专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略（解析版）

专题11模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【模型一平移型模型】 1【模型二轴对称型模型】 8【模型三四边形中构造全等三角形解题】 12【模型四一线三等角模型】 19【模型五三垂直模型】 25【模型六旋转型模型】 30【模型七倍长中线模型】 39【典型例题】【模型一平移型模型】例题：（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）如图，点，在线段上，，，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）首先根据，可得，再根据，可得出，即可判定；（2）首先根据（）中两三角形全等，可得，在中根据外角的性质即可求出．【详解】（1）证明：，，，即，在和中，，∴．（2），，，，是的外角，．【点睛】此题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用性质定理，即可解题．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．【详解】，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)7【分析】（1）由三角形外角性质，得，由三角形全等知；（2）由条件可推出，由三角形全等知，故．【详解】（1）解：∵，，∴．∵，∴；（2）解：∵，，∴∵，∴，∴．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键．3．（2023春·山西太原·八年级统考期中）综合与实践探索图形平移中的数学问题问题情境：如图，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．操作探究：将△ADE从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，．（1）如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时△ADE平移的距离；（2）如图，点是的中点，在△ADE平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立请你证明这一结论；拓展延伸：（3）请从，两题中任选一题作答，我选择______题A.在△ADE平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．B．在△ADE平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．【答案】（1）；（2）见解析；拓展延伸：A：或；B：6或12【分析】（1）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，故△ADE平移的距离为；（2）证明，即可得；（3）选A：分两种情况：当时，可得，故△ADE平移的距离是；当时，可得，从而△ADE平移的距离是；选B：分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即△ADE平移的距离是；当时，可得，故△ADE平移的距离是．【详解】（1）解：连接，如图：是等边三角形，，点是边的中点，，，将△ADE从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，，∴，，，，△ADE平移的距离为；（2）证明：如图：是等边三角形，，，，将△ADE从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，，，，是等边三角形，，点是边的中点，，，，，，≌，；（3）解：选择或题：选A：当时，如图：，，，，；平移的距离是；当时，如图：同理可得，；△ADE平移的距离是；综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离是或；选B：当与重合时，如图：是等边三角形，，，，，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，△ADE平移的距离是；当时，如图：，，，，，由知，，，△ADE平移的距离是；综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离是或．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【模型二轴对称型模型】例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，，，求证：．

【答案】见解析【分析】根据证明，得出即可．【详解】证明：∵在和中，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．【变式训练】1．（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，是的中点，，且，求证：．

【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得，，再证，得，即可得出结论．【详解】解：证明：连接，，是的中点，，，，，，即，在与中，，，，，即．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．

(1)求证：；(2)若．求证：是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明即可．(2)根据得到，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．3．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：

(1)；(2)．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）分别利用证即可；（2）由得，利用等腰三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：在和中，，∴（）．

（2）证明：由（1）得，∴，∵，∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，、分别是和的中点．求证：．

【答案】证明见解析．【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证，即可得出结论．【详解】证明：连接

在与中，，，，且、分别是和的中点，,，即，在与中，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活根据条件选择恰当的判定方法，证明两个三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．

(1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形中，，．求证：___________．证明：___________(2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可）【答案】(1)，见解析(2)（或垂直平分线段）【分析】（1），连接，证明，即可得结论；（2）根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直．【详解】（1）解：证明：连接，

在和中，，，；（2）证明：如图，连接，交于点，

由（1）知，，在与中，，，，，，两条对角线互相垂直．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【模型四一线三等角模型】例题：（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）【分析】（1）根据即可得到，，从而得到，即可得到证明；（2）根据得到，即可得到，即可得到证明；（3）根据的面积为，，即可得到，，结合可得，，根据，得到，即可得到，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵，∴，，，∴，在与中，∵，∴；（2）解：成立，理由如下，∵，∴，，∴，在与中，∵，∴；（3）解：∵的面积为，，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∴，在与中，∵，∴∴，∴；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．【变式训练】1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②，见解析(2)不成立，，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可；（2）利用互补的性质得到，证明≌即可．【详解】（1）①证明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．证明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．【详解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【模型五三垂直模型】例题：（2023春·辽宁本溪·七年级统考期末）已知，，，，垂足分别为点D，E．

(1)如图①，求证：(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中的结论不成立．结论：，理由见解析【分析】（1）证明，推出，，再利用线段间的代换即得结论；（2）证明，推出，，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴∵，∴，∴，在和中∴，∴，，∴，∴；

（2）（1）中的结论不成立．结论：；理由如下：∵，，∴∵，∴，∴在和中，∴，∴，，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）在中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】（1）①由已知推出，推出，根据角角边即可推出．②由①得到，即可求出答案．（2）与（1）类似证出，得到代入已知即可知道答案．【详解】（1）①证明：，，，，，，，在和中，，．②证明：由（1）知：，，，，．（2）证明：，，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．（3）DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【模型六旋转型模型】例题：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．【变式训练】1．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市湘郡培粹实验中学校考开学考试）【问题初探】和是两个都含有角的大小不同的直角三角板

（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．【答案】（1）见解析；（2），；（3）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论；（2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到；（3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可．【详解】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，∴，∴；（2），，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，，延长与交于点，

∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）过作交延长线于，过作交于，

∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，，∴，∵A到直线的距离为7，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．2．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】成立，见解析【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：成立．证明：将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，、、三点共线，，，，，，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．3．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,【初步探究】(1)如图1，直接写出线段和的关系：______．(2)如图2，当时，则______．【深入探究】(3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数．【拓展延伸】(4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)见解析，；(4)存在，【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理得，可证；（2）利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得；（3）类比上面思路，通过构建三角形全等推出，进而易得，（4）根据（3）的结论，推导出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．【详解】（1）由题意得，，，，，，，在中，，，，即，故答案为：.（2），，，又，,即，故答案为：.（3）如图，过点作，交于点，由（1）易知，，，，又，易得，，又，，即；（4）存在，，理由如下：由（3）可知，，，是等腰直角三角形，，．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出相应的辅助线以及确定全等三角形．【模型七倍长中线模型】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连结，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，其理由是什么？(2)的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，是的中线，交于点，且，试说明．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）根据，，推出和全等即可；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）在和中，，全等的理由是：；（2）由（1）知：，，，在中，，由三角形三边关系定理得：，；（3）证明：延长到，使，连接，是中线，，在和中，，，，，，，，即．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．【变式训练】1．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：