汕头市2021-2022学年度下学期期末测试数学试卷（含解析）

试卷类型：A汕头市2021-2022学年度下学期期末测试高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，监考员将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：因为，，所以故选：D2.已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A. B.1 C.2 D.2i【答案】B【解析】【分析】化简复数即得解.【详解】解：由题得，所以复数的虚部为.故选：B3.是直线和平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行求出参数，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线和平行，所以，解得或，当时，两直线分别为，两直线平行，当时，两直线分别为，两直线平行，所以或，所以是直线和平行的充分不必要条件.故选：A.4.已知向量、、满足，且，则、夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出，由此可求出、的夹角.【详解】等式两边平方得，即，又，所以，，因此，、夹角为，故选：C.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6.把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，则A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点对称 D.关于点对称【答案】B【解析】【详解】由题意可得，曲线的解析式为：，当时，，故不是的对称轴；当时，，故是的对称轴，不是的对称中心；当时，，故不是的对称中心；本题选择B选项.7.已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令，即可得到、坐标，再根据面积公式求出，最后由离心率公式计算可得；【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D8.根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（）A.86 B.100 C.114 D.136【答案】C【解析】【分析】先将5个施工队按照3，1，1和2，2，1两种模式分成3组，注意排除甲、乙两个施工队放在一个组的种数，然后再将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，即可得出答案.【详解】解：若将5个施工队分成3组，则有如下两种情况，第一种，按照3，1，1模式分组，则有种分组方法，第二种，按照2，2，1模式分组，则有种分组方法，所以将将5个施工队分成3组，共有种分组方法，其中，如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组，则有种分组方法，如果甲、乙施工队单独构成一个组，则有种分组方法，所以将甲、乙两个施工队放在一个组，共有种分组方法，所以将5个施工队分成3组，甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有种，现将分好组施工队派往3个不同的易涝路口，则有种安排方法，所以符合题意的安排方法共有种.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（）A.相关变量x，y具有正相关关系B.去除两个歧义点后的回归直线方程为C.去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为D.去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小【答案】ABC【解析】【分析】回归直线方程的斜率大小可以判断A和D；残差为真实值与估计值之差，进而判断C；根据题意算出新的相关变量的平均值，进一步求出，进而判断B.【详解】对A，因为回归直线斜率大于0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；对B，将代入得，则去掉两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为，，此时的回归直线方程为，故B正确；对C，x=4时，，残差为8.9-9=-0.1，故C正确；对D，斜率3>1，此时随x值增加相关变量y值增加速度变大，D错误.故选：ABC.10.若，，，，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由对数函数的单调性可得出，从而，则关系可判断；由，则关系可判断；取特殊数字可得的大小不定.【详解】由，则，即，，即，则，所以,故选项A正确.，所以,故选项C正确.取满足，，，此时，取满足，，，此时，所以的大小不定.故选：AC11.设有一组圆，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.存在圆经过点（3，0）C.存在定直线始终与圆相切D.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，考查圆心的横纵坐标关系即可判断；对于B，把，代入圆方程，由关于的方程根的情况作出判断；对于C，判断圆心到直线距离与半径的关系即可；对于D，圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径为2，依次分析选项：对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确；对于B，圆，将代入圆的方程可得，化简得，，方程无解，所以不存在圆经过点，B错误；对于C，存在直线，即或，圆心到直线或的距离，这两条直线始终与圆相切，C正确，对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，圆心距为，则有，解可得：或，D正确．故选：ACD．12.已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（）A.数列是等比数列B.数列所有项之和为729C.数列是等差数列D.数列的最大项为20【答案】BD【解析】【分析】先由二项式系数之和，求出；再由二项展开式的通项公式，得出与，写出对应的数列中的项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，所以，则；即；又展开式中的第项为，因此展开式中的第项的系数为，二项式系数为；对于数列有，，，，，，；所以该数列既不是等差数列也不是等比数列，故A错；，故B正确；对于数列有，，，，，，；所以该数列既不是等差数列也不是等比数列，故C错；且该数列的最大项为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用二项展开式的通项公式，写出展开式的通项，得出与，进而即可求解.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【详解】曲线在点处的斜率为：根据点斜式写出直线方程为：.故答案为.14.已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为4，则圆锥的体积__________【答案】【解析】【分析】设圆锥的高为，母线为，依题意可得，再由勾股定理求出，最后由圆锥的体积公式计算可得；【详解】解：设圆锥的高为，母线为，底面半径，依题意，即，所以，所以圆锥体积；故答案为：15.已知为第三象限角，，则_____．【答案】【解析】【分析】根据为第三象限角，，平方得到，进而求解，再由即得解.【详解】解：为第三象限角，，，，，，且，，，，则【点睛】本题考查了三角函数的二倍角公式，互相转化运算综合，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.16.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由两个同底且棱长都为1的正三棱锥构成的几何体求解.【详解】解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形为底的两个正三棱锥组成，O为的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM，作，则ON为内切球的半径，因为，所以，所以内切球的半径为，内切球的体积为，故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.四边形的内角与互补，，，．（1）求角和长度；（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，化简求得，由此求得，同时求得.（2）结合三角形的面积公式求得四边形的面积.【详解】（1）由于互补，所以，由余弦定理得，，，所以，由于，所以.（2），.18.为惠普市民，鼓励市民消费，进一步优化消费供给，加快打造区域消费中心城市，我市开展“2022汕头欢乐购”系列消费券发放活动，第一期活动在4月30日启动，持续至6月2日，全市市民可通过银联云闪付APP或“汕头商务”公众号“促消费”菜单进入“2022汕头欢乐购”活动主题界面领取消费券.从平台发布统计数据中随机选出200人，经统计这200人中通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领取“欢乐购”消费券的有160人．将这160人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求a的值并估计这160人的平均年龄（每组数据以区间中点值作为代表）；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过“银联闪付APP”成功领取“欢乐购”消费券的中老年人有26人，完成下列列联表并根据小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关？通过银联闪付APP成功领券通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领券合计青少年中老年合计附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），平均年龄：；（2）表格见解析，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据小长方形的面积之和等于可以求出，再根据题目要求算出平均数；（2）先填好列联表，根据定义算出，最后根据表格数据确定独立性检验的结论.【小问1详解】依题意，，解得，平均年龄为：.【小问2详解】通过银联闪付APP成功领券通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领券合计青少年1496110中老年266490合计40160200根据定义，，由表格可读出，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关..19.已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．（1）求的值；（2）记为数列的前n项和，求．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可得，则可得，再由可求出，从而可求出的值，（2）先求出，然后可判断出数列是等差数列，再利用等差数列的求和公式求解即可【小问1详解】因为和恰是方程的两个根，所以，所以，所以，所以构成以为首项，为公差的等差数列，所以，所以【小问2详解】因为，，所以，因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以20.如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明，从而可证平面，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示空间直角坐标系，用向量法求二面角．【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，又，所以，，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，．所以二面角的余弦值为．21.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）方程为，准线为；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为，即可求出，得出抛物线方程和准线；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，表示出中点，由题可得，由建立关系可求.【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为，抛物线与椭圆右焦点重合，，即，故抛物线C的方程为，准线为；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，则，可得，设，，设中点为，则，，为以P为顶点的等腰三角形，则，则，整理可得，，则，解得或，故直线的斜率的取值范围为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数（）．（1）若a=1，讨论的单调性；（2）若函数存在两个极小值点，，求实数a的取值范围；（3）当时，设，求证：．【答案】（1）单调递减；单调递增（2）