黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区19-20学年九年级上学期期末数学试卷 及答案解析

黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区19-20学年九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.抛物线y=2（x-1）2的对称轴是（）

A.1B.直线x=1C.直线久=2D.直线x=—1

2.3,下列事件是必然事件的是（）

A.随意翻到一本书的某页，页码是奇数

B.抛掷一枚普通硬币，正面朝下

C.抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3

D.太阳每天从东方升起

3.在反比例函数y=^^的图象上有两点8（久2，丫2），当0＞%1＞乂2时，有比＞先，则上

的取值范围是（）

A.fc<jB.fc<|C.fc>jD.k>l

4.用配方法解方程/+mx+n=0时,此方程可变形为（)

A.(Y)2=yB.（Y）2m2-4n

4

4n-m2m2-4n

2（）

C.(x-y)4D.T24

5.如图，将正方形图案绕中心。旋转180。后，得到的图案是（）a

A,%B,掰。,比口田

如图，AABC中，42=78。，4B=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚/

6.

线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

7.如图，在△ABC中，D、E分别为A3、AC边上的点，DE//BC,BE与

8相交于点F则下列结论一定正确的是（）

9.如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形042绕点A逆时针旋转60。,

点O,B的对应点分别为连接BB',则图中阴影部分的面积是（

A.yB.2遍*C.2V3-yD.

4旧号

10.已知：抛物线y=a/+bx+c（a不0）的对称轴为直线x=1,与x轴

的一个交点坐标为（-1,0），其部分图象如图所示，下列结论：

2

①4ac<b；②方程ax?+bx+c=0的两个根是/=-1,x2=3；

@a-b+c>0；④当y〉0时，尤的取值范围是一1W久<3；

⑤当x<0时，y随尤增大而增大

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.已知抛物线丫=Y2—2x+7«与X轴有两个交点，则"7的取值范围是.

12.一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同.若每次将球搅匀后，任意摸出1

个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近,

那么可以推算出a的值大约是

13.若圆锥底面圆的半径为1,侧面积为3兀，则它的母线长为.

14.如图,AB是O。的直径,48=2,点C在O。上,NC71B=30。,。为金c的中

点，尸是直径A8上一动点，贝UPC+PD的最小值为.

15.如图，在△48C中，AB=AC=10,E,D分别是AB,AC上的点，BE=4,CD=2,且BD=CE.则

BD=.

16.如图，矩形ABC。中，AD=2,AB=5,P为边上的动点，当△4DP与△BCP相似时,

DP=

17.如图，AAOB是直角三角形，乙4OB=90。，^ABO=30°,点A在反比例函数y=:的图象上,

若点B在反比例函数y=:的图象上，则左=

三、计算题(本大题共1小题，共9.0分)

18.如图，2。为O。的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E,

连结AB.

(1)求证：AB2=AE-AD-,

(2)若力E=2,ED=4,求图中阴影的面积.

四、解答题(本大题共6小题，共60.0分)

19.解方程:

⑴3/一6久一2=0

(2)/+5x-4=0

20.大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字-1,0,1的卡片，它们背

面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作

为P的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的

数字作为4值，两次结果记为(p,q).

(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p,q)所有可能出现的结果；

(2)求满足关于x的方程/+「久+q=0没有实数解的概率.

21.如图,在平面直角坐标系中,4(0,8),8(4,0),A3的垂直平分线交y轴与点D,连接2D,M(a,l)为第

一象限内的点

(2)当SADBC=SADBM时,求a的值;

（3）点E为y轴上一个动点，当ACDE为等腰三角形时，求E点的坐标,（直接写出）

22.如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20汽，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程

中水温火。0与开机时间久（分）满足一次函数关系。当加热到100冤时自动停止加热，随后水温开

始下降，此过程中水温火冤）与开机时间双分）成反比例关系。当水温降至20久时，饮水机又自

动开始加热……，不断重复上述程序。根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)当05时，求水温yfC)与开机时间双分)的函数关系式；

(2)求图中/的值；

(3)有一天，小明在上午7：20(水温20。0,开机通电后去上学，11：34放学回到家时，饮水机

内水的温度为多少。C?并求：在7：20—11：34这段时间里，水温共有几次达到100℃?

23.在AABC中点尸是AABC内一点，S.AAPC=90°+^ABC,连接试探究PA,PB,PC满足

的等量关系.

下面我们按照从特殊到一般的顺序来研究.

(1)如图1,当A4BC为等边三角形时，将AABP绕点A逆时针旋转60。，得到AaCP',连接PP',

请补充图形，并由此得到PA,PB,PC满足的等量关系为；

(2)如图2,当AABC为含30。角的直角三角形时，ABAC=90°,N2BC=30。，将线段AP绕点A

逆时针旋转90。，得到4P'.在AP'上截取4Q=fAP,连接尸。，CQ.请补全图形，写出PA,PB,

PC满足的等量关系式，并给出证明；

(3)如图3,当△ABC三边长分别为4B=4,AC=5,BC=6时，直接写出PA,PB,PC满足的

等量关系式(不需证明).

24.如图,抛物线y=a--23+c与x轴将于A、B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(―1,0),点C

的坐标为(0,4).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M为第一象限内抛物线上一点，设四边形的面积为S,请直接写出S的最大值;

(3)若点尸在线段08上从点。向点B以每秒1个单位的速度运动，同时，点。在线段8c上从

点2向点C以每秒2个单位的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.设运

动时间为/秒，当/为何值时，以点P、B、。为顶点的三角形与A8OC相似；

(4)在抛物线的对称轴上，是否存在点使是等腰三角形.如果存在，请求出点M的

坐标；如果不存在，请说明理由.

答案与解析

1.答案：B

解析：

本题考查的是二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h.根

据二次函数的顶点式进行解答即可.

解：•••抛物线的解析式为：y=-2(x-l)2,

•••此抛物线的对称轴是直线x=1.

故选B..

2.答案：D

解析：

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】

A随意翻到一本书的某页，页码是奇数，属于随机事件；

B.抛掷一枚普通硬币，正面朝下，属于随机事件；

C抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3,属于随机事件；

。.太阳每天从东方升起，属于必然事件；

故选：D.

考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能

发生也可能不发生的事件.

3.答案：D

解析：解:•・•反比例函数y=彳-的图象上有两点8(%2，丫2)，当0>%i>牝时，有>丫2,

1—3/c<0,

解得，fc>|.

故选：D.

根据题意可以得到1-3k<0,从而可以求得上的取值范围，本题得以解决.

本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

4.答案:B

解析：x2+mx+n=0

••・x2+mx=­n

m2m2

・••x乙+mx+——=—n+——

44

故选B.

首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，

右边是常数的形式.

本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤.

配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

5.答案:D

解析:

本题考查了利用旋转涉及图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固

定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.根据

旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案.

解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，

分析选项，可得正方形图案绕中心。旋转180。后，得到的图案是D

故选。.

6.答案：C

解析：

本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.根据相似三角形

的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

解：4阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

8.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

。.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误.

故选C.

7.答案：C

解析：

本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理进行判断即可.

解：DE//BC,

二处=叫，A错误；

ABBC

•••DE//BC,

喷崂，B错误;

•••DE//BC,

DF_DEDE_AE

"FC-BC'BC—AC'

DFAE-—诺

而=获，C正确;

•••DE//BC,

某=案,。错误,

rLrD

故选C.

8.答案：A

解析：解：设N40M=a,点尸运动的速度为a,

（at〈osa）2（at-sina）

当点尸从点。运动到点A的过程中，S==|^2,cosa.s[na.力2,

由于a及。均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着f的增大而增大；

当点尸从A运动到2时，由反比例函数性质可知AOPM的面积为]k,保持不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点尸从8运动到C过程中，的长在减少，AOPM的高与在2点时相同，

故本段图象应该为一段下降的线段；

故选:A.

结合点尸的运动，将点尸的运动路线分成。-4、4-»B、B->C三段位置来进行分析三角形OMP

面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.

本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在。-4、

三段位置时三角形OMP的面积计算方式.

9.答案：C

解析：

本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的

关键,连接。O',B0',根据旋转的性质得到40力。'=60°,推出△。/1。'是等边三角形,得至此力。。'=60°,

推出AOO'B是等边三角形，得到乙40'8=120。，得至此。'88'=30。，根据图形的面积公式即可得到

结论.

解:连接。O',BO',

••・将半径为2,圆心角为120。的扇形OAB绕点A逆时针旋转60。，

•••/-OAO'=60°,

△。4。'是等边三角形，

乙4。。'=60。，00'=071,

。'在。。上，

乙AOB=120°,

•••上O'OB=60°,

■■.A。。'8是等边三角形，

•••乙AO'B=120°,

/.AO'B'=120°,

AB'O'B=120°,

•••/-O'B'B=乙O'BB'=30°,

.,・图中阴影部分的面积=SABQB一2扇形O,OB-SAOO'B)

1厂607rx221「

=5x1x2A/3—(——--------x2xV3)

z36(JL

=2V3-y.

故选C.

10.答案:B

解析：解：①•••抛物线与x轴有2个交点，

b2-4ac>0,BP4ac<b2,所以①正确；

②•抛物线的对称轴为直线x=1,

而点(一1,0)关于直线久=1的对称点的坐标为(3,0),

二方程a/+bx+c=0的两个根是久1=—1,x2=3,所以②正确；

③••・抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)经过点(-1,0),

'''a—b+c=0,所以③)错误；

④••・抛物线与x轴的两点坐标为(一1,0),(3,0),

.•.当-l<x<3时，y>0,所以④错误；

⑤•••抛物线的对称轴为直线％=1,

当％<1时，y随尤增大而增大，所以⑤正确.

故选艮

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点

坐标为(3,0),则可对②进行判断；根据抛物线过点(-1,0),则可对③进行判断；根据抛物线在x轴

上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a丰0),二次项系数a决定

抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系

数6和二次项系数。共同决定对称轴的位置：当。与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当。与

b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c)；

抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>。时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，

抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<OBt,抛物线与x轴没有交点.

11.答案：m<1

解析:

抛物线与x轴有两个交点，则△=—4ac>0,从而求出机的取值范围.

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与无轴有两个交点，则△>()；②抛物线与x轴

无交点，则△<()；③抛物线与x轴有一个交点，则△=().

解：・抛物线丫=久2-2%+机与彳轴有两个交点，

；.△=b2—4ac>0,

即4—4m>0,

解得m<1,

故答案为爪<1.

12.答案：12

解析：解：根据题意知总XI。。％=2。％,

解得a=12,

经检验：a=12是原分式方程的解，

所以推算出。的值大约是12,

故答案为：12.

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，

列出方程求解.

本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据红球的频率得到相应

的等量关系.

13.答案：3

解析：

本题主要考查的是圆锥的计算，扇形的面积，弧长的计算的有关知识，设它的母线长为/,根据圆锥

的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇

形面积公式得到号x2兀x1x1=3兀，然后解关于I的方程即可.

解：设它的母线长为/,

根据题意得

-x2TTx1xZ=3TT,

2

解得Z=3,

即它的母线长为3.

故答案为3.

14.答案：V2

解析：解：作出。关于A8的对称点连接OC,0Dr,CDr.

又•・•点。在。。上，^CAB=30°,。为你C的中点，即否。

•••/.BAD'=-Z.CAB=15°.

2

・•・zrm=45°.

・•・乙COD'=90。.则△C。。是等腰直角三角形.

-I

•••OC=OD'=-2AB=1,

CD'=V2.

故答案为：V2.

作出。关于AB的对称点ZT,则PC+PD的最小值就是CD'的长度，在△C。。'中根据边角关系即可求

解.

本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键.

15.答案：2VT5

解析：

本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是作等腰三角形两腰上的

高CN,证明EN=DM,求出。再由勾股定理即可解答.

解：过8,C作BM14C,CN14B.

♦."△ABC中，AB=AC,

MB=CN,

CB=BC,

•••NB=MC,

同理：Rt二N(7?空RtZiA/3。，

•••EN=DM,

设EN=DM=x,

AB=AC=10,BE=4,CD=2,

•.•%+%+2=4,

解得久=1,

在AABM中，由勾股定理得BA/2=432—411251,

BD=VBM2+DM2=V52=2m.

故答案为2m.

16.答案：1或4或2.5

解析：

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质.对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解.需要

分类讨论：△APDfPBC和△PAD7PBC,根据该相似三角形的对应边成比例求得。尸的长度.

解：①当PBC时，费=/

目口2

即----二—PD

5-PD2

解得：PD=1,或PD=4；

②当△P4DYPBC时，筮="即|=瑞

解得：DP=2.5.

综上所述，QP的长度是1或4或2.5.

故答案是1或4或2.5.

17.答案：一6

解析：解：过点A,8作AClx轴，BDlx轴，分别于C,D.

设点A的坐标是（加九），则ZC=九，OC=m.

■：AAOB=90°,

•••/.AOC+乙BOD=90°.

•••乙DBO+乙BOD=90°,

•••Z-DBO=Z-AOC.

•・•乙BDO=Z.ACO=90°,

BDOfOCA.

•・•^AOB=90°,/.ABO=30°,

BD_OD_OB_rj

OC~AC~OA~

设/（m,n）,则B（—V3n,V3m）,

•・•点A在反比例函数y=|的图象上，

.・.mn=2,

—V3n-V3m=-3x2=-6,

•••k=-6.

故答案为：-6.

要求函数的解析式只要求出5点的坐标就可以，过点A,5作ACJ.%轴，8。，％轴，分别于C,。根

据条件得到△"070DB,得到：案=号=看=b，然后用待定系数法即可.

C/C/ALUA

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求

得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键.

18.答案：解：（1）•••点A是劣弧的中点，

乙ABC=/-ADB.

又•••^BAD=Z.EAB

.,■AABE"AADB.

AB_AD

AE—AB

：.AB2=AE-AD.

(2)连OA,

■.AE=2,ED=4,

由(1)可知AB?=AE-AD,

AB2AE-AD=AE(AE+ED)=2x6=12.

AB=2次（舍去负值）,

・•・BD为。。的直径,

•••4BAD=90°,

在RtAABD中，BD=y/AB2+AD2="2+36=4同

OB=2A/3.

...0A=OB=AB=2V3,

.・・△4。8为等边三角形，

・•・/.AOB=60°.

S阴影=S扇形AOB-S-°B=%嘿暨4x2Bx3=2”3序

解析：(1)点A是劣弧BC的中点，即可得乙48。=41DB,又由n艮4。=NE4B,即可证得

△ABEfADB,根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB?=?!£"•2。；

(2)由(1)可知AB?=AE-4D,可求AB的长，根据勾股定理求出3。长，得出△AOB为等边三角形,

利用S妁影=-S^AOBBPBjWW.

此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理、扇形的面积计算以及勾股定理等知识.

19.答案：解：⑴—-2%=|,

r2

X2—2x+l=-+l,

3

(%-1)2=|，

x-l=+—,

-3

所以%1=i+誓，x2=1—手；

(2)4=52-4x(-4)=41,

—5±，41

X=--------，

2

所以与=若画，久2=苫画.

解析：(1)利用配方法得到Q-l)2=|,然后利用直接开平方法解方程；

(2)利用求根公式法解方程.

本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了配方

法解方程.

20.答案：解：(1)画树状图得：

开始

P-101

/N/N/1\

q-loi-loi-ioi

则共有9种等可能的结果;

(2)方程久2+px+q=0没有实数解，即4=p2一4q<0,

由(1)可得：满足4=p2—4q<0的有：(―1,1),(0,1),(1,1),

••・满足关于尤的方程/+px+q=。没有实数解的概率为：I=1.

解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式.列表法或画树状图

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或

两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由(1)可求得满足关于龙的方程X2+「乂+4=。没有实数解的有：(—1,1),(0,1),(1,1),再利用

概率公式即可求得答案.

21.答案:解：⑴；4(0,8),5(4,0),

OA=8,OB=4,

设OD=%,贝U/D=8-%,

4B的垂直平分线交y轴于点D,

・•.BD=AD=8—x,

在RtAB。。中，由勾股定理得：/+42=(8—久产，

解得x=3,

0(0,3)；

故答案为0,3；

设直线BD的解析式为y-kx+b,

把B(4,0)和D(0,3)代入y=kx+b得:

[4k+b=0

ib=3'

k=

解得-i

b=3

则直线BD的解析式为y=—9尤+3；

(2)"SADBC=S/DBM时，

••.ADBC与4OBM是等高的三角形，

直线BD与直线CM平行，

设CM的解析式为y=-|x+b,

•••C是A,8的中点，

C点坐标为(2,4),

把C(2,4)代入得:

--X2+b=4,

4

解得b=3，

CM的解析式为y=+

又•・,M(a,1)且在第一象限，

—3CLH,11=y1j

42

解得。=6,

•••。的值为6；

(3)由勾股定理得，AB=<0A2+OB2=V82+42=4而,

・・,点。为边A3的中点，

AC=-AB=-x4A/5=2-\f5,

22

•••AD=OA-OD=5,

・•.CD=7AD?—AC2=V5,

设E(0,久)，则DE=|x-3|,

分三种情况：®DC=DE时,

|x-3|=VS,

x=V5+3或x=—V5+3,

•••E(0,V5+3)或(0,-逐+3);

②CE=C。时，过C作CF14。交4。于R如图3所示:

••.F为。E的中点，且F(0,4),

•••EF=DF=1,

x—4=1,

x-5,

・•・F(0,5)；

③EC=E。时，过E作EQ1CD于Q,如图4所示:

贝UEQ〃/1B,

・・.Q为C。的中点，

・•.E为AZ)的中点，

AE=ED,

8—x=x—3,

解得：X=y,

11

以。,万)；

综上所述：当ACDE为等腰三角形时，E点的坐标为(0,逐+3)或(0,-6+3)或(0,5)或(0,3).

解析：本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质、线段

垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积关系等知识；本

题综合性强，有一定难度.

⑴设。D=x,则2。=8—%,由线段垂直平分线的性质得出B0=4。=8-尤，在RtAB。。中，由

勾股定理得出方程，解方程即可；直线8。的解析式为y=左久+6,由待定系数法即可得出答案；

(2)由题意得出ADBC与ADBM是等高的三角形得出直线2。与直线CM平行，求出直线CM的解析

式为丫=—江+甘；把时(21)代入求出。=6即可；

(3)由勾股定理求出AB,得出4C=2通，由勾股定理求出CD=y/AD2-AC2=V5.分三种情况：

①OC=DE时；②CE=CD时；③EC=£7)时；分别求出点E的坐标即可.

22.答案：解：⑴当0045时，设水温江冤)与开机时间x(分)的函数关系式为y=fcc+6,

依题意，得El」?［田

15k+b=100

・••所求的函数关系式为y=16x+20.

(2)在水温下降过程中，设水温y(。。与开机时间x(分)的函数关系式为y=p

依题意，得10。=晟，

解得m=500,

500

7=三，

当y=20时，甲=20,

解得t=25.

(3)由(2)知t=25,结合图象，可知每25分钟图象重复出现一次，

7：20到11；34经历254分钟,

254+25=10---4,

当尤=4时，y=16x4+20=84.

答：饮水机内水温为84汽，共有10次达到100。&

解析：本题主要考查的是一次函数及反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键.

(1)根据题意利用待定系数法求解一次函数的解析式；

(2)首先根据题意先求出反比例函数的解析式，然后再求解f的值；

(3)求出总时间，再结合图象和(2)进行解答.

23.答案：PA2+PC2=PB2

解析：解：(1)将A4BP绕点A逆时针旋转60。，得至UAACP',连接PP',

•.・将△4BP绕点A逆时针旋转60。，得到△ACP',

.,.AABPmAACP',

：.AP=AP',

由旋转变换的性质可知，/-PAP'=60°,P'C=PB,

.•.△P2P'为等边三角形，

•••AAPP'=60°,

/.APC=90°+^ABC,

4PC=150°,

•••乙P'PC=90°,

PP/2+PC2=P'C2,

：.PA2+PC2=PB2,

故答案为：PA2+PC2=PB2；

(2)结论：PB2=4PA2+3PC2.

理由：将线段AP绕点A逆时针旋转90。，得到4P'.在AP'上截取4Q=pP,连接尸。，CQ.

AB_AC

PA-AQf

BACfPAQf

•••^ABC=Z.APQ=30°,

•••AAPC=90°+乙ABC=120°,

・•・(CPQ=90°,

・•.CQ2=PQ2+PC2,

•・•Z.BAC=Z-PAQ,

•••Z-PAB=Z-CAQ,

tBA_PA

'AC~AQ9

・•.△BAP~ACAQf

CQ_CA_y[3

BP~AB-3

CQ=RPB，•：PQ=AP=*,

cos30°

(yPB)2=(誓AP)2+PC2,

•••PB2=4P42+3PC2.

(3)如图3中，结论：25PB2=36P42+16PC2.

理由：将线段AP绕点A逆时针旋转使得NP4P'=ABAC,得到4P'.在4P'上截取力Q=》P,连接PQ,

4

CQ.

AB_AC

PA-AQf

△BAC~4PAQ,

^ABC=乙APQ,

^APC=90°+Z.ABC,

Z.CPQ=90°,

CQ2=PQ2+PC2,

•・•Z.BAC=Z-PAQ,

Z.PAB=Z-CAQ,

tBA_PA

•AC~AQf

••・△8Aps△CAQ,

.CQ_CA_5

"BP~AB_

CQ=：PB,•••PQ=1AP,

(|PB)2=(qAP)2+PC2,

：.25PB2=36PA2+16PC2.

(1)根据旋转变换的性质得到△PAP'为等边三角形，得到NP'PC=90。，根据勾股定理解答即可；

(2)结论：PB2=4PA2+3PC2.将线段4尸绕点&逆时针旋转90。，得到在力上截取4Q=弓力p,

连接P。，CQ.证明NCPQ=