2024高考数学冲刺第11讲 空间几何量的计算

2024高考数学冲刺第11讲空间几何量的计算高考冲刺第11讲空间几何量的计算一、知识要点二、例题分析例题1．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是.解析：本题考查三视图的空间想象能力与运算求解能力。还原立体图形是三棱锥。填zyxE1G1例题2．如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．zyxE1G1（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.例题3．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则，所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则,，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。高考冲刺第12讲概率与统计一、知识要点1.古典概型（1）有限性：在试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性：在试验中，可能出现的结果（基本事件）的可能性是均等的。2.几何概型（1）试验结果有无限多；（2）每个结果的出现是等可能的．3.二项分布与超几何分布，概率分布列，期望与方差4.概率与统计的应用性（1）建模（2）解模（3）回归二、典型例题例1.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是__________.解析：本题考查几何概型，考查对立事件的概率及定积分。P=评注：高考题大多一题多点，涉及较多的知识模块。高考冲刺第13讲复数、排列组合二项式定理一、知识要点：1、复数的概念与计算2、排列、组合（1）分类计数原理与分步计数原理（2）排列与排列数捆绑法、插空法、除序法、排除法、穷举法（树图）、特元与特位（3）组合与组合数两个性质、挡板法3、二项式定理（1）n次齐次n＋1项式（2）最大的二项式系数项居中（3）通项（4）二项式系数之和（5）赋值法求系数和二、典型例题例1.为虚数单位，则（）A.B.C.D.例2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）（A）2(B)2(C)(D)例3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论：①2012∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]。其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4例4．从1，2，3，……，2011，2012这2012个数中取3个数相加，它们的和恰好被3整除的取法有多少种？例5．清华大学将11个自主招生指标分配给8所学校，每校至少获得1个指标的分配方法共有多少种？例6.在直线中，a，b，c是取自集合中的3个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？例7．展开式中的常数项为，求的值。例2.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。 （注：方差，其中为，，……的平均数）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19例3.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。 解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 故乙厂生产有大约（件）优等品，（3）的取值为0，1，2。 所以的分布列为012P 故例4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.解：（I）（i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X012PX的数学期望高考冲刺第14讲归纳与类比一、知识要点1.合情推理 前提为真时结论可能为真的推理称为合情推理.它是一种或然性推理,包含归纳推理和类比推理.2.类比推理 以个别性知识为前提而推出一般性结论的推理称为归纳推理.3.归纳推理 根据两个(或两类)对象在一些属性上的相同或相似,从而推出它们在其它属性上相同或相似的推理形式,称为类比推理.4.演绎推理 由一般性的真命题推出特殊命题为真的推理称为演绎推理.它是一种必然性推理.演绎推理有三种基本模式:三段论,关系推理和完全归纳推理.5．数学问题由条件、结论、解题依据、解题方法等因素构成。条件的不完备，结论的不唯一，解题方法的多样性是数学开放题的基本特殊。目前高考多为：题目本身没有给出明确的结论，由考生自己通过探索、归纳、猜想出结论，并证明结论的正确性。此类试题具有覆盖面广、综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高等特点。6．开放与探索创新问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力均有较高要求。常用的思想方法有：直接法；观察——猜测——证明；赋值法，逆推反证法，分类讨论法；数形转化；类比联想；实验归纳等方法。二、典型例题例1．某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2012时对应的指头是．（(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指）例2．若函数，其图象如图所示，则．例3．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为()A.18个 B.256个 C.512个 D.