(外在(0,J上单调递

减，故选项A正确；因为Ml)=e—l>0,故存在的£(；，1)，使得做m)=e"°—；=0,所以e'°=；,解得

e的的

lnxo=—xo,所以当x£(0,xo)时，h\x)<0,即函数〃(x)单调递减；当x£(xo，+s)时，/(x)>0,即函数〃(x)

单调递增，所以以x)min=〃ao)=e'°—lnxo=xo+；，因为1)，所以沏+；>2,故选项B错误；对于

司e沏

选项C,曲线凡r)与直线y=x+l相切于点A(0,1),函数g(x)与直线了=%一1相切于点3(1,0),则|尸。|的

最小值为依用=也，故选项C正确；对于选项D,若於)一gSu)2(m—l)x对x£(0,+s)恒成立，则ex—\nmx

2(〃?一l)x对x£(0,+oo)恒成立，即x+e共2〃a+111〃?工=”""+1皿/,可设F(x)=x+ev,易可知尸(%)在(0,

+co)上单调递增，则尸(x)2F(ln〃?x)可化为xBlnnzx,即InmWx-lar,可设H(x)=x—lar,易可知H(x)在(0,

1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以当x=l时，"a)min="(l)=l，贝iJlnmWl,解得mWe,又因

为m>0,所以OVmVe,故选项D正确；综上，答案选ACD.

23.已知於)=sinx+cosx,若丁=人工+。)是偶函数，则cos6=.

【答案】土坐

【考点】函数的奇偶性应用

【解析】由题意可知，於)=^sin(x+；),则於+。)=乎sin(x+O+；),因其为偶函数，所以。+；=畀屈,

7TTTA/2

kGZ,所以。=^十%兀，kGZ,所以cose=cosq+E)=±：-.

24.已知函数,/(x)=x3+〃a，若7(e92#工-1)对xER恒成立，则实数m的取值范围为.

【答案】［-1,+oo)

【考点】不等式的恒成立问题

【解析】由题意可知，令/?。)=。”一(%—1),易可知〃(x)22恒成立，且/(工)=3P+m，则当机20时，/(x)

20,即/U)在R上单调递增，则次切罚入一1)对x£R恒成立，满足题意；当〃7Vo时，因为函数7U)为奇

函数，所以可得2<一mW2,解得加2—1,则一1V0,综上，实数机的取值范围为［-1,+oo).

25.函数/（x）=（x—；）cosx在其定义域上的图像大致是（）

【答案】C

【考点】函数图象的识别与判断

26.已知3*=2'=f,q+"=2,则f=（）

A.2^6B.mC.36D.6

【答案】B

【考点】指对数化简与计算

-x+3]Vx<4

Md.若对任意的，

{1—lOg2%，

+i],不等式y（2—x）q（x+i+f）恒成立，则实数，的最大值为（）

A.—1B.—1C.—1D.1

【答案】C

【考点】函数的恒成立问题

28.多选题）已知a>0,,〃（x）=e"?——simtr,若/（x）存在唯一零点，下列说法正确的有（）

A.皿此在R上单调递增

B.m（x）图像关于点（2,0）对称

C.任取不相等的实数为，X2GR,均有''（皿七1）

D.a若

【答案】ABD

【考点】函数的综合应用

29.设a=log43,h=log54,，贝心也。的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数和对数运算的转换可确定3<0.8<logs4；设〃x)=2X-x—l(x<。)，利用导数

可确定当x<0时，2*>x+l，由此得到>0.99>log54,进而得到结果.

【详解】=1048576-58=390625，59=1953125，d=65536，y°=59049，

2—

4,0<59.即4<5而，・•・Iog54<log55iu=0.9；

844

4°讨，即4>5m=5§，，log54>log553=0.8；

844

4s>310>即3<中。=43‘log43<log&43=0.8；••唾54>1。843,即a<b.

设"力=2'-x—1(x<()),则f(x)=2、In2—1,

当x<0时，2Ae(O,l),又In2G(0,1),.•.2'ln2w(O,l),.•/(%)<(),

.・・/(x)在(f,0)上单调递减，.•・/(x)>/(0)=0,即当x<0时，2*>x+l，

2<°i>-0.01+1=0.99>0.9,logs4<2一°小，即b<c.

综上所述：a<h<c.

故选：B.

【点睛】本题考查指数与对数比较大小的问题，在此类问题中，此题属于较难题；解题关键是能够熟练应

用指数和对数运算的转换、导数求解函数单调性的方法确定临界值，进而通过临界值确定大小关系.

30.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主

知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，以纵-C智能复兴号动车组在京张

高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强/(单位：W/m?表

示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级乙(单位：dB与声强/的函数关系式为

L=101g(fl/)；已知/=10,W/m2时，L=1(H3.若要将某列车的声强级降低3()dB,则该列车的声强应变

为原声强的()

A.IO"倍B.10＜倍C.10-3倍D.1()-2倍

【答案】C

【解析】

【分析】由题设可得a=10-3,代入函数式，由指对数的关系有/=]。得+3,进而求声强级降低30dB的声

强应用指数哥的运算性质求声强的比值.

【详解】由题设，101g(10%)=i0,解得。=10-3,则L=i01g(l(y3/)=10(lg/-3),

,=]0历+3,要使声强级降低30dB,则厂=J。—+3=10记，

.•二正也.

110历"

故选：c

31.(多选题)已知函数/(x)=x+2tanx,其导函数为/*),设g(x)=/(x)cosx,则()

A./(x)的图象关于原点对称B./(x)在R上单调递增

D.g(x)在(0,5)上的最小值为2及

C.2%是g(X)的一个周期

【答案】AC

【解析】

【分析】对A：求出了(X)定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；

对B：利用/(x)的导数可判断；

对C：计算g(x+2乃),看是否等于g(X)即可；

对D：设f=8SX,根据对勾函数的单调性可得最值.

【详解】/(x)=x+2tanx的定义域是》吟+版■，丘z},其定义域关于坐标原点对称，且

/(-%)=一元+2tan(-x)=—x—2tanx=-(x+2tanx)=—/(x),

所以是奇函数，所以/(x)的图象关于原点对称，故A项正确；

，2，2

由/(%)=x+2tanx,得/'(%)=1+———,则g(x)=/'(x)cosx=cos%+----.

cos“xcosx

2(71TC

/(x)=l+—「>0恒成立，所以/(x)在一彳+版",7+%万伏£Z)上单调递增，并不是在R上单调

cosx<22)

递增，故B项错误；由g(x)=cosx+旦，得函数g(x)的定义域是{xl+版■，女

cosxI2J

22(71^

g(x+2;r)=cos(x+2")+—-———=cosx+----=g(x),故C项正确；设，=cosx,当工引0,；

cos(x+21)cosxIT2)

2

时，/e(0,l),此时//(f)=g(x)=f+7，rw(0,l),根据对勾函数的单调性，〃⑺在(0/)上单调递减，

」.g(x)>〃⑴=3,故D项错误.

故选：AC.

32.写出一个最大值为3,最小正周期为2的偶函数/(x)=.

【答案】3cosG(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求出函数解析式

【详解】解：因为/(尤)是最大值为3,最小正周期为2的偶函数，

所以/(x)=3cos%x,或/(x)=cos〃x+2,或/(x)=2cos乃x+I等(答案不唯一)，

故答案为：3cos4x(答案不唯一)

33.若二次函数〃力=2厂+3的图象与曲线C：g(x)=ae'+3(a>0)存在公切线，则实数a的取值范

围是.

【答案】

【解析】

【分析】设公切线与/(X)、g(x)的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出a后构造函数，

利用导数判断单调性，求出最值即可求解.

【详解】由/(x)=2f+3可得/[x)=4x,由g(x)=ae*+3可得g'(x)=ae',

设公切线与,f(x)=2x2+3的图象相切于点伍,2x：+3),与g(x)=ae'+3的图象相切于点(X2，ae&+31

2

而卜”.Q+3-(2x；+3)2x1-x,

所以4%=ae2=-----------------------=--------J,即2王=一!——-,

X2-Xt工2一%

可得玉=0或2々=玉+2,因为4玉=。6应，〃>(),贝2/=%+2>2,即々>1,

。』=4(2々2)=8(々-1),无2>],令力(力=吃二D,x>l,可得

e*产小e*

/(x)=8e,-8；(x-1)二更三名,由"(x)>0可得l<x<2；由/(x)<0可得x>2,

所以〃(x)=8(1)在(1,2)上单调递增，在(2,”)上单调递减，

所以〃所以实数。的取值范围是]0,：,

故答案为："

34.在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮

的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用。至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的

每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个

像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：

处理前处理后

则下列可以实现该功能的一种函数图象是

新F度值新产度值新7度《

产1jt1新*度值

:原灰度值\原灰度值

a25S-*2S5-*CT

A,B.CD.

【答案】A

【考点】新情景问题下的函数的图象问题

【解析】由题意，灰度处理从较黑的图象到较黑的图象，灰度值需要从0到255,且扩展低灰度级，压缩高

灰度级，则只有选项A满足，故答案选A.

lgalg-=lgclgY

35.(多选题)已知互不相等的三个实数mb,c都大于1,且满足ch,则小b,c的

大小关系可能是()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】AB

【解析】

【分析】化简lgGlgq=lgc-lgf,构造关于X的方程x2—2xlgc+lgc/g/2=0,考虑判别式大于等于

cb

零；再构造函数/(x)=x2—2xlgc+lgc」g。讨论零点和对称轴位置，判断a,b,C的大小关系.

【详解】由已知，lga(lga—lgc)=lgc(lga-lg/?),即lg2a—21ga」gc+lg/?」gc=0.

则关于x的方程x2—2xlgc+1gc•1g8=0有正实根，

所以△=41g2c-41gc-lg/?=41gc(lgc-1g/?)>0.

因为b#c,b>l,c>l,则lgc>lg。，所以c>/?.

设/(x)=f—2xlgc+lgc/gb,则二次函数/(幻的关于直线x=lgc对称，且/(lga)=O,

/(lg/?)=lg2b-lg/>lgc=lg>(lgZ?-lgc)<0.

若x=lga是,f(x)一个较小零点，则lga<lgb<lgc,即a<b<c；

若x=Iga是/(x)的一个较大零点，则lg/?<lgc<lga,即

故选：AB.

2

36.已知/(")是定义在R上且周期为4的奇函数，当、C(2,4］时，/(X)=-X+7X-12；则/(2021)

的值是

【答案】0

【解析】

【分析】由函数的周期性可得7(2021)=/(-3),利用解析式求出了(3)的值，再根据函数为奇函数可得

/(一3)的值，即可得答案.

【详解】根据题意，/(%)是定义在R上且周期为4的函数，

所以/(2021)=/(-3+2024)=/(-3),

因为当x«2,4］时，“X)=T2+7X-12,所以八3)=—9+21-12=0,

又/(幻为奇函数，所以/(-3)=-/(3)=0,故/(2021)=/(-3)=0,

故答案为：0.

/(x)=sinxln^^/\

1

37.函数万+x在I肛丐的图象大致为()

【答案】A

【解析】

TT

【分析】先求出函数的定义域，然后判断出函数的奇偶性，取特殊值x=W判断函数值的符号，从而可排除

2

不满足的选项，得出答案.

TT—X

【详解】解：根据题意，函数/（x）=sinxln——，1€（一乐左）,

乃+x

/(-%)=sin(-x)In+=sinxln71X-f(x),则/(x)在区间(一乃，乃)上为偶函数，所以排除BC,又

7T—X"+X

7C

由/(：］=sin21n«=ln2<0,所以排除£>,故选：A.

32物3

T

2x,0<%<1

38.已知函数小片

lnx+l,l<x<3；若存在实数为，々满足0〈玉<々<3,且/（内）=/（々），则

々一玉的最大值为）

51,°

A.e-1B.C.----In3D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数/（X）在两段上函数值集合的交集，令/（%）=/（3）=£,由此构造函数并求其最大值即

可.

【详解】当OVxWl时，0K2x<2,当l<x«3时，l<lnx+lWl+ln3,则［0,2］c(l,l+ln3］=(l,2］,

,_|

令/。)=/(々)=/€(1，2］,则玉=；，尤2=e"i,x2-x,=e-1,设g(f)=e'T_；,re(1,2］,

g'(r)=e'T-；>0,即g(r)=e"—；在fw(l,2］上单调递增，g(Onwx=.g(2)=e-l,所以当一百的最大

值为e-l.故选：A

f^=^L-

39.(多选题)对函数e'-e-'进行研究后，得出以下结论，其中正确有()

A.函数y=/(x)的图象关于y轴对称

B.|/(x)|<l

C.函数y=/(x)的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等

D.对任意常数m>0,存在常数使函数y=/(x)在［。,目上单调递减，B.b-a>\

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数〃(x)=e「eTTsinX(x>0),求导判断单调性，

进而求得最值可判断B；由/(x)的图象与x轴的交点坐标为(E,0)(AeZ且左。0)可判断C；求导分析

/'(x)W0时成立的情况，即可判断选项D,进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为函数“X)的定义域为{x|x#0},x)=［券］==〃x)，所以/(x)

为偶函数，图象关于>轴对称，故选项A正确；对于B：由A知/(x)为偶函数，当x>0时，e*—e-'>0,

若|/(x)|=<］即卜in<e、一尸只需证er-e-'-|sinx|>0,

ev-eA

令〃(x)=e*-eTTsinR(x>0),/i*(x)=ex+e~x±cosx,

因为e*+e-*>2yle*e*=2，所以"(x)>。，所以〃(x)在(0,+8)上单调递增,所以〃(x)>力(0)=0,

即〃(力=6*一右一卜由^|>0，所以|/(x)|=，n]<i恒成立,故选项B正确；

对于C：令/(x)=:=0,可得sin%=(),所以函数/(x)的图象与x轴的交点坐标为(伉())住eZ

e-e

且ZwO),交点(-兀,0)与(兀,0)间的距离为2兀，而其余任意相邻两点之间的距离为兀.故选项C错误；

/、(ev-e~A)cosx-(ex+e-x)sinx

对于D：r(%)=-------：-----------------«o,

(ey)

即eA(cosx-sinx)一e-x(cosx+sinx)<0,即e2v(cosx-sinx)<cosx+sinx,

当++eZ）时,cosx-sinx<0,cosx+sinx>0,

区间长度为3兀>1,所以对于任意常数相>0,存在常数匕>a>〃?，a,be\^+2kTi,^+2kTi],k&Z,

2

使/(x)在[。,句上单调递减且21,故选项D正确;

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法:

(1)确定函数/(X)的定义域；求导函数/'(X),由/'(x)>0(或/'(x)<0)解出相应的X的范围，对

应的区间为了(X)的增区间(或减区间)；

⑵确定函数“X)的定义域；求导函数r(x),解方程r(x)=o,利用r(x)=o的根将函数的定义域

分为若干个子区间，在这些子区间上讨论广(X)的正负，由符号确定“X)在子区间上的单调性.

40.已知函数y=/(x)定义域为R,是奇函数且/(x)+/(6-x)=0,则函数y=/(x)的周期为

【答案】6

【解析】

【分析】根据函数是奇函数得了(-x)=-/(x),又由己知得了(6—X)=—/(X)=〃T),由周期的定义可得

答案.

【详解】解：因为函数y=/(x)是奇函数，所以/(-x)=-/(x),又/(x)+/(6—x)=0,即

/(6-%)=-/(%),所以/(6-==/(-%),所以函数y=/(x)的周期为6,故答案为：6.

J_

41.设4=於°|,8=log©c=ln%，则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】判断出小氏c与。和1的大小关系，进行比较.

【详解】因为a=e°1n>l,Z?=log.ee(0,l),c=ln,<0,所以a>b>c.

7V

故选：B

ax+l

42.函数=f+i的大致图象不可能是()

A.B.

【答案】c

【解析】

【分析】分。=0,〃<0和。>0分别判断函数的奇偶性，再结合函数值的变化情况判断即可

【详解】当。=0时，f(x)=」一是偶函数，且函数的最大值为1,当X20时，/(X)为减函数，此时

x~+1

对应图可能是D,

当。<0时，/(X)为非奇非偶函数，/(0)=1,由f(x)=o,得x=-_L>0,且x<()时，f(x)>0,此

a

时对应图像可能是A,

当。>0时，"X)为非奇非偶函数，/(0)=1,由/(x)=o,得》=一！<0,且x〉0时，f(x)>0,此

a

时对应图像可能是B,

故选：C

43.设%>°,若存在正实数》,使得不等式10827"--3'12°成立，则后的最大值为()

A.-LB.WC上D.也

eln3e