2020-2021学年广东省广州市高一年级下册期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年广东省广州市高一下期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）若复数z=占（i为虚数单位），则|z|=（

13

A.-B.1C.5D.-

55

2.（5分）已知向量a=（2,3),b=(尤，-6),且a_Lb,贝!J%=()

A.-9B.9C.-4D.4

3.（5分）高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样

本量为100.则在男生中抽取的样本量为（）

A.48B.51C.50D.49

4.（5分）

如图，△A8C是水平放置的△ABC的斜二测直观图,△A8,C为等腰直角三角形，其

中0'与A'重合，AB'=6,则△ABC的面积是（)

A.9B.9V2C.18D.18V2

TTTTT———

5.（5分）已知|a|=6,|h|=4,。与b的夹角为60°,则(a+2b)*(a-36)=(

A.-72B.72C.84D.-84

6.（5分）某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一

批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本

不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本.现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读,

则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）

1278

A.—B.—C.——D.—

15151515

第1页共26页

―>_、―>—>

7.（5分）如图,已知。4=a,OB=6,任意点M关于点A的对称点为S,点M关于点B

―»

的对称点为N,则向量NS=（）

8.（5分）已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF,将其沿直线PC折叠成如图2的空间

图形/'A'E'-CB'D',其中A'E'=孚，则空间几何体尸A'E-C方。的体积为

（）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7,8,9,

10,6,8,（单位：环），下列说法正确的有（）

A.这组数据的平均数是8

B.这组数据的极差是4

C.这组数据的中位数是8.5

D.这组数据的方差是2

（多选）10.（5分）已知复数2=。。5。+（V3sina）i（a£R）（i为虚数单位），下列说法正确

的有（）

第2页共26页

A.当a=-鄂寸，复平面内表示复数z的点位于第二象限

B.当a=》时，z为纯虚数

C.|z|最大值为机

D.z的共软复数为2=—cosa+（Vasina）i（a£R）

（多选）11.（5分）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。1。2,在

轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm,且CO=2A8,下列说法正确的有（）

B.该圆台的体积为一--cn?

C.该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°

D.沿着该圆台表面，从点C到AO中点的最短距离为5cm

（多选）12.（5分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点。为△ABC所

—>—>—>

在平面内点，满足x（M+yOB+zOC=0,下列说法正确的有（）

A.若x=y=z=l,则点。为△ABC的重心

B.若x=y=z=l,则点。为△ABC的外心

C.若x=a,y=b,z=c,则点。为△ABC的内心

D.若x=a,y—b,z—c,则点。为△ABC的垂心

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为.

14.（5分）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段

时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨

的概率是.

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15.（5分）如图，在三棱锥V-A3C中，VA^VB=AB^AC^BC^4,VC=2,则二面角A

-VC-B的余弦值为

16.（5分）如图，ZXABC是边长为1的正三角形，M,N分别为线段AC,A8上一点，满

足AM；MC=1：2,AN：NB=1：3,CN马BM的交点为P,则线段AP的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）现有两个红球（记为Ri,R2）,两个白球（记为W1,卬2）,采用不放回简单随

机抽样从中任意抽取两球.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.

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18.(12分)已知角A是△ABC的内角，若。=(V3sinA,cosA),b=(1,-1).

(1)若3111,求角A的值;

TTTT.

(2)设/(x)当/(x)取最大值时，求。在b上的投影向量(用坐标表示).

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19.(12分)如图，直三棱柱ABC-A8C中，。是的中点.

(1)求证：直线8C'〃平面ACZ)；

(2)若AC=CB,求异面直线A8与。所成角的大小.

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20.(12分)2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段

随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速(而7必)

分成六段[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120],得

到如图的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数;

(2)现从平均车速在区间[90,100)的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的

平均车速都在区间[95,100)上的概率;

(3)出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115,120]的汽车以实时短信形式对车

主进行安全提醒，确保行车安全.假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互

不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概

率？

车速

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21.(12分)如图，B4垂直于。。所在的平面，AC为。。的直径，AB=3,BC=4,PA=

3V2,点尸为线段上一动点.

(1)证明：平面AEFL平面PBC；

(2)当点尸移动到C点时，求PB与平面AE尸所成角的正弦值.

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22.(12分)为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图

规划成3个功能区：4BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CM4区域规划为“民宿”供

游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△

MNC周围筑起护栏.己知AC=40m,BC=40V3m,AC±BC,/MCN=30°

(1)若AM=20"时，求护栏的长度(△MNC的周长)；

(2)若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的渔倍，求NACM；

2

(3)当NACM为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？

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2020-2021学年广东省广州市高一下期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）若复数（i为虚数单位）,则|z|=()

13

A.-B.1C.5D.-

55

【解答~】解：Yz—E1y,...IzLI。1"一111

所知柠+(-4)25'

故选：A.

T—TT

2.（5分）已知向量。=（2,3）,b=（x,-6）,且a_Lb,贝U%=（）

A.-9B.9C.-4D.4

->—

【解答】解：•••alb,

TT

.*.a-h=2%-18=0,解得x=9.

故选：B.

3.（5分）高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样

本量为100.则在男生中抽取的样本量为（）

A.48B.51C.50D.49

510

【解答】解：高一年级共有510+490=1000人，所以男生抽取的人数为——X100=51

1000

人.

故选：B.

4.（5分）

如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△AB'C为等腰直角三角形，其

中0,与A'重合，AB'=6,则△ABC的面积是（）

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c

。'⑷5

A.9B.9V2C.18D.18V2

【解答】解：在斜二测直观图中，由△AB'C为等腰直角三角形，A'B'=6,

可得4C'=3V2,

还原原图形如图：

[1

则AB=6,AC=6V2,贝IJS-BC=^ABxAC=^x6x6^2=18迎.

故选：D.

5.（5分）已知|a|=6,|匕|=4,。与b的夹角为60°,则（a+2b）・（a-3力）=（）

A.-72B.72C.84D.-84

TT7T

【解答】解：：|a|=6,|6|=4,a与b的夹角为60°,

TTTT1

.\a'b=|a||Z）|cos60o=6x4X2=12,

则（a+2b）・（a—3b）=|a|2—a-b-6\b\2

=36-12-6X16=-72.

故选：A.

6.（5分）某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一

批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本

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不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本.现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，

则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）

1278

A.—B.—C.—D.—

15151515

【解答】解：从6本书中随机抽取2本，共有方=15种取法，若两本书来自同一类书籍

则有戏+稼=7种取法，

7

所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是二.

15

故选：C.

TT—T

7.（5分）如图，已知。4=a,OB=6,任意点M关于点A的对称点为S,点M关于点8

的对称点为N,则向量后=（）

—TTT

【解答】解：=a,。8=b,任意点M关于点A的对称点为S,点M关于点8的

对称点为N,

：.AB是△MNS的中位线,

—»—»—>—>tT

:.NS=2BA=2(OA-OB)=2(a—b).

故选：D.

8.（5分）已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF,将其沿直线FC折叠成如图2的空间

图形户A'E'-CB'D',其中A'E'=孚，则空间几何体尸A'E-（笫。的体积为

（）

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图1图2

7

D.

8

【解答】解：如图,

过A'作A'G_LC'F',垂足为G,连接E'G,则E'G±CF',

过"作8'HLCF',垂足为"，连接H,则H1CF',

可得平面A'GE'〃平面"HD',即三棱柱A'GE'-B'HD'为直三棱柱.

•：A'F'=1,ZAZF'G=60",可得4G=孚，F'G=

同理求得E(=亨，CH=

又A'E'=孚，.♦.A'G2+E'G2=AZE'2,

空间几何体F'A'E'-CBD的体积为V=/x字x字xl+2x/x/x噂x*x/=£.

乙乙乙。乙乙乙乙乙

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7,8,9,

10,6,8,（单位：环），下列说法正确的有（）

A.这组数据的平均数是8

B.这组数据的极差是4

第14页共26页

C.这组数据的中位数是8.5

D.这组数据的方差是2

1

【解答】解：对于4这组数据的平均数是-(7+8+9+10+6+8)=8,故4正确；

6

对于3,这组数据的极差是10-6=4,故B正确；

对于C,这组数据从小到大为6,7,8,8,9,10,

这组数据的中位数是8,故C错误；

对于。，这组数据的方差是$2=%(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(6-8)

2+(8-8)2]=|,故。错误.

故选：AB.

(多选)10.(5分)已知复数z=cosa+(V3sina)i(aGR)(，为虚数单位)，下列说法正确

的有()

A.当观=-即寸，复平面内表示复数z的点位于第二象限

B.当a=*时，z为纯虚数

C.|z|最大值为旧

D.z的共轨复数为5=—cosa+(V3sina)i(aGR)

【解答】解：对于A,当a=T时，z=cos(—亨)+[V3sin(一与)]/=1复平面内

表示复数z的点位于第四象限，故A错误；

■rrTC__TCI____

对于8,当a=]时，z=cos—+(V3sin-)i=V3i,为纯虚数，故B正确；

对于C,|z|=Vcos2a+3sin2a=V1+2sin2a,最大值为百，故C正确；

对于£>,z的共辗复数为2=cosa-(V3sina)i,故。错误.

故选：BC.

(多选)11.(5分)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。1。2,在

轴截面ABC。中，A3=AD=8C=2c%,且CD=248,下列说法正确的有()

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Ba

D

q

A.该圆台轴截面ABCD面积为3百a??

7y/3n3

B.该圆台的体积为------cm

3

C.该圆台的母线4。与下底面所成的角为30。

D.沿着该圆台表面，从点C到4。中点的最短距离为5c机

【解答】解：由AB=AD=BC^2cm,且CD=2AB,可得CD=4,高013=J4-（与2产

V3,

1

则圆台轴截面ABC。面积为-（2+4）x百=3百CM?,故在正确;

2

圆台的体积为V=/r（1+4+2）xV3=故3正确;

V3

圆台的母线与下底面所成的角为/AO01,其正弦值为］~，

所以/4。。1=60°,故C错误;

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4c〃z,底面半径为2a”,

侧面展开图的圆心角为0=竿=口,

4

设AO的中点为P,连接CP,可得NCOP=90°,OC=4,OP=2+1=3,

则CP==5,所以沿着该圆台表面,

从点C到AD中点的最短距离为5c处故。正确.

故选：ABD.

（多选）12.（5分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点。为△ABC所

—>—>—>

在平面内点，满足MM+yO8+zOC=0,下列说法正确的有（）

A.若x=y=z=l,则点。为△ABC的重心

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B.若尤=y=z=l,则点。为△ABC的外心

C.若x=a,y=b,z=c,则点。为△ABC的内心

D.若x=a,y=b,z=c,则点O为△ABC的垂心

—>—>—>—>—>—>—>

【解答］解：若x=y=z=l贝IJ04+0B+。。=0,：.OA+OC-OB.取AC中点D

连接OQ,

->—>

；.2OD=—OC.二。在△ABC的中线上，同理可得。在其它两边的中线上，

，。是△ABC的重心.

T—>—>—>

若％=〃，y=b,z=c,则有a。％+bOB+cOC=0,

T—>—>—>T—>

延长CO交AB于。，贝|。4=。。+。4,OB=OD+DB,

T—>—>—>

：.aCOD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,

设OD=kOC,贝!!(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0,

—>—>—>—>—>

与DB共线，OC-^DA,不共线，

—>T—>

:.ka+kb+c=3aDA+bDB=0,

.DAb

••—―,

DBa

...CZ）为NACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线.

二。是△ABC的内心.

故选：AC.

第17页共26页

B

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下:

100,120,125,165,430,190,175,234,425,310

这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212.

【解答】解：根据题意，将10个数据从小到大排列:

100,120,125,165,175,190,234,310,425,430；

10X60%=6,

190+234

则该组数据的第6。百分位数为-^=212,

故答案为:212.

14.（5分）天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在这段

时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨

的概率是0.38.

【解答】解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨,

P(A)=0.2,P(B)=0.3,

甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P=P（A反）+尸（油）=0.2义（1-0.3）+（1-0.2）

X0.3=0.38；

故答案为：0.38.

15.（5分）如图，在三棱锥V-ABC中，144=VB=AB=AC=BC=4,VC=2,则二面角A

7

-MCF的余弦值为—

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V

【解答】解：取VC的中点。，连接A。、BD,

因为W4=VB=AC=8C=4,所以AO_LyC,BD1,VC,

所以/AO8即为二面角A-VC-8的平面角,

因为侬=VB=AC=BC=4,VC=2,所以AD=BD=同,

(715)2+(715)2-427

而AB=4,在△48。中，由余弦定理可得cos/AD8=

2.715-715-15)

16.（5分）如图，AABC是边长为1的正三角形，M,N分别为线段AC,48上一点，满

足AM：MC=1：2,AN：NB=1：3,CN与的交点为P,则线段AP的长度为——

-11'

【解答】解：以A为原点，A3为了轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

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NBx

,1

则A(0,0),B(1,0),C(-,M(-,

2

所以直线5M的方程为y=(x-1),BPV3x+5j—\/3=0,

名一01

直线CN的方程为丁=:i(x—4),BP4A/3X-2y—y/3=0,

0,解得

联立

4V3x—2y—V3=0

故答案为：-

11

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)现有两个红球(记为Ri,R2),两个白球(记为Wi,W2),采用不放回简单随

机抽样从中任意抽取两球.

(1)写出试验的样本空间；

(2)求恰好抽到一个红球一个白球的概率.

【解答】解：(1)两个红球(记为R1,&),两个白球(记为W1,卬2),

采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，

则试验的样本空间。={(Ri,R2),(Ri,Wi),(Ri,W2),

(R2,Wi),(R2,W2),(Wi,W2)}.

(2)试验的样本空间Q={(Ri,R2),(Ri,Wi),(Ri,W2),

(R2,Wi),(R2,W2),(M,W2)},包含6个样本点，

其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，

恰好抽到一个红球一个白球的概率「£='!.

63

18.(12分)已知角A是△ABC的内角，若6(=(V3sinA,cosA),b=(1,-1).

第20页共26页

(1)若石IIb,求角A的值;

T—TT.

(2)设/(x)当/(x)取最大值时，求Q在b上的投影向量(用坐标表示).

【解答】解：(1)•・,角A是△ABC的内角，・・・OVAVn,

又。=(V3sinA,cosA),b=(1,-1)且Q||b,

「V3I

-y/3sinA-cosA=0,即2(—sinA+方cos/)=0,

22

sin(A+J)=0,

o

7TJI7"

V0<A<TI,A-<4+gV3

666

则A+看=m即A=等；

—»—,-7T

(2)f(x)=a-b=V^sinA—cosA=2sin{A—召)，

•.♦—1〈4一卷〈答，.・.要使/小)取得最大值，则4一看=今即A=1

t.—27r27r3]

.*.a=(V3sin-5-,cos-)=(-,一乃),

3322

———31

)tcc-bb-xl—x(—1)i

.,.a在b上的投影向量为r-,=r=------y=------,—)=(1,-1)=(2,-2).

\b\\b\V2V2

19.(12分)如图，直三棱柱ABC-A8C中，。是AB的中点.

(1)求证：直线8C'〃平面ACD；

(2)若AC=C3,求异面直线4月与CD所成角的大小.

【解答】解：(1)证明：连接AC',交AC于点。，连接。。，

,直三棱柱ABC-ABC中，ACC'A'是矩形，是AC'中点,

第21页共26页

•.•。是AB的中点，：.OD//BC,

"：BC<t平面AC。，QDu平面ACZ）,

直线BC‘〃平面AC。；

(2)解法一：'：AC=CB,。是AB的中点，CDLAB,

,直三棱柱ABC-AbC中，AA1_L平面ABC,

.♦.CDu平面ABC,/.A4,LCD,

'：AB^\AA'=A,，CZ)_L平面A8夕A),

\'AB'u平面ABB'A',：.AB'±CD,

.•.异面直线43与CD所成角的大小为90°.

解法二：VAC=CB,D是AB的中点，ACDLAB,

以。为原点，为无轴，Z5C为y轴，过。作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，

设CD—c,AB—a,AA'—b,

na

则A(-5，0,0),B'(-,0,b),C(0,c,0),D(0,0,0),

22

—>—>

AB'=(a,0,b),CD=(0,-c,0),

'JAB''CD=0,：.AB'LCD,

...异面直线A3与CO所成角的大小为90°.

20.（12分）2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段

随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（切明）

第22页共26页

分成六段［90,95),［95,100),［100,105),［105,110),［110,115),［115,120］,得

到如图的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；

(2)现从平均车速在区间［90,100)的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的

平均车速都在区间［95,100)上的概率；

(3)出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间［115,120］的汽车以实时短信形式对车

主进行安全提醒，确保行车安全.假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互

不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概

率？

【解答】解：(1)设平均车速的中位数的估值为方则0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06X

(%-105.0)=0.5

尤=107.5

故平均车速的中位数为1075

(2)车速在［90,95)内的有0.01X40X5=2,车速在［95,100)的有0.02X40X5=4,

故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间［95,100)上的概率P=刍=1

(3)设事件A为“汽车收到短信提醒”，则P(4)=0.02x5=白，

:汽车的速度不受影响，

•••连续两辆汽车都收到短信体现的概率?=余x存=焉.

21.(12分)如图，以垂直于。。所在的平面，AC为。。的直径，AB=3,8C=4,PA=

3vLAELPB,点产为线段8C上一动点.

(1)证明：平面平面P2C；

(2)当点/移动到C点时，求P8与平面AE尸所成角的正弦值.

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【解答】（1）证明：因为B4垂直于。。所在的平面，即E4,平面ABC,BCu平面ABC,

所以又AC为。。的直径，所以A8_LBC,

因为B4CAB=A,所以BC_L平面E4B,

又AEu平面E48,所以BC_LAE,

因为BCCPB=B,

所以AE_L平面P8C,又A£u平面AEP,

所以平面AEF_L平面PBC.

(2)解：因为AB=3,E4=3V2,所以PB=7AB?+=灰=3小

又AE_LPB,所以AE=与祭■=粕,

由AB2=BE.PB,可得

EGBE一

如图，过点E作EG〃山交AB于点G,则一=一，可得EG=a,