偏导数在实际生活中的应用获奖科研报告

偏导数在实际生活中的应用获奖科研报告摘要：函数的偏导数是高等数学中的最基本的概念之一，也是高等数学中的核心概念之一，并且函数的偏导数有着极其广泛的应用。尤其是在实际生活中的应用是最常见的。本文主要探讨如何利用偏导数求解实际生活中的条件极值，最值等优化问题，以及最小二乘法的应用.如有不当之处，望读者给予批评指正。

关键词：偏导数;条件极值;最值;最小二乘法;生活应用

一、最优化问题

函数的偏导数是高等数学中最重要核心概念之一，其本质反映的是函数关于自变量中的

某一个的变化率问题。在实际的生活中，常常利用偏导数求条件极值，最值等最优化问题。

在多元函数极值问题中，当自变量各自独立不受任何限制时，通常称这种极值为无条件

极值.然而在实际问题中，我们所遇到的许多关于极值问题，往往对自变量还有一定的条件进行约束，我们将这种自变量帶有约束条件的极值称为条件极值。

比如，在半径为R的圆的一切内接三角形中，求面积S最大的三角形。我们以表示内接三角形各边所对应的圆心角，则所给问题其实就是求目标函数，在满足约束条件下的极值问题，也就是所谓的条件极值问题。

求解条件极值，最直接的方法就是想办法将其转化为无条件极值来处理。比如，对于上述条件极值问题，我们可将约束条件表示为，然后，将其代入目标函数中，得到，再求此二元目标函数在有界闭区域上最大值。

然而，只有当约束条件可以表示为显函数形式的条件极值问题，才可以转化为无条件极值问题来求解，但是在实际应用中，许多情况是约束条件为隐函数的形式，我们很难将其表示为显函数，因此我们必须寻求更为有效的求解条件极值的方法，即拉格朗日乘数法。.

以二元函数为例，设函数及在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且不同时为零，求目标函数在约束条件下的极值.具体步骤如下：

第1步构造辅助函数，称为拉格朗日函数，其中称为拉格朗日乘数。

第2步建立联立方程组

解出，其中就是所求条件极值的可能极值点.

第3步由实际问题本身的性质判定点是否为极值点，进而求出极值.

注1：.拉格朗日乘数法对于多元目标函数，以及约束条件多个的情形也适用，但约束条件的个数一定要小于目标函数中自变量的个数;

目标函数的准确式，为了运算简便，可以适当简化，只要简化后的函数与原来的目标函数有相同的极值点与极值即可.例如目标函数为而约束条件为，条件极值问题，拉格朗日函数可简化为.

注3：拉格朗日乘数前面的“+”号可以写成“-”号，此时的值只差一个正负号

并不影响极值的取得.

例1.求在半径为R的圆的一切内接三角形中，求面积S最大的三角形.

由于半径为R的圆的一切内接三角形中一定存在面积S最大的三角形，而可能最大

面积的三角形只有一个，所以，当圆内接三角形为等边三角形时面积最大。

二.最小二乘法

在实际生活中，对于许多经济管理问题，经常需要研究某一种现象与影响它的某一个最主要因素之间的关系，比如在研究粮食产量时，在众多影响粮食产量的因素中施肥量是一个最重要的因素，需要研究粮食产量与施肥量之间的关系;在消费问题的研究中，由于国民收入是影响消费的最主要因素，需要研究消费额与国民收入之间的关系等等.为了找出这类问题中两个变量之间的关系，往往根据两个变量的几组观测值或实验数据，找出这两个变量的近似表达式，一般称这样的表达式为经验公式.而一旦建立了经验公式，我们就可以将理论应用于实践，利用经验公式对自变量或因变量进行控制或预测，而最小二乘法是确定经验公式中未知参数的常用方法。

例2某企业为了了解这种商品的收益情况，收集了这种商品在市场上的销售量（单位：千件）与获得的利润额（单位：万元）的几组具体数据，如下表所示：

根据上表的数据建立与之间的一个能使上述数据大体适合的函数关系.

为此，在平面直角坐标系中，根据表中的数据画出实际数据的散点图，从图中，我们直观分析这些点的分布规律.如果这些点的连线大体在一条直线上，那么就用线性函数表示，否则就选取更为合