特选甘肃省兰州市2023年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

甘肃省兰州市2023年高考数学

一模试卷（解析版）（理科）

2023年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（此题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项

中，只有一项为哪一项符合题目要求的）

1.集合M={x|（x-3）（x+1）20},N={x|-2Wx<2},那么MAN=（）

A.[-2,-1]B.[-1,2]C.[-1,1]D.[1,2]

2.复数z满足（3-4i）z=25,那么z=（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.等差数列{aj的前n项和为Sn,假设a3+a5+a,=24,那么S§=（）

A.36B.72C.C144D.288

4.某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有

如下对应数据：

X24568

y304050m70

根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为

y=6.5x+17.5,那么表中m的值为（）

A.45B.50C.55D.60

5.以下命题中，真命题为（）

A.3x（）£R,e"oWO

B.Vx£R,2x>x2

C.a,b为实数，那么a+b=O的充要条件是各-1

b

D.a,b为实数，那么a>Lb>l是ab>l的充分不必要条件.

6.某几何体三视图如下列图，那么该几何体的外表积为（）

A.(9+遍)HB.(9+2&)nC.(10+加)冗D.(10+275)兀

x+y》3

7.设变量x,y满足不等式组,那么x?+y2的最小值是()

2x-y<3

A.平B.1C.V5D.5

8.如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的"更

相减损术执行该程序框图，假设输入a,b,i的值分别为6,8,0时，那

么输出的i=()

9.圆C：(x-V3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),

假设圆C上存在点P,使得NAPB=90°,那么当t取得最大值时，点P的坐标是

()

A.平)B.(平,4)C.平)D.(平,

TT

10.函数f(x)=sin(3x+<t>)(xGR,w>0,|<i>|<—)的局部图象如下

列图，如果X|+X2=等，那么f(xj+f(x2)=()

0

22

11.A、F2为双曲线C：号-。1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P为双曲

b2

线C右支上一点，直线PK与圆x?+y2=a2相切，且iPFzgFFzl，那么双曲线C的

离心率为()

A.逗B.4C.4D.2

333

12.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对VxGR有f(x)+f(-x)

=x2,在(0,+8)_hf/(x)-x<0,假设f(4-m)-f(m)28-4m,那么

实数m的取值范围是()

A.[2,+8)B.(-8,2]C.(-8,2]U[2,+8)D.[-2,2]

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共40分)

13.cos2165°-sin215°=.

14.8Ilf的展开式中，XZ项的系数为—.(用数字作答)

X

15.在三棱锥P-ABC中，Vp一间=生叵，NAPC=NBPC==,PA±AC,PB±BC,

343

且平面PACJ_平面PBC,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为一.

2an

16.数列｛aj中，ai=l,Sn为数列｛4｝的前n项和，且当nN2时，有------1

a/n-Sn

成立，那么$2023=•

三、解答题

17.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+bcosA=0.

(1)求角A的大小；

(2)假设a=2泥，b=2,求△ABC的面积.

18.(12分)随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，〃延迟

退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，

某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行

整理后制成下表：

年龄[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

人数45853

年龄[45,50)[50,55)[55,60)[60,65)[65,70)

人数67354

经调查年龄在［25,30),［55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，

现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.

(I)求年龄在［25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；

(II)假设选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X,求随机变量X的分

布列和数学期望.

19.(12分)在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,岫=3,点D为BC的中点；

(I)求证：AiB〃平面AC。；

(II)假设点E为A£上的点，且满足下=m近(mCR),假设二面角E-AD-C

22rr

20.(12分)椭圆C：t+/1(a>b>0)经过点(后1),且离心率为华.

(I)求椭圆C的方程;

(II)设M、N是椭圆C上的点，直线0M与ON(0为坐标原点)的斜率之积为

-,，假设动点P满足正赢+2布，试探究，是否存在两个定点F”F2,使得

iPFj+lPFzl为定值？假设存在，求件，Fz的坐标，假设不存在，请说明理由.

21.(12分)函数f(x)上耳lnx在［1,+8)上是增函数，且a>0.

ax

(I)求a的取值范围；

(II)假设b>0,试说明士Vin平〈导.

a+bbb

［选修4-4：极坐标与参数方程］

(3

x=-^t+2

22.(10分)在平面直角坐标系中，直线1的参数方程为J(t为参数)，

4

MT

以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

p=asin9(aWO).

(I)求圆C的直角坐标系方程与直线1的普通方程；

(II)设直线1截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.函数f(x)=3IX+1I+IX-3|F的定义域为R.

(I)求m的取值范围；

(II)假设m的最大值为n,解关于x的不等式：|x-3|-2x〈2n-4.

2023年甘肃省兰州市高考数学一模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(此题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项

中，只有一项为哪一项符合题目要求的)

1.集合M={x|(x-3)(x+1)20},N={x|-2WxW2},那么MHN=()

A.[-2,-1]B.[-1,2]C.[-b1]D.[1,2]

【考点】交集及其运算.

【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M,找出两解集的公共局部即

可确定出两集合的交集

【解答】解：由(x-3)(x+1)N0,

解得：xW-1或x23,

.♦.M={x|xW-1或x23},

VN={x|-2&xW2},

那么MPN={x|-2WxW-l}=[-2,-1]

应选A

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键.

2.复数z满足(3-4i)z=25,那么z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【考点】复数相等的充要条件.

【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的新运算性质，

计算求得结果.

【解答】解：•.•满足(3-4i)z=25,那么―3+赛,

(3-41)[3+41)25

应选：D.

【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的塞运算性质,

属于根底题.

3.等差数列｛a„｝的前n项和为Sn，假设a3+a$+a7=24,那么Sg=（）

A.36B.72C.C144D.288

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】根据瓜｝是等差数列，a3+a5+a7=24,可得3a5=24,即a5=8.

xk争X9可得答案.

【解答】解：由题意，｛4｝是等差数列，a3+a5+a7=24,可得3as=24,即a$=8.

*.a[+aq一

•Sg-......x9，ffOa5+a5=ai+a”

2

/.S9——x9=72,

应选：B.

【点评】此题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是根

底题.

4.某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有

如下对应数据：

X24568

y304050m70

根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为

‘；=6.5x+17.5,那么表中m的值为（）

A.45B.50C.55D.60

【考点】线性回归方程.

【分析】由表中数据计算3根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值.

【解答】解：由表中数据，计算在义（2+4+5+6+8）=5,

5

[30+40+50+m+70）=38+^,

55

•••回归直线方程；：=6.5x+17.5过样本中心，

.•.38+磬6.5X5+17.5,

5

解得m=60.

应选：D.

【点评】此题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是根底题.

5.以下命题中，真命题为()

A.3x°GR,exo^O

B.VxGR,2x>x2

C.a,b为实数，那么a+b=O的充要条件是各-1

b

D.a,b为实数，那么a>l,b>l是ab>l的充分不必要条件.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】对于A,B,C举例即可说明，对于D根据充分条件和必要条件的定义

进行判断即可.

【解答】解：对于A：因为e,〉。恒成立，故A不正确，

对于B：当x=2时，不成立，故B不正确，

对于C：a=b=O时，那么a+b=O,故C不正确，

对于D：由a>Lb>l=>ab>L当a=-2,b=-2时，满足ab>L但不满足a

>1,b>l,故a>Lb>l是ab>l的充分不必要条件，故D正确，

应选：D

【点评】此题主要考查充分条件和必要条件和命题的真假的判断，根据不等式

的关系是解决此题的关键.

6.某几何体三视图如下列图，那么该几何体的外表积为()

A.[9+75)nB.[9+275)nC.[10+75)口D.[10+275)口

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求外表积.

【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥,

圆柱的底面直径为2,高为2,

圆锥的底面直径为2,高为2,

所以几何体的外表积为nXV+JTX2X4+£x兀X2X而率已(9+75)”；

应选A.

【点评】此题考查了由几何体的三视图求对应几何体的外表积；关键是正确复

原几何体.

'x+y>3

7.设变量x,y满足不等式组那么x?+y2的最小值是()

2x-y43

A.乎B.1C.V5D.5

【考点】简单线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域，再由x?+y2的几何意义，即可行域内的动点与

坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解.

'x+y)3

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

2x"y43

y

X

2x->=3

x?+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，

那么其最小值为(詈)23.

应选：B.

【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转

化思想方法，是中档题.

8.如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的"更

相减损术”.执行该程序框图，假设输入a,b,i的值分别为6,8,0时，那

么输出的i=()

【考点】程序框图.

【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a,b,i的

值，即可得到结论.

【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6,b=8,i=0,

i=l,不满足a>b,不满足a=b,b=8-6=2,i=2

满足a>b,a=6-2=4,i=3

满足a>b,a=4-2=2,i=4

不满足a>b,满足a=b,输出a的值为2,i的值为4.

应选：B.

【点评】此题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋

值语句的运用，属于根底题.

9.圆C：(x-V3)2+(y-1)F和两点A(-30),B(t,0)(t>0),

假设圆C上存在点P,使得NAPB=90°,那么当t取得最大值时，点P的坐标是

()

A.既,挈)B.(平,C.岁)D.(挈,

♦乙乙ja乙乙j

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】根据圆心C到0(0,0)的距离为2,可得圆C上的点到点0的距离的

最大值为3.再由NAPB=90°,可得PO=%B=t,可得tW3,从而得到答案.

【解答】解：圆C：(x-V3)2+(y-l)'I，其圆心C(遮，1),半径为1,

•・•圆心C到。(0,0)的距离为到

.•.圆C上的点到点0的距离的最大值为3.

再由NAPB=90°,以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=；AB=t,故有t《3,

；.A(-3,0),B(3,0).

•.•圆心C(遂，1),直线OP的斜率k=零,

...直线OP的方程为y=^x

O

『-X

联立:解得:

GN5)?+(yT)&

应选D.

【点评】此题主要考查直线和圆的位置关系的灵活运用，根据两点A(-t,0),

B(t,0)与圆的最大值距离求出t是解决此题的关键.

TT

10.函数f(x)=sin(3X+6)(XGR,3>0,|4>|<—)的局部图象如下

列图，如果Xi+X2=等，那么f(xj+f(x2)=()

J

【考点】正弦函数的图象.

【分析】根据图象求解f(x)=sin(3x+4))的解析式，不难发现图象关于(；,

0)中心对称，可得那么f(xj+f(x2)的值.

【解答】解：根据图象可知A=L,T=(；_(」=))=；

；.T=n,那么3=筌*=2，

可得f(x)=sin(2x+4>)

•.•图象过(2,0)

6

故得f(x)=sin(2x+^-).

TT

由对称中心横坐标：2x+^=kir,(kGZ)

o

可得xJkJT—,(kGZ)

Zb

图象关于(《，o)中心对称，X1+X2W，即红

J323

那么f(Xi)+f(x2)=0.

应选c.

【点评】此题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式.考查了函数的对称

性问题.属于中档题.

22

11.%、F?为双曲线C：三(a>0,b>0)的左、右焦点，点P为双曲

线C右支上一点，直线PR与圆x?+y2=a2相切，且伊艮|=忸岛|,那么双曲线C的

离心率为()

A.叵B.4C.4D.2

333

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】设直线PE与圆x?+y2=a2相切于点M,取PR的中点N,连接NF”由切线

的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF』=4b,

再由双曲线的定义和a,b,c的关系及离心率公式，计算即可得到.一，运用

中位线定理和勾股定理，可得|PF』=4b,再由双曲线的定义和a,b,c的关系及

离心率公式，计算即可得到.

【解答】解：设直线PK与圆x?+y2=a2相切于点M,

那么|OM|=a,OM_LPR,

取PR的中点N,连接NF?，

由于|PF2|=|FFzl=2c,那么NF2_LPFI,|NP|=|NFj,

S|NF2|=2|0M|=2a,

那么INPI=V4c2-4a2=2b=2b,

即有|PF』=4b,

由双曲线的定义可得|PF』-|PFz|=2a,

即4b-2c=2a,即2b=c+a,

4b2=(c+a)2,即4(c2-a2)=(c+a)2,

4(c-a)=c+a,即3c=5a,

那么e=j£.

a3

应选：C.

【点评】此题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理

和双曲线的定义是解题的关键.

12.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对VxGR有f(x)+f(-x)

=x2,在(0,+8)上#(x)-x<0,假设f(4-m)-f(m)28-4m,那么

实数m的取值范围是()

A.[2,+8)B.(-8,2]C.(-8,2]U[2,+0°)D.[-2,2]

【考点】利用导数研究函数的单调性.

2

【分析】由题意设g(x)=f(x)-1x,由条件和奇函数的定义判断出g(x)

是R上的奇函数，求出g'(x)后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关

系判断出在(0,+8)上的单调性，由奇函数的性质判断出在R上的单调性，

由g(x)的解析式化简的不等式，利用g(x)的单调性列出不等式，求出实数

m的取值范围.

【解答】解：由题意设g(x)=f⑴-打,

2

•.,对VxCR有f(x)+f(-x)=x2,

.*.g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,

那么函数g(x)是R上的奇函数，

•.,在(0,+8)上f'(x)-x<0,

...g'(x)=f'(x)-x<0,那么函数g(x)在(0,+°°)上递减，

由奇函数的性质知：函数g(X)在(-8,+8)上递减，

Vf(4-m)-f(m)=[g(4-m)+y(4-m)2]~Eg(m)+-^-n)2]

=g(4-m)-g(m)+8-4mN8-4m,

.*.g（4-m）Ng（m）,那么4-mWm,解得m22,

即实数m的取值范围是［2,+8）,

应选A.

【点评】此题考查导数与单调性的关系，奇函数的定义以及性质，以及函数单

调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力.

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共40分）

13.cos2165°-sin215°=渔.

-2-

【考点】二倍角的余弦.

【分析】应用诱导公式、二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果.

【解答】解：cos2165°-sin215°=cos215°-sin215°=cos30°=返，

2

故答案为：臣.

【点评】此题主要考查应用诱导公式、二倍角的余弦公式进行化简求值，属于

根底题.

14.史立1的展开式中，X?项的系数为-20.（用数字作答）

X

【考点】二项式定理的应用.

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令X的塞指数等于2,求得r的值，

即可求得展开式中的犬项的系数.

【解答】解：在区卫2的展开式中，它的通项公式为〃产第"5一「・（-1）「，

X

令5-r=2,求得r=3,可得xz项的系数为-煌=-20,

故答案为：-20.

【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于根

底题.

15.在三棱锥P-ABC中，Vp一成=3巨，NAPC=2，NBPC=3,PA±AC,PB±BC,

343

且平面PAC_L平面PBC,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为笺^.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】利用等体积转换，求出PC,PA_LAC,PB_LBC,可得PC的中点为球心，

球的半径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的体积.

【解答】解：由题意，设PC=2x,VPA±AC,NAPC=一，

...△APC为等腰直角三角形，，PC边上的高为x,

•.•平面PACJ_平面PBC,：.A到平面PBC的距离为x,

TT

VZBPC=—,PA±AC,PB±BC,

APB=x,BC=V3X,

SAPBC=_^-X•A/SX=-^-X2'

==

•••VP-ABCVA-PBC=。x2.x~^~，解得X=2,

J/J

VPA±AC,PB±BC,

.♦.PC的中点为球心，球的半径为2,

三棱锥P-ABC外接球的体积为言兀X23=^-.

33

故答案为：等.

【点评】此题考查三棱锥P-ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确

定球心与球的半径是关键.

2an

16.数列｛4｝中，4=1,S"为数歹!]｛3｝的前n项和，且当n，2时，有--------1

a/n-S2n

成立，那么一*=77〉.

1uuy

【考点】数列的求和.

2an

【分析】当nN2时，有-------成立，可得2(Sn-Sn.J=⑸-S…)S

a/n-S2nn

-S：,化为：9-廿一=4，利用等差数列的通项公式即可得出.

°n°n-lZ

2an

【解答】解：•••当n22时，有------厂=1成立，，2S-S-）=（S-S…）

anSn-Sn

数列｛9｝是等差数列，公差为首项为1.

.,.^-14（n-l）整，解得Sn=3.

°n//n+1

•a_21

**202320181009,

故答案为：焉.

【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

三、解答题

17.（12分）（2023•兰州一模）在△出（：中，角A,B,C的对边分别为a,b,

c,且asinB+bcosA=0.

（1）求角A的大小；

（2）假设a=2泥，b=2,求AABC的面积.

【考点】余弦定理的应用；正弦定理.

【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可.

（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积.

【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0,…（2分）

即sinB（sinA+cosA）=0,又角B为三角形内角，sinBWO,

所以sinA+cosA=0,即&sin（A+丁）=0，…

又因为AC（0,n）,所以人二步.…

（2）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc»cosA那么20=4+c?-4c•（二^）…

（8分）

即C2+2&C-16=0，解得c=-4&（舍）或c=2亚，…（10分）

又S^bcsinA,所以s[x2X2&X乎•=2（12分）

【点评】此题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力.

18.（12分）（2023•兰州一模）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在

不断减少，"延迟退休"己经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延

迟退休〃的态度某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,

将调查情况进行整理后制成下表：

年龄[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

人数45853

年龄[45,50)[50,55)[55,60)[60,65)[65,70)

人数67354

经调查年龄在［25,30）,［55,60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人,

现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.

（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;

（II）假设选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X,求随机变量X的分

布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.

【分析】（I）设“年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退

（2

休””为事件A,那么P（A）=-1.

r2

（IDX的可能取值为0,1,2,3.利用相互独立与互斥事件的概率计算公式

即可得出.

【解答】解：（I）设“年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延

迟退休""为事件A,

［2

那么「⑷=/条

15

任「2

小

(IDX的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=­2_1

5b3

[:追

P(X=l)=•，2?尸:21年,p(x=2)13

[[530

b5b3渭

[2[1[1

P(X=3)=-?2X的分布列如下:

「2「215

b5b3

X0123

P12131

元而15

AE(X)=0+1*3+2义竺+3*上翠

5301515

【点评】此题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列

与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.（12分）（2023•兰州一模）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,AA产3,点D

为BC的中点；

（I）求证：AJB〃平面ACJD；

（II）假设点E为A£上的点，且满足不=m菽（m£R）,假设二面角E-AD-C

的余弦值为噜，求实数m的值.

n

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.

【分析】（I）连结ACnACi于F,那么F为AQ的中点，连结DF,那么A出〃

DF,由此能证明AJB〃平面AQD.

（II）过E作EMJ_AC于M,那么EM_L平面ABC,过M作MN_LAD,垂足为N,连

结EN,那么NENM为二面角E-AD-C的一个平面角，由此利用二面角E-AD-C

的余弦值为噜，能求出m的值.

【解答】证明：（I）连结ACriAG于F,那么F为AG的中点，

连结DF,那么AF〃DF,

,/DFc平面AQD,:.AB〃平面AQD.

解：（II）过E作EM±AC于M,那么EMJ_平面ABC,过M作MN_LAD,垂足为N,

连结EN,

那么EN_LAD,.•./£丽为二面角£-如-（；的一个平面角,

设EM=h,那么"等，，CM=华，，AM=2-孕，

OCtOJ

..MNAM._AM1h

・=7=777，..WMN=--=1--,

CDACAC3

.*.EN2=EM2+MN2=h2+(1-争2,

J

2

I—(l-^-)

VcosZENM^.故,解得h号

1Ui%11\丁Z卡1U乙

h+(l7)

此时，点E为A£的中点，/.m=l.

【点评】此题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要

认真审题，注意空间思维能力的培养.

22_

20.（12分）（2023•兰州一模）椭圆C：J+^~1（a>b>0）经过点（如,

a?b2

1）,且离心率为券.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设M、N是椭圆C上的点，直线0M与0N（0为坐标原点）的斜率之积为

-假设动点P满足而=赢+2屈，试探究，是否存在两个定点FuF2,使得

|PF』+|PF?|为定值？假设存在，求艮，F2的坐标，假设不存在，请说明理由.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】（I）由椭圆经过点（血，1）,且离心率为李，列出方程组，求出a,

b,由此能求出椭圆C的方程.

22

（II）由而=祈+2不，得x=xi+2x2，y=yi+2y2,由M,N都在椭圆幺+匚=1上，

42

设k°M・koN;三匹-J得到点P是椭圆式+工1口上的点，由此能求出用，艮

x[X2，2010

的坐标.

22_

【解答】解：m•.•椭圆c：+宁1（a>b>o）经过点1）,且离

/b2

心率为艰,

力21,二］,解得a=2,b=«,

2k2T

ab

Ia2-_b,2,+c2

22

椭圆c的方程为=+工_=1.

42

(II)设P(x,y),M(Xi，yj,N(x2,y2)»

那么由而二诬+2超，得x=xi+2x2,y=y1+2y2,

22

VM,N都在椭圆—+—=1上，

42

2222

Ax1+2y1=4,x2+2y2=4,

222222

x+2y=(x1+4x1x2+4x2)+2(Yj+4yjy2+4y2)

22

=(xJ+Zy/)+4(x2+2y2)+4收凶+2丫»2)

=20+4(Xix2+2yiy2),

“321

设koM'koN=•力风+2山力=0,

A|A乙

22

.,.x2+2y2=20,点P是椭圆工+匚=1上的点，

2010

.•.由椭圆的定义知存在点F”Fz，满足|PF」+|PF2|=2&5=4加为定值，

又丁|F1F21=2720-10=2710,

工艮，F?的坐标分别为K(-J五，0),B(伍，0).

【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时

要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用.

21.(12分)(2023•兰州一模)函数f(x)=±Jlnx在(1,+~)上是增函

ax

数，且a>0.

(I)求a的取值范围；

(II)假设b>0,试说明士Vin芈<3

a+bbb

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(I)求出原函数的导函数，由f'(x)NO,且a>0,得ax-INO,

即乂片，再由x的范围求得a的范围；

(II)b>0,由(I)知aNl,可得平■>：!,由f(x)=—+lnx在(1,+~)

bax

上是增函数，可得f(平)>f(1),化简得到二rvi总；

ba+bb

由In平V^Ql用告ln(l+3)dv°・构造辅助函数g(X)=ln[1+x)-

bbbbbb

X(xe[o,+8)),利用导数判断函数g(x)在[0,+8)上为减函数.由g

年)<g(0)得In嗒<9

bbb

【解答】解：mf(x)=’74聿~,

axxax

由f'(x)20,且a>0,得ax-120,即

a

Vxe(1,+oo),/A<i，即a2l；

a

(II)Vb>0,由(I)知，a》l.

••・乎>1,又f(x)上J