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目录

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〈一〉内容提要..................................................................1

第八章多元函数微分法及其应用.............................................1

第九章重积分..............................................................5

第十章曲线积分与曲面积分...............................错误！未定义书签。

第十一章无穷级数..........................................................7

第十二章微分方程.........................................................13

<-）强化训练.................................................................16

（I）04、05、06期末试卷..................................................16

2004—2005学年第二学期期末考试试卷....................................16

2005—2006学年第二学期期末考试试卷...................................20

2006—2007学年期末考试试卷............................................22

（II）自测训练.............................................................25

试卷..................................................................25

附参考答案：...........................................................28

试卷二..................................................................29

附参考答案：...........................................................32

试卷三..................................................................33

附参考答案：...........................................................36

2005-2006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷）................38

2006-2007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷）....................41

试卷四.................................................................44

参考答案及提示.........................................................48

试卷五.................................................................52

参考答案及提小：.......................................................56

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〈一〉内容提要

第八章多元函数微分法及其应用

一、基本概念

1.多元函数

(1)知道多元函数的定义

〃元函数：y=f(xi,x2,---,xn)

(2)会求二元函数的定义域

1°：分母不为0；

2°：真数大于0；

3。：开偶次方数不小于0；

4°：z=arcsin“或arccos“中I”IW1

(3)会对二元函数作几何解释

2.二重极限

limf(x,y)-A

Xf0

0

这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(%,y0)的.

(1)理解二重极限的定义

(2)一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；

(3)会证二元函数的极限不存在(主要用沿不同路径得不同结果的方法).

3.多元函数的连续性

(1)理解定义：limf(P)=f(P0).

PT%

(2)知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

(3)知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分

1.偏导数

(1)理解偏导数的定义(二元函数)

.=Hm/(Xo+Ar,%)-

-Ax

次=Hm/(龙0，%+山)一/心,%)

纣-»0Ay

(2)知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系.

(3)求偏导数法则、公式同一元函数.

2.高阶偏导数

(1)理解高阶偏导数的定义.

1

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(2)注意记号与求导顺序问题.

-\2~\2

(3)二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：三匚=三二.

oxdydydx

3.全微分

(1)知道全微分的定义

若Az=/(x0+Ar,y0+Ay)-/(x0,y0)可表示成A-Ax+5-Ay+o(p),则

Z=/。,〉)在点(玉)，打)处可微；称Ar+82)，为此函数在点(%,%)处的全微分，记

为dz=A•Ax+8•Ay.

(2)知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；

..法八法,dz,dz,,

(A=—,B=—；dz=—dx4----dy)

dxdydxdy

偏导数存在，不一定可微(加-废是否为。(「)).

偏导数连续，全微分必存在.

方向导数、梯度，只对快班要求.

三、多元复合函数与隐函数求导法则

1.多元复合函数的求导法则

.,,dzdzdudzdv

3xdudxdvdx

dz_dzdu+dzdv

dydudydvdy

(2)对于函数只有••个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数(全导数)的求导

法要熟练掌握.

(3)快班学生要掌握多元复合函数(主要是两个中间变量的二元函数)的二阶偏导数的求

法.

2.隐函数的求导公式

(1)一个方程的情形

若F(x,y)=0确定了y=y(x),则生=-"•；

dxFy

J?F3/F

若F(x,y,z)=0确定了z=z(x,y)，则广=——-，多=——L-

oxFzdyF.

(2)方程组的情形

2

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\F{x,y,z)=Oy=y(x)

若《能确定<,则由

G(x,y,z)=0[z=z(x)

工-o

Fx+Fy-

<

-o

Gx+Gy-+G-.

可解出空与包;

dxdx

F(x,y,u,v)。确定了"="(x,y),v=v(x,y),象上边—样，可以求出白，尊

若《

G(x,y,u,v)=0dxdx

加dv

及n犷

四、多元函数微分法的应用

1.几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线「：x=（p（t）,y=y/（t）,z=0”），时，「上相应点（玉pXpZ。）处

的切线方程：而t=箭=就

法平面方程：（p'Qo）（X-尤0）+“'（%）（y-Jo）+。'（，0）（z-Zo）=o

］设则点（、2。'"。）处的切线方程：-=沾=若

2°：曲线「：<

/

法平面方程：(x-x0)+^(x0)(y-y0)+^(-x0)(z-z())=0

F（x,y,z）=0

3°：曲线「：<Cz）=。’则点如—）处的切线方程为

x-x。Z-Zo

F,"EF.F,K

G、G.GGG.G

PzxPvP

人工工工FxFy

法平面方程:•(x-x0)+•(丁-汽)+•(z-Zo)=O

G.G、GG

PG：GPXVP

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面£：F（x,y,z）=0，点（Xo，yo，z（））处的切平面方程为:

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工（Xo'yo.ZoXx-XoHEXxo/o,ZoXy-yoH&OcpycpZoXz-ZoXO

法线方程：七包=口=三

2°

曲面Z：z=f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

Z-Za=fx(x0,yQ)<x-xa)+fy(x0,ya)-(y-y0)

法线方程为：==口==

fxfyT

2.极值应用

f

o

一

一

aI一z

(1)求一个多元函数的极值(如z=/(x,y))：先用必要条件a.lr求出全部驻点,

=O

a一z

Id)

再用充分条件求出驻点处的Zu，z,,与

AAyy-V・

AC-B2>0,A<0时有极大值，A>0时有极小值；

AC-B2<()时无极值.

(2)求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；

2°：有实际意义的最值问题.

(3)条件极值

求一个多元函数在一个或机个条件下的极值时，用拉格朗11乘数法.

如:”=/(x,y,z)在条件夕i(x,y,z)=0与82(x，y，z)=0下的极值时，取

F(x,y,z；4，几2)=/(x，>，z)+4.(x,y,z)+—阳羽y,z)

工=0

Fv=0

解方程组，工=0,求出x,y,z

(P\=0

夕2=°

则(x,%z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大(或极小)值点.

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第九章重积分

一、二重积分

1.定义：^f(x,y)da=\imACT,

D("Too)i=l

2.几何意义：当/(x,y)》O时;07(%>)4。表示以曲面2=/(羽〉)为顶，以。为底的

D

曲顶柱体体积.

物理意义：以/(x,y)为密度的平面薄片。的质量.

3.性质

1°：JjV(x,y)dcr=kJ，(x,y)d<7

DD

2°：JJ"(x,y)±g(x,y)]dcr=Jj7(x,y)dcr士JJg(x,y)dcr

DDD

3。：若。=。|+。2,则J，(x,y)dCT=J.(x,y)d(7+Jjy(x,)，M(T

DD

D12

4°：/(x,y)三1时，y)da=<JD

D

5°：若在。上夕(x,y)2”(九,y),则

]j8(x,y)dbeJJ"(x,y)d<7ny)da

DDDD

6°：若/(x,y)在闭区域。上连续，且％</(x,y)WM,则

mcrD^y)d(yWM.。口

D

V：(中值定理)若/(x,y)在闭区域。上连续，则必有点使

JJ/(x,y)dcr=/C，7；)S

D

4.二重积分的计算法

(1)在直角坐标系中

r：若积分区域。为x—型区域

a<x<h

D-.\

(p^x)<y<(p2{x}

则化为先y后x的二次月

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JJ7(x，y)dxdy=『：：/(x,y)dy

D

2°：若积分区域。为丫-型区域

c<y<d

0：《

y,(y)<x<^2(y)

则化为先龙后y的二次积分:

J0(x'y)dxdy=£小J：：：/(阳y)dx

D

(2)在极坐标系中

f\x,y')=f(rcosG,rsin3),d(y=rdrd0

1°：极点在。外：

Ja<3</3

则有

||/(x,y)J(T='/(rcosC,rsine>

D*8(。)

2°：极点在。的边界匕

D[a<e<p

：[0<r<(p{0}

则有

y)da-'/(rcos6,rsine)•心

极点在。的边界上

I)

3°：极点在。内：

(0W"24

D-.\

0<r<夕(。)

则有

y)J<7=£/(rcos^,rsinO^rdr

D极点在。内

在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；

若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有尤2+y2或两个积分变量之

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比2、2时，一般可选择极坐标系.

xy

2。：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出

的情况（二次积分换次序）.

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：。关于x轴（或y轴）对

称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性.

aWxWb

4°:若/（x,y）=力（x）J,（y），积分区域£>：《一一，则二重积分可化为两个定积

c<y<d

分的乘积。

第十一章无穷级数

一、常数项级数

1.基本概念

（1）定义：形如》>,,=%+%+…+…的无穷和式，其中每一项都是常数•

n=\

（2）部分和：S“=Z%

/=1

（3）常数项级数收敛（发散）=limS,,存在（不存在）.

“To®

（4）和S=limS,（存在时）.

”一>8

注：发散级数无和.

（5）余项：当limS〃=S时，称级数G=之〃为原级数第〃项后的余项.

”—>8

/=1

2.基本性质

（1）£版“与敛散性相同，且若£>,=s,则£如“=ks；

M=1n=ln=ln=l

（2）若Z〃“=S,工匕，=。,则Z（""+V"）=S+。

推论i：若“收敛，发散，则£（“.+匕,）必发散；

推论2：若Z””与2与都发散，则Z（w,+v“）不一定发散.

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（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级

数的和改变）.

（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；

（收敛级数去括号不一定收敛）

O0

（5）若级数£〃"收敛,则必有lim〃〃=0・

〃=1

（若lim〃〃w0,则必发散）

〃=1

3.几个重要的常数项级数

（1）等比级数外T=<匚7⑷,I

5n=l>〔发散Iq»1

81

（2）调和级数发散；

81

（3）p-级数£—（p>0）,P>1时收敛，0<pWl时发散）;

p

»=1n

81

（4）倒阶乘级数Zz收敛.

”=1〃！

4.常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设£>■与£>“均为正项级数

〃=2〃=1

1°：W>“收敛o{s”}有界;

?|=1

2°：比较法

若“收敛（发散），且“"》为，则»>“收敛（发散）.

”=1”=1

若lim"=/,0</<+oo,则£匕，与具有相同的敛散性.

推论1:

fV„“T„=I

推论2：若lim则£〃〃发散;

“T8

n=\

若(p>l),则>>“收敛.

〃一>8

〃=1

8

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3°：比值法

0<1时收敛

n=l

若lim殳吐=p,则有＜£?“发散

p>1时

n=]

象.待定

。=1时

W=1

4"：根值法

『＜1时

8

A

若lim/Z-P，则当<“1时

n—>ooY

n8=l

A

p=1时M

（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数（M,,＞0）满足:

〃=1

1°:吃声k

2°：limw=0

nTgw

则£（—1严〃“收敛，且其和SW%,

M=1

（3）任意项级数的审敛法

则£外发散;

1°：若lim〃〃W0，

〃一>8

〃=1

2°：若工1册1收敛，则、＞，，绝对收敛；

w=ln=\

r：若发散，£＞“收敛，则“条件收敛.

〃=1〃=1"=1

二、函数项级数

1.基本概念

（1）定义：形如之您⑴二的⑴+/⑴+…+乙⑴+…；

〃=1

（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域;

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(3)部分和：S„(X)=£M,(X)；

/=1

(4)和函数：在收敛域上S(x)=limS„(x)=(x).

n=l

2.基级数

(1)定义：之％(工一%)〃，当x()=0时有:；

n=0n=0

(2)性质

i°：若£>"x"在/处收敛，则当ixki/i时，绝对收敛(发散)；

〃=0〃=0

若£>“炉在X。处发散，则当lxl〉lx°l时，发散.

n=0n=0

2°：幕级数£a“(x-x。)"的收敛域，除端点外是关于/对称的区间

n=0

(%-R,%+R)，两端点是否属于收敛域要分别检验.

3°：在的收敛区间(一凡R)内，此级数的和函数S(x)连续.

n=0

(3)收敛区间的求法

1°：不缺项忖，先求p=lim也止，得收敛半径R=L；

anIP

再验证两端点，则收敛域=(x0-R,x0+/?)U收敛的端点.

2。：缺项时，先求!吧也®=|p(x)|,解不等式|p(x)|<l得x的所属区间

'I"UH(X)

X,<x<x2,再验证端点X1,x2,则收敛域=(X1,》2)U收敛的端点.

3.嘉级数的运算

(1)基级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算.

(2)零级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

£%x"=S(x),IxIcR,则有：

n=0

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=呢%x")=£"％x"T=S，(x),\x\<R；

\n=0)n=0n=0

I：[ia"x"dx=fj"x"dx==J；S(x)dx,\x\<R

\?:=0JH=0n=0〃+1

4.函数展开为寝级数

(1)充要条件：若函数/(x)在点与的某邻域内具有任意阶导数，则

(无)

gr(")n

/(x)=Z------^(x-x0)=limR"(x)=O.

fi=On!"T8

8

(2)唯一性：若/(x)在某区间内能展开成幕级数/(x)=£%(x—%)"，则其系数

n=0

a„-,(H=0,1,2,

n\

(3)展开法：

1°：直接法(见教材P218)

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

优=£9(—8,+8)

77=0〃・

2H+1一〃一1

sin%=y(-i)n———或y(-1)"-1------'(-8,+8)

占(2/7+1)!(2n-l)!

cosx=----,(-8,+OO)

M(2〃)！

1

\^x=3

ZJ=O

x,,+1

ln(l+x)=Z(-ir

“=o5+1)

(1+x)"'=1+£m(m-1)(7??-2)•••(m-n4-1)〃z.1X

------------------:----------------1，(-L1)

n=\n\

5.傅立叶级数

(此内容只适用于快班)

(1)定义：如果三角级数&+cosnx+0“sin/u)中的系数a“，么是由尤拉

2〃=]

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傅立叶公式给出，即

11

Q〃=­f(x)cosnxdx,〃=0,1,2,…；

7TJ一乃

1产.

b=一f(x)sinnxdx,n=1,2,•••

n7lJr

则称这样的三角级数为/(x)的傅立叶级数.

(2)收敛定理

设/(x)是周期为2%的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个

第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则/(x)的傅立叶级数

/(x)X为连续点

ao+，(a“cos«%+/?„sinnx)收敛于，/(x-0)+/(x+0)

~2

n=l=~=.X为间断点

(3)函数/(x)展开为俾立叶级数的方法:

1°:求/(X)的傅立叶系数;

2。：将1。中的系数代入三角级数式；

3°：写出上式成立的区间.

(4)正弦级数与余弦级数

称£/>"Sin”x(。“=0)为正弦级数；称久■+£a“cosnx(/>„=0)为余

n=i2,i=i

弦级数.

若在［-4,利上，/(x)为奇函数，贝ij有%=0,其正弦级数为E2sinnx,

〃=1

2r兀.

bn=—\f(x)sinnxdx,(〃=1,2,・・・)；

71

若在［—肛〃］上，/(X)为偶函数，则有2=0,其余弦级数为

8

2「乃

&+COSHX,a=—/(x)cosnxdr,(〃=0,1,2,・•・)；

2〃=1兀‘°

若/(x)是定义在［0,4］上的函数，要求其正弦(余弦)级数，可先对/(x)进

行奇(偶)延拓;

/(x)xe[o,7r]

奇延拓：F(x)=<

一f(-x)xe[一),0]

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f(x)Xe[0,7T]

偶延拓：/(x)=《二

1/(-X)xe[一开,0)

对于周期为2/的函数的展开情况与上边类似(略).

第十二章微分方程

一、基本概念

1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

2.微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶.

3.微分方程的解：

满足微分方程的函数叫微分方程解；

若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样

的解叫微分方程的通解；

确定了通解中任意常数以后所得的解叫微分方程的特解.

4.初始条件：用来确定通解中任意常数的条件叫初始条件.

二、一阶微分方程的解法

•阶微分方程的形式通常记为：

F(x,y,y')=0或y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

常见一阶微分方程有：

1.可分离变量微分方程

能化成g(y)dy=f(x)dx的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程.通常有

半=g(y),/(X)或M(X),N|(y)dx+(%)-N2(y)dy=0,

ax

分离变量，两边积分可得通解.

2.齐次微分方程

一阶方程◎=/(x,y)中的f(x,y)可表示成上的函数，即/(x,y)=/2］，

dxxyxJ

则称此方程为齐次方程.

解法：令〃=2,则包=〃+x包代入原方程便得可分离变量微分方程.

xdxdx

3.一阶线性微分方程

形如包+P(x)-y=Q(x)或虫+尸(y)•x=Q(y)的方程叫一阶线性非齐次微分

dxdy

方程。Q=0时，为一阶线性齐次微分方程.

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生+P(x>y=0的通解为y=ceJPCMJ

dx

用常量变易法得虫+P。)•y=Q(x)的通解为：

dx

y=e-W[jQ(x)eW"x+J

4.贝努利方程

形如生+尸(x>)，=Q(x>y""。0,1)的方程叫贝努利方程.

dx

解法：两边同除以y",令y「"=z,便得一阶线性非齐次微分方程.

5.全微分方程(普通班不要求)

若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0满足望=学，即Pdx+Qdy为某二元函数

ayox

〃(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程.

其通解为：“(x,y)=fP(x,yn)dx+fQ(x,y)dy=C1或

J'oJ.'b

”(x,y)=['Q(x0,y)dx+「P(x,y)dy=C.

%

三、可降阶的高阶微分方程

1.严=/(x)型

接连〃次积分，可得此方程的含有〃个相互独立的任意常数的通解.

2.y"=/(x,y')型

令y'=p,则>，'=生，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程的

dx

通解.

3.y"=/(%/)型

令y'=P,则>"=四=也.也=〃包，代入原方程，得到一阶微分方程

dxdydxdy

p也=f(y,p).解此一阶微分方程，得到)/=p=8()，，G)，然后分离变量并积分

dy

便可得此方程的通解.

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四、线性微分方程解的结构

y〃+p(x)y，+Q(x)y=0........................................(1)

yr+p(x')y+Q(x)y=/(x)................................(2)

称（1）为二阶线性齐次微分方程，称（2）为二阶线性非齐次微分方程.

1°:若必，乃是（1）的两个解，则线性组合£3+。2为也是（1）的解.

2°：若弘，力是（1）的两个线性无关的解，则＞=。|/+。2%就是（1）的通解.

3°：若口，为是（2）的两个解，则），=乃-%就是（1）的一个解.

4°：若歹是（1）的通解，y*是（2）的一个特解，则y=》+y*就是（2）的通解.

5°：若⑵中的/（x）=/|（x）+/2（x），且城是），"+p（x）y'+q（x）y=/（x）的特解，为*

是y"+p（x））；'+q（x）y=/2（x）的特解，则y*=y；+乃*就是（2）的特解.

五、二阶线性常系数微分方程

1.齐次：y*+py+qy=0..........................................（1）

其特征方程为：/+pr+q=。..................（2）

rxv

1°：若八,々为（2）的不等二实根，则（1）的通解为：y=C,e'+C2e.

2°：若八，弓为（2）的相等二实根，则（1）的通解为：y=（C,+C2xX'\

3°：若八2=a土优为（2）的一对共桅复根，则（1）的通解为：

y=e⑪（Gcos/3x+c2sin0x）.

〃阶(">2)的略.

2.非齐次

yff+pyf+qy=f(x)................⑴

相应齐次方程为：yv+py，+qy=0..............(2)

方程（1）的通解y=（2）的通解（1）•个特解）J.

了已解决，这里关键是求y*：

1°：若fM=e^PmM,其中£,（x）为x的，”次多项式，此时令

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y*=x«e2'Q,,(x),这里Q,“(x)为系数待定的〃?次多项式.

’0当4不是特征方程的根时

k=<1当；I是特征方程的单根时

2当4是特征方程的重根时

2。：/(x)=［p,(x)cos/3x+Pn(x)sin/3x\(其中虫尤)、匕(x)分别为/、〃次

多项式)

kz

此时令y*=xe'［Qm(x)cos(3x+Rm(x)sin(3x\,此处=max{/,〃}；2.(x)、

0当4士〃?不是特征根时

R,“(x)是两个小次系数待定的多项式，k=

1当力士是特征根时

〈二〉强化训练

(I)04、05、06期末试卷

2004—2005学年第二学期期末考试试卷

-、单选题(每小题4分，共16分)

1.下面结论错误的是().

(A)若/(x)在(a,b)内连续，则［/(x)dx必存在

(B)若“X)在口，刃上可积，则/(x)在［a,。］上必有界

(C)若“X)在口，切上可积，则|/(x)|在［a,句上必可积

(D)若“X)在口,切上单调有界，则/(X)在［a,M上必可积

2.若矢量)=g(2i+2J-Z),则之的方向余弦cosa,cos/,cos7分别是()

2

3

3.平行于z轴的平面是()

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高等数学下册总复习资料

(A)2x-3y+10=0(B)3x-2z=0(C)4y+z=0(D)x+y+z+l=0

4.设O={(x,y)l/+y2Wa2M>0,y>o},在极坐标中，二重积分0(/+〉2)八冲可

D

表示为()

(A)Vdd[r3dr(B)[Td0[r-dr

JoJoJoJo

⑴)刖"公

(C)

22

二、填空题(每小题4分，共16分)

1.fx4sinxdx=

Jr

2.设方=3i—女，b=2i—3j+2k,^\dxh=

3.设z=xy+/,则生+生=

dxdy

4.设区域Q={(x,y)IOWx《l,O《yW2},则=

D

三、计算题(每题6分，共48分)

1.计算。右右.

2.求球心在点(2,-2,1)并与zOx平面相切的球面方程.

3.计算^xdxdydz，其中Q为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.

Q

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4.计算］「）方。，其中。是由直线x=2,、=1及丁二%所围成的闭区域.

D

。12%

5,应用格林公式计算曲线积分：«2孙一炉）公+（x+y2妙，其中L是由抛物线y=/和

L

y2=x所围成的区域的正向边界曲线.

6.求微分方程/'一2了+5〉=0的通解.

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高等数学下册总复习资料

7.将函数一^展开成龙的事级数.

1+x2

8.求幕级数之生」匚的收敛域.

台r-n

四、综合题（共14分）

…一，f^=rcos^-

1.设有关系式|y_rsing，将积c分/（rcose/sin8）4厂化为直角坐标系下的

二次积分。（6分）

2.设/3）=/+1-力+£》■⑴力，其中/（幻为连续函数，求/（X）。（8分）

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五、证明题（6分）

J；dyJo"e'ET）〃x）dx=J；（"x）e'"g）""）dx

2005—2006学年第二学期期末考试试卷

一、选择题（每题4分，共20分）

1.z=-~5—的定义域（）.

ln（x+y）

A.x+yW（）B.x+y>0C.x+yWlD.x+y>0且x+yWl

2.z=/（x,y）在（％,%））处可微的充分条件是（）.

A.一（%,%），/；（%,比）都存在

B.f"（x0,y0）,力'（%,打）在（与，先）的某个邻域内都连续

C./（x,y）在（与，打）连续

D.*0，%），4—0，打）相等

3.当（）时，£4（。为常数）收敛.

n=lq

A.q<\B.\q\<\C.q>—{D.Il>1

4.当积分区域。是由