北大附属学校2022届高一实验班选拔考试(数学)篇一

北大附属学校2022届高一实验班选拔考试

数学

（考试时间：90分钟满分：100分）

友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分.

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.已知x+y=+yTw0,则孙的值为（）

A.-1B.0C.1D.21

2.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝

上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是（）

3.如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒

3QX2014

5.如果关于X的方程必+履+巳犷―34+'=0的两个实数根分别为王,々，那么」与式的值为

42X,

6.已知锐角AABC的顶点A到垂心〃（三角形三边上高线的交点称为垂心）的距离等于它的外接

圆的半径，则/A的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.对于一个正整数，如果其顺着数和倒着数都是一样的，则称此数为“回文数”(如1、11、121

都是回文数，而110则不是回文数).将所有回文数从小到大排成一列：1,2,…，9,11,22,…，

则第2022个回文数是()

A.1014101B.1015101C.1016101D.1017101

8.若四个互不相等的正实数a,b,c,d(a2015-c2015)(a2015-t/2015)=2015,

仅2015_02015),如5_12015)=2015,贝U加加5_(d)刈5的值为()

A.-2015B.-2014C.2015D.2014

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

9.对于任意实数a,b,定义a*人=a(a+A)+b,已知a*2.5=28.5,则实数a的值是L

10.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),点8的坐标为(-1,0),以线段上一点尸为

圆心作圆与OA,OB均相切，则点P的坐标为.

11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,NBCD=90。,AB=25cm,\

BC=24cm.将该梯形折叠，点A恰好与点。重合，BE为折痕,A8

那么tanA=.第11题图

12.如图，在直角坐标系中，已知点A(-3,0),5(0,4),对AQ4B连续作旋转变换，依次得到三

角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为

13.已知6,。2,%，%，%是满足条件q+。2+。3+。4+%=9的五个不同的整数，若》是关于X的

方程5—%)5—4)5—%)(了一%)5—%)=2009的整数根，则匕的值为.

14.正五边形广场ABCDE的周长为2022米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿

ATB-CTO-ETAT…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分.那

么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

15.（1）（本小题4分）计算：（g）-1-51-2sin60°-1

（2）（本小题4分）先化简，再求值："二叫，—R其中|a—tan6（T|+J==0

b"a"-b'

16.（本小题8分）

如图，M、N、尸分另ij为△ABC三边AB、BC、

MN、AN分别交于£、F,

（1）求证：BF=2FP；

（2）设△ABC的面积为S,求ANEF的面积

17.（本小题8分）

对于二次函数丁=以2+法+°,如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把

该函数的图象叫做整点抛物线（例如：y=x2+2x+2）.

（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式.（不必证明）

（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于工的整点抛物线？若存在，请写出其中一

2

条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

18.（本小题8分）

己知江c是满足c>Z>>0的整数，方程/一陵+。=0有两个不等的实根再和Z,设

P=—+—,Q=*+x；,尺=（菁+1）（%+1），试比较尸、°、尺的大小，并说明理由.

19.(本小题8分)

预计用1500元购买甲商品》个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价L5元，乙商品每个涨价

1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元.又若甲、乙两商品每个

均只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是

1563.5元.

(1)求x、y的关系式；

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,

求x、y的值.

20.(本小题12分)阅读材料：

如图20-1,过△48。的三个顶点分别作出与水平线垂直的三

条直线，外侧两条直线之间的距离叫△48。的"水平宽”(a),

中间的这条直线在△48。内部线段的长度叫△4SC的“铅垂高

(")”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SMBC=；ah,

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图20-2,抛物线顶点坐标为点4),交无轴于点A(—3,0),交y轴于点A

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结B4,PB,当P点运动到顶点C时，

求△CA8的铅垂高CD及S&CAB；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点尸(不与。点重合)，使SSW=SACAB，若存在，求出

尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

图20-2

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数学答题卷

一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案

二、填空题（每小题4分，共6小题）

9.；10.；11.；

12.；13.；14.

三、解答题（共6小题，共52分）

15.（1）（本小题4分）计算：-1-51-2sin60°-+1

⑵（本小题4分）先化简，再求值：•耍4；其中|a-tan60」+J币=0

ba-b

16.(本小题8分)

如图，M,N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F,

(1)求证：BF=2FP；

(2)设△ABC的面积为S,求ANEF的面积.

17.(本小题8分)

对于二次函数y=«%2+6x+c,如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把

该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=f+2x+2).

(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式.(不必证明)

(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于工的整点抛物线？若存在，请写出其中一

2

条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

18.(本小题8分)

己知&c是满足c>Z>>0的整数，方程V一桁+。=0有两个不等的实根苞和马,设

P=J+J,Q=x；+x；,7?=(X1+1)(X2+1),试比较P、Q、R的大小，并说明理由.

19.(本小题8分)

预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价

1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元.又若甲、乙两商品每个

均只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是

1563.5元.

(1)求X、y的关系式；

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,

求x、y的值

20.（本小题12分）阅读材料：

如图20-1,过△40。的三个顶点分别作出与水平线垂直的三

条直线，外侧两条直线之间的距离叫△力8。的"水平宽"（a）,

中间的这条直线在△AB。内部线段的长度叫△以8。的“铅垂高

（%）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：5AABC=；ah,

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图20-2,抛物线顶点坐标为点。（一1,—4）,交无轴于点4-3,0）,交y轴于点

（1）求抛物线和直线A8的解析式；

（2）点尸是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连结必，PB,当尸点运动到顶点C时，

求△C4B的铅垂高CD及SACAB；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点尸（不与。点重合），使SAMB=&CAB，若存在，求出

尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

图20-2

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数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1——4CBBA5——8DCCA

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

（44、4

9.4或—6.510.I—-I11.—12.（36,0）13.1014.104

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

15.⑴本小题4分）

解：原式=9-5-0-0+1+G+正

=5..................................................4分

（2）（本小题4分）

序式_〃(〃+8)a(a-b)_a

解:2分

b1(a—b)(a+b)b2

\,\a-tan60°|+A/F+~3=0/.a=tan60°=,b=-3................3分

当a=G,6=—3时，原式=幽?=!

4分

(-3)23

16.(本小题8分)

解：(1)如图1,连结尸M则尸N〃AB,且PN=-AB.

2

AABFS&NPF,..................................................2分

BFAFAB八

-----=------=------=2........................................................3分

FPFNPN

：.BF=2FP..................................................4分

(2)如图2,取AF的中点G,连结MG,贝|

MG//EF,AG=GF=FN...................................................5分

••SANEF=—SAMNG.................................................6分

4

=­X-S^AMN.................................................7分

43

1211八

二—x—x—SAABC=—S..............................................8分

43424

17.（本小题8分）

解：（1）如：y=—x2+—x,y=_工尤2_J_九等等

2222

（只要写出一个符合条件的函数解析式）........................2分

（2）假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线丁=依2+0%+。

当x=0时y=c,当尤=1时丁=。+人+。，

由整点抛物线定义知：c为整数，〃+b+c为整数，........................4分

...〃+/?必为整数.........................5分

又当x=2时，y-^a+2b+c-2a+2（〃+b）+c是整数，

.•・2Q必为整数，从而。应为上的整数倍，........................7分

2

：.\a\>-：.不存在二次项系数的绝对值小于-的整点抛物线...............8分

22

18.（本小题8分）

解：由题意：b2-4c>0

且再十%=^，%％=C.................................................1分

八M+xbl八

・・・P=’——工7=-<1.................................................2分

xrx2C

Q=x；+x；=b2—2c.................................................3分

>2c>l.................................................4分

R=中2+%1+%2+1=人+。+1〉1....................5分

又Q—R=〃—2c—0+c+l）=Z;2—3c—b—1...................6分

>4c—3c—b-l=c—b-l

,•*c>b:.c—Z?21「.c—b—1^0

Q-R>0.................................................7分

：.Q>R>P8分

19.(本小题8分)

解：(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和匕元，则原计划是

ax+by=1500,①.............................................1分

由甲商品单价上涨L5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得

(«+1.5)(x-10)+(Z?+l)y=1529.②.............................................2分

再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得

(a+l)(x-5)+(Z?+l)y=1563.5,③...............................................3分

由①、②、③得

1.5x+y-10«=44,@

〈........................5分

x+y-5a=68.5.⑤

④一⑤x2并化简，得

x+2y=186......................................................6分

2

(2)依题意，有205<2x+y<210及x+2y=186,54<y<55j,......................7分

由于y是整数，得y=55,从而得x=76..............................................8分

20.(本小题12分)

解：⑴设抛物线的解析式为y=a(x+l)2-4.

把A(—3,0)代入解析式，解得a=1.

抛物线的表达式为弘=(x+—4=f+2x—3........................................1分

.♦.5点的坐标为(0,—3)...........................................2分

_3k+Z?=’

设直线AB的表达式为％=丘+匕把4—3,0),5(0,—3)代入，得〈~

b=-3

解得左=—1,b=—3.，直线AB的表达式为%=-x-3............................................3分

(2)因为点C坐标为(―1,—4),.•.当x=—1时，必=—4,乂=一2.

CD=-2-(-4)=2..........................................4分

S.ABC=4O4CD=』x3x2=3..................