8.6.2直线与平面垂直(3)课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直(3)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．2.掌握直线和平面垂直的性质定理．3.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决问题．活动方案活动一探究直线与平面垂直的性质定理思考►►►(1)在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？【解析】

平行【解析】

正确，证明略(2)命题“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．1.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言：图形语言：【解析】【解析】(1)正确，理由略．(2)不正确，理由略．(3)正确，理由略.2.概念辨析：已知直线l，m，n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：(1)若l⊥α，则l与α相交；(2)若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；(3)若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.活动二直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知l∥α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．【解析】

如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′.因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′.设直线AA′和BB′确定的平面为β，则α∩β＝A′B′.因为l∥α，所以l∥A′B′，所以四边形A′B′BA是矩形，所以AA′＝BB′，由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离．2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离．3.直线与平面之间的距离及平行平面之间的距离，归结为点面之间的距离，其实就是找过点到平面的垂线，点和垂足之间的距离就是所求线面、面面之间的距离．已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：A1A∥平面BB1D1D；(2)若AB＝4，AD＝3，求直线A1A和平面BB1D1D间的距离．【解析】(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥BB1.因为BB1⊂平面BB1D1D，AA1⊄平面BB1D1D，所以A1A∥平面BB1D1D.(2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D，则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等，所以只需求直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD中过点A，作AH⊥BD交BD于点H.因为BB1⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，所以BB1⊥AH.因为BB1∩BD＝B，BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，所以AH⊥平面BB1D1D，即线段AH的长为直线A1A和平面BB1D1D间的距离．在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝5.【解析】

如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥．过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O′，O，则PO垂直于棱台的上底面，从而O′O＝h.例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.【解析】

因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.利用线面垂直的性质定理，如果两条直线垂直于同一个平面，可以得到两直线平行，反之，若两条平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，结论正确，但不可以作为定理使用．若本例的条件不变，求证：M是AB的中点．【解析】

连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，所以ON∥AM.由例2可得MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ON＝AM.所以M是AB的中点．检测反馈245131.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(

)A.垂直

B.平行

C.相交

D.异面【答案】B245132.(2022襄阳期末)如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面PAC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是(

)A.①②

B.①②③C.①

D.②③24513【解析】

对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故①正确；对于②，因为M为线段PB的中点，O为AB的中点，所以OM∥PA.因为PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面PAC，所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故③正确．【答案】B24531【解析】

若a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故B不正确；若a∥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α或b与α相交，故C不正确；D显然成立．故选AD.3.(多选)已知a，b表示两条不重合的直线，α表示平面，则下列结论中正确的是(

)A.若a⊥α，b∥α，则a⊥b B.若a⊥α，a⊥b，则b∥αC.若a∥α，a⊥b，则b⊥α D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b【答案】AD245314.已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝3，PA⊥平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________.245315.(2022东莞期末)如图，在圆柱O1O2中，AB是圆O2的直径，CD和EF分别是圆柱轴截面上的母线．(1)求证：O1D∥平面ABF；(2)若DE＝EF＝4，AF＝BF，证明：AB⊥平面CDEF，并求点D到平面ABF的距离．24531【解析】(1)连接CF，DE，FO2.因为CD和EF是圆柱轴截面上的母线，所以四边形CDEF是平行四边形，所以CF∥DE且CF＝DE.因为CF，DE分别经过圆心O1，O2，所以O1F∥O2D且O1F＝O2D，所以四边形O1DO2F是平行四边形，所以O1D∥O2F.因为O1D⊄平面ABF，O2F⊂平面ABF，所以O1D∥平面ABF.24531(2)因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面AEBD.因为AB⊂平面AEBD，所以AB⊥EF.因为AF＝BF，O2是