排列组合解题策略讲义

排列组合方法题型方法归纳知识梳理一、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方案，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。二、分布乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。一、排列1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm3.排列数公式：A其中，n，m∈N*且m≤n4.全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。这时公式中m=n，即有An5.阶乘：n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成Anm=n!规定二、组合1.组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个组合。2.组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C3.组合数公式：m，n∈N*，m≤n规定例题和变式考点1相邻问题捆绑法例1．有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有（

）A．144种 B．240种 C．288种 D．336种【答案】C【思路】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，选一对双胞胎相邻，分类讨论这对双胞胎分别站在1，2号、2，3号、4，5号、5，6号和3，4号的情况，利用分类加法计数原理即可得解.【详解】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，当恰有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法；当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样，从而共有种站法；当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可，从而有种站法．综上可知，总站法有（种）．故选:C．变式11．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B相邻，则不同的排列方法有（

）A．24种 B．48种 C．36种 D．60种【答案】B【思路】相邻问题用捆绑法，把、捆绑在一起和、、全排，需注意组内还需全排；【详解】解：把、捆绑在一起和、、全排，共有种方法；故选：B变式12．有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起，不同的排法有（

）种A． B． C． D．【答案】C【思路】将5个女生捆绑当做一个元素，与9个男生进行全排列，即可得出结论.【详解】依题意，5个女生排在一起有排法，所以不同的排法有.故选：C.【反思】本题考查排列应用问题，注意“相邻捆绑法”和“不相邻插空法”的应用，属于基础题.考点2不相邻问题插空法例2．个人排队，其中甲､乙､丙人两两不相邻的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【思路】先排除甲､乙､丙以外的人，再将甲乙丙插空，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】先排除甲､乙､丙以外的人有种排法，将甲､乙､丙人插入个空中有种排法，由分步乘法计数原理可得：甲､乙､丙人两两不相邻的排法有种，故选：B.变式21．有7个男孩与3个女孩站成一排照相，任何两个女孩都不相邻.则其可能的排法个数是A． B． C． D．【答案】A【详解】若用插入法来思考，易得答案是.先让7个男孩站好，这时排法有种；再从中选定3个空档.（即相邻两男孩之间的位置或两端的空位，共有8个位置），取法有种；最后，让3个女孩占据这3个已取定的位置，方法有种；再由乘法原理即得答案.选A.考点3捆绑与插空法混合例3．甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（

）A．72种 B．36种 C．144种 D．108种【答案】C【思路】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入2个空中，故有种不同的排法.故选：C变式31．现有5个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（

）A．12种 B．16种 C．24种 D．36种【答案】C【思路】先将甲乙相绑在一起，再将甲乙与第五个小朋友排列，然后将丙丁插入三个空，结合根据分布计数原理，即可求解.【详解】根据题意，先将甲乙相绑在一起，内部有种排列；再将甲乙与第五个小朋友排列有种方法；然后将丙丁插入三个空，有种方法，根据分布计数原理，可得共有方法种.故选：C.变式32．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．【详解】由题意不同站法数为：．故选：B.【反思】本题考查排列问题．涉及到相邻与不相邻问题，解题方法是相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．变式33．5名同学排成一排照相若甲､乙相邻且乙､丙不相邻，则不同的排法有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种【答案】B【思路】先将5名同学用甲，乙，丙，代表，再根据丙是否与甲相邻进行分类，即可求解.【详解】解：5名同学分别设为甲，乙，丙，，第一类：丙与甲，乙都不相邻，则先将甲乙捆绑看成一个元素，将进行排列，用，丙进行插空，则有：种，第二类：丙与甲相邻，甲与乙相邻，将其进行捆绑，则有丙甲乙，乙甲丙种，再与进行排列，则有：种，故共有种，故选：B.【反思】方法反思：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.变式34．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（

）A．72种 B．144种 C．216种 D．256种【答案】B【思路】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得.【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，在其中选2个给甲和乙，有种方法；再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法；最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.故选：B.考点4特殊元素优先法例4．某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有（

）A．12种 B．14种 C．18种 D．24种【答案】B【思路】采用分类加法和分步乘法原理，分甲在与不在第四天值班，再分步计算即可，注意特殊的先排.【详解】分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有种安排；②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，剩下两人有种，共有种；所以一共有种安排，故选：B.变式41．某单位安排甲、乙、丙三人从周一至周六值班，每人值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表共（

）．A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【思路】由题意，分甲排再星期六和不排在星期六两种情况讨论，根据特殊元素优先法，可得答案.【详解】由题意分成两种情况讨论：①当甲排在星期六，由题意，甲不能排星期一，则由种情况，乙没有任何限制，则有种情况，只剩两天，丙只有1中情况，共有有种排法；②当甲不排在星期六，在除星期一与星期六之外的四天，则由种情况，对于乙，去掉甲安排的两天与星期六，则有种情况，对于丙同上，共有种排法；∴值班方案种数为种．故选：A.变式42．某公司安排位员工在“五一劳动节（月日至月日）”假期值班，每天安排人，每人值班天，若位员工中甲不在日值班，乙不在日值班，则不同的安排方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路】设全集为安排位员工在“五一劳动节（月日至月日）”假期值班，每天安排人，每人值班天的排法，以集合表示“甲在日值班”的排法，集合表示“乙在日值班”的排法，作出韦恩图，结合容斥原理可求得结果.【详解】设全集为安排位员工在“五一劳动节（月日至月日）”假期值班，每天安排人，每人值班天的排法，以集合表示“甲在日值班”的排法，集合表示“乙在日值班”的排法，如下图所示：则，，，因此，满足条件的不同排法种数为.故选：C.变式43．某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有【答案】1008【详解】思路：本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两元之间有一个排列，丙不排在初一，丁不排在初七，则可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，根据分类原理得到结果.详解：分两类：第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有种，然后排丙或丁，有种，剩下的四人全排有种，因此共有种方法；第二类：甲乙相邻排中间，有种，当丙排在初七，则剩下的四人有种排法，若丙排在中间，则甲有种，初七就从剩下的三人中选一个，有种，剩下三人有种，所以共有种，故共有种安排方案，故答案为.反思：该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.考点5特殊位置优先法例5．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的四位偶数共有（

）个A．150个 B．156个 C．144个 D．300个【答案】B【思路】当末位是数字0时，可以组成个数字；当末位不是0时，共有种结果，根据计数原理得到结果.【详解】本题需要分两类来解，当末位是数字0时，可以组成个四位偶数，当末位不是0时，末位可以是2、4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果.故选：B.变式51．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（

）A．48种 B．32种 C．24种 D．16种【答案】B【思路】由排列组合以及分类分步计数原理即可得解.【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.故选：B.变式52．某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为（

）A．90 B．120 C．180 D．210【答案】C【思路】从7个人中任取3个作排列，减去A部门的2人同时被取到的排列即可.【详解】依题意，从7个人中任取3个作排列，共有种，其中包含A部门的2人同时被取到，而A部门的2人同时被取到的排列数是，所以不同的安排方法种数为.故选：C变式53．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，至少有1名女生入选，则有（

）种不同的选法.A．700 B．750C．771 D．780【答案】C【思路】“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”利用间接法求解即可．【详解】“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解．从12名人中任选5人有种选法，其中全是男代表的选法有种．所以“至少有1名女生入选”的选法有(种)．故选:C.考点6至多至少问题：间接法例6由组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（

）A．240 B．288 C．360 D．480【答案】D【思路】根据题意利用间接法和捆绑法运算求解.【详解】由组成没有重复数字的六位数的个数是，1，3相邻的六位数的个数是，所以1，3不相邻的六位数的个数是.故选：D.变式61．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的两位数的个数为（用数字作答）【答案】【思路】利用间接法，结合排列数公式，即可求解.【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个，其中数字排首位的有个，所以满足条件的两位数有个.故答案为：考点7定序问题：公式法例7．一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（

）种A．12 B．20 C．30 D．42【答案】D【思路】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得.【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有，所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有.故选：D变式71．将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（

）A．120种 B．240种 C．480种 D．600种【答案】C【思路】求出A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列的排列个数，然后确定A，B在C同侧的情况所占的比例，即可求得答案.【详解】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有,其中的顺序有，共6种，A，B在C同侧的情况有共4种，即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中，A，B在C同侧的情况占比为，则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种），故选：C变式72．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.故选：C.考点8相同元素：隔板法．例8将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（

）A．15 B．35 C．56 D．70【答案】B【思路】根据题意，结合“隔板法”，即可求解.【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法．故选：B.变式81将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（每盒至少装1个小球），则不同的装法有种.【答案】36【思路】采用隔板法进行求解.【详解】将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空中任取2个画上竖线，这样就将10个小球分成了3组．如图所示的是其中一种分法.将每组小球按顺序装入3个盒子中，则画竖线的方法数就等于题中所求的装法数，故满足题意的装法共有（种）.故答案为：36变式82．的非负整数解有组.【答案】84【思路】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可.【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段，因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可，因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法，故答案为：84.考点9不均匀分组例9．已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？变式91．8张不同的邮票，分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；有多少种不同的分法？（用式子表示）详解：由题意，根据非平均分组问题，仅仅分组，与顺序无关，是组合问题，共有种不同的分法．考点10部分均匀分组例10．6本不同的书，分成三份，1份4本，另外两份每份1本，共有种不同的分配方式【答案】15【思路】根据部分平均分组由排列组合即可求解.【详解】由题意，共有种不同的分配方式.故答案为：15.变式101.8张不同的邮票，分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；详解：由题意，根据部分平均分组问题，有种不同分法考点11均匀分组例11．已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？【详解】变式111.8张不同的邮票，平均分成四份，有多少种不同的分法？（用式子表示）【详解】考点12先分组后分配例12．在抗疫期间，某医院选派4位医护人员到三个社区做防疫知识讲座，每位医护人员只去一个社区，且每个社区都有医护人员去，不同的选派方法种数为（

）A．24 B．36 C．72 D．81【答案】B【思路】先将4名医护人员分为3组共6种方法，再将分好的3组全排列有6种情况，最后相乘即可.【详解】将4名医护人员分为3组：2、1、1，则有种方法，再将分好的3组全排列，对应3个社区，有种情况，所以有种不同的安排方式.故选：B.变式121．某市教育行政部门欲将甲、乙、丙、丁4名公费师范生分配至三所重点中学任教，要求每所学校至少分得一人，则学校仅分得甲1个人的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路】运用排列组合的知识，求出基本事件总数和学校仅分得甲1个人的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】假设“学校仅分得甲1个人”为事件.根据题意，基本事件总数为，事件包含的基本事件数为.所以.故选:B变式122．为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱､丰都､奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（

）A． B． C． D．【答案】D【思路】根据题意，每个区县至少派遣名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4），分组后再分配【详解】解：根据题意，每个区县至少派遣名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4），分组的种数为，分组后，再分配到三个区县支教，共有种故选：D变式123．安排5名志愿者完成三项工作，其中项工作需3人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（

）A．10种 B．120种 C．60种 D．20种【答案】D【思路】先安排项工作的3人，再安排两项工作的2人，然后利用乘法原理可得结果.【详解】从5名志愿者中任选人完成项工作，有种，剩余名志愿者完成两项工作，有种，故不同的安排方式共有种.故选：D考点13涂色问题例13．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】C【思路】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.故选:C变式131．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（）种植方式．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种【答案】A【思路】先选出4种庄稼，再根据可能的相同庄稼情况计算种数，运用分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有种选择，则地种植相同庄稼或地种植相同庄稼，共有种选择，根据分步乘法计数原理可知，有种．故选：A变式132．春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（

）

A．180 B．240 C．360 D．420【答案】D【思路】依次求出5个花池栽了5种颜色的花卉，栽了4种颜色的花卉，栽了3种颜色的花卉的方法种数，再相加即得所求．【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花，或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，所以最多有种栽种方案.故选：D变式133．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（

）种不同的涂色方法.

A．108 B．96 C．84 D．48【答案】A【思路】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案.【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；若选4种颜色，共有种涂色方法；故共有（种）涂色方法，故选：A考点14排数问题例14能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（

）A．228 B．210 C．240 D．238【答案】A【思路】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将1