苏教版高中数学必修3 第六章《统计》全部讲义

第6章统计

一、知识结构

重点:

三种常见抽样方法；总体分布的估计；总体特征数的估计；线性回归。

难点：

三种常见抽样方法的区别和特点；频率分布表；频率分布直方图、频率分布折线

图、茎叶图的制作方法；平均数、方差、标准差的计算；变量之间的相关关系及

线性回归方程的求法。

6.16样方法

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第16课时6.1.1简单随机抽样

【学习导航】

I.明白样本、总体、样本容量等基本概念；

2.体会简单随机抽样的的概念及抽签法的基本步骤；

3.体会随机数表法也是等可能性抽样，感受用随机数表法进行抽样的基本步骤，并能熟运

用。

【课堂互动】

自学评价

1.基本概念：总体、个体、样本、样本的容量、总体平均数、样本平均数。

在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体，

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量.总

体中所南个体的平均数叫做总体平均数，样本中所直个体的平均数叫做样本平均数.

2.统计学的基本思想方法：

统计学的基本思想方法是用样本估计总体,即通过从总体中抽取一个样本，根据样本的

情况去估计总体的相应情况.因此，样本的抽取是否得当，对于研究总体来说就十分关键.究

竟怎样从总体中抽取样本？怎样抽取的样本更能充分地反映总体的情况？下面，我们就通过

案例来学习一种常用的基本的抽样：简单随机抽样.

案例1为了了解高一(1)班50名学生的视力状况，从中抽取10名学生进行检查.如何抽取

呢？

【分析】

在这个案例中，总体容量较小，显然可以用同学们最常见的抽签法来抽取样本.关键

问题在于：抽签法能使每一个人被抽到的机会均等吗？对每一个人都公平吗？

好吧，让我们一起实践一次抽签的过程。在实践中思考抽签法需要哪些必要的步骤。

3.抽签法

用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为：

(1)将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N)；

(2)将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等

制作；

(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；

(4)从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；

(5)从总体中将与抽得的签的编号相一致的个体取出。

注意：对个体编号时，也可以利用已有的编号，如从全班学生中抽取样本时，利用学生的学

号作为编号；对某场电影的观众进行抽样调查时，利用观众的座位号作为编号等。

【小结】用抽签法抽取样本过程中，每一个剩余个体被抽到的机会是均等的,这也是一个样

本是否具有良好的代表性的关键前提.没有每个个体机会均等，就没有样本的公平性和科学

性.当然，抽签法简单易行.适用于总体中的个体数不多的情形.

在案例1中，还可以用另一种方法——随机数表法来抽取样本，它可以有效地简化抽签

法的过程。

先让我们一起体会一下随机数表法抽取样本的过程，再完成下面的空格。

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4.随机数表法(randomnumbertable)

随机数表中的每个数都是用随机方法产生的(称为随机数)。

按一定规则到随机数表中选取号码，从而获得样本的方法就称为随机数表法

随机数表的制作方法有抽签法、抛掷骰子法、计算机生成法等等。

用随机数表法抽取样本的步骤：

(1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致)；

(2)在随机数表中任选一个数作为开始；

(3)从选定的数的始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编

号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，宜到取满为止；

(4)根据选定的号码抽取样本。

5.简单随机抽样

从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n<N),每个个体都有相同

的机会被取到,这样的抽样方法叫简单随机抽样。抽签法和随机数表法都是简单随机抽样

(simplerandomsampling)

【经典范例】

例1某校共有60个班级，为了调查各班级中男、女学生所占比例情况，试抽取8个班级组

成的一个样本。

【解】按一定的次序将全校所有班级编号：1,2,3…,60,在60张相同的纸片上分别写上上

述号码，号码向内将纸片叠制成统一形状的号签，将号签放入纸盒搅匀，每次一张，从中随

机抽取8个纸签获得所需样本(如：2,13,44,14,50,6,37,27)

例2总体有8个个体，请用随机数表法从中抽取一个容量为5的样本。如何操作(随机数表

参见教科书41页)

【解】

第一步，将全部个体编号，可以1,2,3,4,5,6,7,8o

第二步，在随机数表中任意选择一个数，比如从第一行第25列的数9作为开始

第三步，从选定的数9开始向下读下去，9不在号码范围内，将它去掉，继续向下读，得到

3,将它取出，再向下读，取出2,再往下又是3,前面已经取得，将它去掉，再往下取得7,

再往下又取得8,再往下又是8、7和3,都在前面已经取得，去掉，再往下又取得5,于是

抽取的样本号码是3,2,7,8,5

例3某学校的高一年级共有200名学生，为了调查这些学生的某项身体素质达标状况，请

使用随机数表法从总体中抽取一个容量为15的样本

【解】

第一步，将所有学生编号：000,001,002,…,198,199。

第二步，选定随机数表中第一个数1作为开始。

第三步，从选定的数1开始按三个数字一组向右读下去，•行读完时按下一行自左向右

继续读，将超过199或重复的三位数去掉，保留下来的三位数直到取足15个为止。得所要

抽取的样本号码是162,175,068,047,176,025,067,016,

050,074,112,155,100,134,094

点评：1、在随机数表中，每一个位置上出现某一数字是等可能的，这就决定了从总体

中抽到任何一个个体的号码也是等可能的。可见随机数表法属于简单随机抽样。

2、该题在用随机数表选号时，需要剔除大量不在个体编号范围内的号码数，这样挑号码

不太方便，能否避免呢？

(可以规定所取的三位数中，凡在200〜399者，均减可0,凡400〜599者,均减400…,

使所有数组都小于200)

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例4假设一个总体有5个元素，分别记为a,b,c,d,e,从中采用不重复抽取样本的方法，抽取

一个容量为2的样本，样本共有多少个？写出全部可能的样本。

【解】共有10种样本：a,b;a,c;a,d;a,e;b,c;b,d;b,e;c,d;c,e;d,e.

追踪训练

I.某次考试有100()0名学生参加，为了了解这10000名考生的数学成绩，从中抽取I000

名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法：(1)1000名考生是总体

的一个样本；(2)1000名考生数学成绩的平均数是总体平均数；(3)10000名考生是总体；(4)

样本容量是1000,其中正确的说法有(B)

A.1种B.2种C.3种D.4种

2.关于简单的随机抽样，有下列说法：

(1)它要求被抽样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的可能性进行分析；

(2)它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；

(3)它是一种不放回抽样；

(4)它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相

等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种方法抽样的

公平性.其中正确的命题有(D)

A.(1)⑵⑶B.(1)⑵⑷

C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

3.从100件电子产品中抽取一个容量为25的样本进行检测，试用随机数表法抽取样本。

【解】

第一步,将所有电子产品编号：00,01,02,…,98,99。

第二步，选定随机数表中第一个数1作为开始。

第三步，从选定的数1开始按二个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继

续读，将重复的二位数去掉，保留下来的二位数直到取足25个为止。

4.为了分析某次考试情况，需要从2000份试卷中抽取100份作为样本，如何用随机数表法

进行抽取？

【解】

第一步,将所有试卷编号：0000,0001,0002,-,1998,1999.

第二步，选定随机数表中第一个数1作为开始。

第三步，从选定的数1开始按四个数字一组向右读下去，一行读完时按下一行自左向右继

续读，将超过1999或重复的四位数去掉，保留下来的四位数直到取足100个为止。

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第17翼时系统抽样

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【学习导航】

学习要求

1.体会系统抽样的的概念及如何用系统抽样获取样本；

2.感受系统抽样也是等可能性抽样，是否需要用系统抽样，主要是看总体个数的多少.

【课堂互动】

自学评价

案例1某校高一年级有20个班，每班有50名学生.为了了解高一学生的视力状况，

从这1000人中抽取一个容量为100的样本进行检查，应该怎样抽样？

【分

这个案例的总体中个体数较多，生活中还有容量大的多的总体，面对这样的总体，采用

抽签或随机数表等简单随机抽样方法是不科学的.抽取样本最关键的就是要保证抽样过程的

公平性,要保证总体中每个个体被抽到的机会均等.在这样的前提下，我们可以寻求更好的

抽样方法.

系统抽样以简单随机抽样为基础，通过将较大容量的总体分组，只需在某一个组内用

简单随机抽样方式来获取一个个体，然后在一定规则下就能抽取出全部样本.

1.系统抽样

系统抽样的概念：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取

一个个体作为样本,这样的抽样方法称为系统抽样(systematicsampling)

系统抽样的步骤为：

(1)采用随机的方式将总体中的个体编号:

(2)将整个的编号按定的间隔(设为k)分段，当N/n(N为总体中的个体数，n为样本

容量)是整数时，k=N/n；当N/n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个

体的个数N,能被n整除，这时，k=N7n并将剩下的总体革新编号;

(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号L:

(4)将编号为L,L+k,L+2k,…,L+(n-l)k的个体抽出.

【小结】系统抽样是以简单随机抽样为基础的一种抽样方法，对于容量较大、个体差异不明

显的总体通常采用这种抽样方法，在保证公平客观的前提下简化抽样过程.在用系统抽样方

法抽取样本时，如果总体个数不能被样本容量整除，可以从总体中剔除一些个体，使剩下的

总体中的个体的个数能被样本容量整除.

【经典范例】

例1在1000个有机会中奖的号码(编号为000〜999)中，在公证部门监督下随机抽取的方

法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次

写出这10个中奖号码？

【解】

本题中是运用了系统抽样的方法来确定中奖号码的，中奖号码依次为：

088,188,288,388,488,588,688,788,888,988

例2某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人

进行调查.试采用系统抽样方法抽取所需的样本.

【分析】因为624的10%约为62,624不能被62整除，为了保证“等距”分段，应剔除4

人.

【解】第一步将624名职工用随机方式进行编号；

第二步从总体中剔除4人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的620名职工重新编

号(分别为000,001,002,........619),并分成62段；

第三步在第一段000,……，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码i0;

第四步将编号为io,io+10.............io+610的个体抽出,组成样本.

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例3某制罐厂每小时生产易拉罐10000个，每天生产时间为12h,为了保证产品的合格率,

每隔一段时间要抽取一个易拉罐送检，工厂规定每天共抽取1200个进行检测，请你设计一

个抽样方案。

【解】

每天共生产易拉罐120000个，共抽取1200个，所以分1200组，每组100个，然后

采用简单随机抽样法从001〜100中随机选出一个编号，例如选出的是013号，则从第13

个易拉罐开始，每隔100个，拿出一个送检，或者根据每小时生产10000个，每隔

1(V)

X3600=36S拿出一个易拉罐送检。

10000

例4现要从999名报名者中随机选取100名参加某活动，请你用系统抽样法设计一种方案,

叙述其步骤。你能找到另外的抽样方案吗？比较两种方案的合理性和易操作性

【解】按系统抽样法，因为100不能整除999,所以首先将999人编号，采用随机数表法剔

除99名，再将剩下的900名报名者重新编号001〜900,从001号顺次下去每9人一组，等

分成100组，利用抽签法或随机数表法，从1〜9个数中随机选出一个数，新编号为该数字

加上9的倍数的报名者入选。例如选出的随机数为3则新编号为003,012,021,…，894

共100人入选。

还可以采取以下抽样方法：首先将999名报名者编号为001〜999,因为111可以整除

999,将这999个编号从001开始顺次每9个一组，然后选用简单随机抽样法从1〜9的9

个数字中随机地抽出一个数字，编号为该数字加上9的倍数的共111名报名者先挑选出来，

例如：随机抽到的是7,则编号为007,016,025,…,988,997共111名，最后,再利用随机

数表从111名中随机抽取11名剔除。

点评：此方法较之系统抽样法更易操作，因为虽然999不能被100整除，但余数99非常大,

接近于除数100,而且采用随机数表法从999个数字中随机抽出99个数剔除的工作量也较

大。后一种方法先通过系统抽样，随机抽取111名，再利用随机数表法，从111个数字中随

机抽出11个来剔除，操作起来要相对方便得多。

追踪训练

I.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个

容量为50的样本，那么总体中应随机剔除个体的数目是(A)

(A)2(B)3

(C)4(D)5

2.全班有50位同学，需要从中选取7人，若采用系统抽样的方法来选取，则每位同学能被

选取的可能性是7,

50

3.一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2,99,依编号顺序平均分成10个小组，

组号依次为1,2,3,...,10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第

一组随机抽取的号码为机，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相

同.若机=6,则在第7组中抽取的号码是63.

4.要从1003名学生中选取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤。

【解】

第一步将1003名学生有随机方式进行编号；

第二步从总体中剔除3人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1000名学生重新编

号并分成20段；

第三步在第一段000、001、002、003、…、049这十个编号中用简单随机抽样确定

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起始号码，比如013

第四步将013逐次加上部分的“长度”（第一部分中个体的个数）的0倍、1倍、2倍、”

19倍得到样本:013、063、113、163、…963.

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第18翼时分层抽样

【学习导航】

学习要求

I.体会分层抽样的的概念及如何用分层抽样获取样本：

2.感受分层抽样也是等可能性抽样，它适用于总体由差异明显的几部分组成的：

3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点及适用范围。

【课堂互动】

自学评价

案例1某校高一、高二和高三年级分别有学生1000,800和700名，为了了解全校学生的

视力情况，欲从中抽取容量为100的样本，怎样抽样较为合理.

【分析】如果在2500名学生中随机抽取100名学生作为样本，或者在三个年级中平均抽取

学生组成样本，这样的样本是否合理？能否反映总体情况？

由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，为准确反映客观实际，不仅要使每个个体

被抽到的机会均等，而且要注意总体中个体的层次性，从而使抽取的样本具有良好的代表性.

对于这种容量较大、个体差异较大且明显分成凡部分的总体，就考虑用分层抽样来抽取样本.

1.分层抽样

分层抽样的概念：当总体由走异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体

情况,我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在

总体中所占的比实施抽样,这样的抽样方法称为分层抽样(stratifiedsampling)

分层抽样的步骤为：

(1)将总体按一定标准分层；

(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；

(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；

(4)在每•层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)。

【小结】①分层抽样适用于总体由差异比较明显的儿个部分组成的情况，是等可能抽

样，它也是客观的、公平的；

②分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了己知信

息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据情况采用不同的抽样方法，因此

在实践中有着非常广泛的应用.

2.三种抽样方法的比较

相互联适用范共同

类别特点

系围点

简单总体中抽样

从总体中

随机的个体过程

逐个抽取

抽样数较少中每

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将总体平个个

在起始

均分成儿体被

部分抽

部分，按事总体中抽到

系统样时，采

先确定的的个体的可

抽样用简单

规则分别数较多能性

随机抽

在各部分相同

样

中抽取

各层抽

将总体分总体由

样时采

成几层，按差异明

分层用简单

各层个体显的几

抽样随机抽

数之比抽部分组

样或系

取成

统抽样

【精典范例】

例1某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20

人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何

种方法抽取，请具体实施抽取。

【解】

因为机构改革关系到各种人的不同利益，故采用分层抽样方法为妥。

所以从副处以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工作中抽取4人。

例2某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为

12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

很喜爱喜爱一般不喜爱

2435456739261072

电视分为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查,

应怎样进行抽样？

分析：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较

大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥。

【解】

可用分层抽样方法，其总体容量为12000,

「2435487会口,八487,

“很喜爱”占------=------,应取60x-----212人

1200024002400

,4567./八4567.

“喜爱”占------，应取w60x------乏23人

1200012000

,3926…。3926”.

“一搬”占------，应取60x------x20人

1200012000

,1072+而1072一

“不喜爱”占------，应取60x------p5人

1200012000

因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、

4567人、3926人和1072人中分别抽取12人、23人、20人和5人。

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例3某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生之比为5：2：

3,且已知初中生有800人，现要从这所学校中抽取一个容量为80的样本以了解他们对某一

问题的看法，应采用什么抽样方法？从小学部、初中部及高中部各抽取多少名？总体上看，

平均多少名学生中抽取到一名学生？

【解】

因为总体由三类差异明显的个体构成，所以应采用分层抽样的方法进行抽取。

由于样本容量为80,小学生、初中生、高中生之比为5：2：3,

所以就抽取

小学生为80x2=40(人)，

10

2

初中生为80x—=16(人)

10

3

高中生为80x±=24(人)

10

800名初中生抽取16人，—=50,所以平均50名学生中抽取一名学生。

16

例4下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？

(1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；

(2)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1〜40。有一次报告会坐满了听众，

报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈；

(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解

教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

分析：(1)用抽签法或随机数表法。

(2)总体容量比较大，用抽签法或随机数表法比较麻烦。由于人员没有明显差异，且刚

好32排，每排人数相同，可用系统抽样。

(3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采用分层抽样方法。

【解】

(1)用抽签法或随机数表法。

(2)将每排的40个人组成一组，共32组，从第一排至第32排分别为第1〜32组，先在

第一排用简单随机抽样法抽出一名听众，再将其各排与此听众座位号相同的听众全部取

出。

(3)总体容量为160,故样本中

教师人数应为20x坦120=15名，

160

行政人员人数为20x也=2

160

后勤人员人数为20x24'=3

160

追踪训练一

1.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆、2000辆。为检验该公

司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车应分别抽取

630和10辆。

2.某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：

从某本50张的发票存根中随机抽取一张，如15号,然后按顺序往后将65号、115号、165

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号、…发票上的销售额组成一个调查样本。这种抽取样本的方法是（B）

（A）抽签法（B）系统抽样

（0分层抽样（D）随机数表法

3.某班有50名学生，（其中有30名男生，20名女生）现调查平均身高，准备抽取10%,

问应如何抽样？如果已知男女身高有显著不同，又应如何抽样？

解：（1）可用系统抽样的方法：

第一步先将这50名学生从00到49随机编号，并分成5段；

第二步在第一段00、01、02、03、…、09这十个编号中用简单随机抽样确定起始号

码,比如03

第三步将003逐次加上部分的''长度”（第•部分中个体的个数）的。倍、1倍、2倍、…、

9倍得到样本：

03、13>23、33、43

（2）因%总.由油类'差异明显的个体构成，所以应采用分层抽样的方法进行抽取：其中

男生抽三名，女生抽两名。

4.某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部

门中，如下表所示:

技

管术营

人数生产小计

理开销

发

老年40404080200

中年80120160240600

青年401602807201200

小计16032048010402000

（1）若要抽取40人调查身体情况，则应该怎样抽样？（2）若要开•个25人的讨论单位发展

与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？（3）若要抽20人调查对北京奥运会筹备情

况的了解，则应怎样抽样？

【解】

（1）因为身体状况主要与年龄有关，所以应按老年、中年、青年分层抽样法进行抽样，

要抽取40人，可以在老年、中年、青年职工中分别抽取4,12,24人.

（2）因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门，所以可用按部门分层抽样的方法进

行抽样.要抽取25人，可以在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机抽取

2,4,6,13人.

（3）对北京奥运会筹备情况的了解与年龄、部门关系不大，可以用系统抽样或简单随机抽

样进行.

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6.2总体分布的估计

第19翼时演率分布表

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【学习导航】

学习要求

1.感受如何用样本频率分布表去估计总体分布；

2.自己亲自体验制作频率分布表的过程，注意分组合理并确定恰当的组距；

【课堂互动】

自学评价

案例1为了了解7月25日至8月24日北京地区的气温分布状况，我们对往年份这段时间

的日最高气温进行抽样，并对得到的数据进行分析.我们随机抽取近年来北京地区7月25

日至8月24日的旧最高气温，得到如下样本（单位:C）:

7月25日至8月41.937.535.735.437.238.1

10日34.733.733.332.534.633.0

30.831.028.631.528.8

8月8日28.631.528.833.232.530.3

至8月24日30.229.833.132.829.425.6

24.730.030.129.530.3

怎样通过上表中的数据，分析比较两时间段的高温（》33℃状况呢？

【分析】

要比较两时间段的高温状况，最直接的方法就是分别统计这两时间段中高温天数.如

果天数差距明显，则结论显然，若天数差距不明显，可结合其它因素再综合考虑.上面两样

本中的高温天数的频率用下表表示：

时间总天数高温天数（频数）频率

7月25日至8月10日17110.647

8月8日至8月24日1720.118

由此表可以发现，近年来，北京地区7月25日至8月1（）日的高温天气的频率明显高

于8月8日至8月24日.

上例说明，当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分

布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.

案例2从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样

本，数据如下（单位：cm）。试作出该样本的样本的频率分布表。

168165171167170165

【分析】该组数据中最小值为151,165170168169171166

最大值为180,它们相差29,可取区170155166158155160

间［150.5,180.5］,并将此区间分成10160170168164174171

个小区间，每个小区间长度为3,再180174173159163172

统计出每个区间内的频数并计算相应151168158168176155

的频率，我们将整个取值区间的长度177158175165169151

称为全距，分成的区间的长度称为组178165158170169159

167163164158168167

距。

161165174156167166

【解】

（1）在全部数据中找出最大值180和最小小151,则两者之差为22，确定全距为30,决定

以组距3将区间［150.5,180.5］分成由个组;

（2）从第一组［150.5,153.5）开始，分别统计各组中的频数，再计算各组的频率，并将结果

填入下表：

分组频数累计频数频率

150.5,153.5)440.04

153.5,156.5)1280.08

苏教版高中数学必修3精品讲义

156.5,159.5)2080.08

159.5,162.5)31110.11

162.5,165.5)53220.22

165.5,168.5)72190.19

168.5,171.5)86140.14

171.5,174.5)9370.07

174.5,177.5)9740.04

]77.5,180.5]10030.03

合计1001

【小结】编制频率分布表的步骤如下：

（1）求全距，决定组数和组距，组距=全距/组数；

（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.

在分组时，为了容易看出规律，一般分组使每组的长度相等，组数不宜太多也不宜太

少.一般地，称区间的左端点为为下组限，右端点为上组限。我们可以采用下组限在内而

上组限不在内的分组方法，也可采用下组限不在内而上组限在内的分组方法。如果取全距

时不利于分组（如不能被组数整除），如何处理可适当增大全距，如在左、右两端各增加适当

范围（尽量使两端增加的量相同.

精典范例

例1某铸件厂从规定尺寸为25.40mm的一堆零件中任取100件,测得它们的实际尺寸如下:

25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.39

25.4125.4325.4425.4825.4525.4325.46

25.4025.3925.4125.3625.3825.3125.56

25.3725.4425.3325.4625.4025.4925.34

25.3525.3225.4525.4025.2725.4325.54

25.4025.4325.4425.4125.5325.3725.38

25.3625.4225.3925.4625.3825.3525.31

25.4125.3225.3825.4225.4025.3325.37

25.4725.3425.3025.3925.3625.4625.29

25.4025.3525.4125.3725.4725.3925.42

25.4225.2425.4725.3525.4525.4325.37

25.4025.3425.5125.4525.4425.4025.38

25.4325.4125.4025.3825.4025.3625.33

25.4225.4025.5025.3725.4925.3525.39

25.3925.47

1）这100件零件尺寸的全距是多少？

2）如果将这100个数据分为11组，则如何分组？组距为多少?

3）画出以上数据的频率分布表。

4）如果规定尺寸在[25.325,25.475）之间的零件为合格产品抽样检查，合格品率大于85%,

这批零件才能通过检验，则这批产品能通过检验吗？

【解】

1）该组数据中最小值为25.24,最大值为25.56,它们相差0.32,故可取区间

[25.235,25.565],并将此区间等分成11个区间，这100个零件尺寸的全距为

25.235-25.565=0.33

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2)组距为0士3吆3=0.03

11

3)

分组频数累计频数频率

[25.235,25.265)110.01

25.265,25.295)320.02

25.295,25.325)850.05

[25325,25.355)20120.12

[25.355,25.385)38180.18

[25.385,25.415)63250.25

25.415,25.445)79160.16

[25.445,25.475)92130.13

25.475,25.505)9640.04

[25.505,25.535)9820.02

[25.535,25.565]10020.02

合计1001

4）尺寸在［25.325,25.475）之间的零件的累计频率为0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84<0.85

故这批零件不能通过抽样检验。

追踪训练一

1.一个容量为20的数据样本，分组与频数为：［10,20］2个，（20,30］3个，（30,4。］4个，

（40,50］5个，（50,60］4个，（60,7012个，则样本数据在区间（-8,50］上的可能性为（D）

（A）5%（B）25%（C）50%（D）70%

2.下面是不同厂家生产的手提式电脑的重量（单位:kg）,试列出其频率分布表

1.92.02.12.42.4

2.61.92.42.21.6

2.83.22.31.52.6

1.71.71.81.83.0

分析：全距3.2T.5=1.7故可取区间［1.45,3.25］并将此区间分成6个小区间

分组频数累频数频率

计

[1.45,1.75)440.20

[1.75,2.05)950.25

2.05,2.35)1230.15

[2.35,2.65)1750.25

2.65,2.95)1810.05

[2.95,3.25]2020.10

合计201

3.一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1〜5个的15句，字数

6~10个的27句，字数11-15个的32句，字数16〜20个的15字，字数21〜25个的8句,

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字数26〜30个的3句，请作出字数的频率分布表，并利用组中值对该书中平均每个句子包

含的字数作出估计。

分组频数累计频数频率

1〜515150.15

6〜1042270.27

11〜1574320.32

16〜2089150.15

21〜259780.08

26〜3010030.03

合计1001

可以估计，该书中平均每个句子子包含字数为：

3x0.15+8x0.27+13x0.32+18x0.15+23x0.08+28x0,0312个.

4.李老师为了分析一次数学考试情况，全校抽了50人，将分数分成5组，第一组到第

三组的频数10,23,11,第四组的频率为0.08,那么落在第五组(89.5~99.5分)的频数是多少？频

率是多少？全校300人中分数在89.5-99.5中的约有多少人？

解：频率是每一小组的频数与数据总数的比值，第四组的频率是0.08,则第四组的频数

是4,从而可求出第五组的频数、频率，并由样本估计出全校300人中分数在89.5~99.5之间

的人数.第四组的频数为0.08x50=4,第五组的频数为50-10-23-11-4=2,频率为

2

—=0.04,所以全校在89.5-99.5之间的约有0.04x300=12人.

50

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第20课时频率分布直力图和折线图

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【学习导航】

知识网络

体

分

总

体

分

布

学习要求

1.频率分布直方图的作法，频率分布直方图更加直观形象地反映出总体分布的情况；

2.频率分布折线图的作法，优点是反映了数据的变化趋势，如果样本容量足够大，分组的

组距足够小，则这条折线将趋于一条曲线，称为总体分布的密度曲线。

【课堂互动】

自学评价

案例1下表是某学校一个星期中收交来的失物件数，请将5天中收交来的失物数用条形图

表示.

星期—>二三四五

件数62351

累计68111617

解用EXCEL作条形图：

(1)在EXCEL工作表中输入数据，光标停留在数据区中;

(2)选择“插入/图表”，在弹出的对话框中点击“柱形图”；

(3)点击“完成”，即可看到如下频数条形图.

星期

案例2从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样

本，数据如下(单位：cm)。试作出该样本的频率分布直方图和折线图.

168165171167170165