线性代数总复习1-很全!课件

要求：会用其性质与展开定理，计算低阶及特殊的行列式。一、行列式两个重要概念：余子式,代数余子式1可编辑课件PPT上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积性质是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。2可编辑课件PPT展开定理及其应用利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低一阶行列式的计算。3可编辑课件PPT特殊关系式4可编辑课件PPT例题解计算下列行列式5可编辑课件PPT6可编辑课件PPT解方程此为范德蒙行列式例题7可编辑课件PPT二、矩阵不能推出(1)(3)(2)或不能推出交换律不成立消去律不成立转置矩阵的运算律一、矩阵运算中注意的几点8可编辑课件PPT特殊矩阵：若若阶梯阵A与行最简阶梯阵B若A为n阶对称矩阵A为n阶反对称矩阵9可编辑课件PPTn阶方阵A可逆的充要条件n阶方阵A可逆可逆矩阵10可编辑课件PPT可逆矩阵的性质设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则5、求方阵A的逆矩阵的方法11可编辑课件PPT特别：12可编辑课件PPT矩阵的初等变换,初等方阵用初等方阵左（右）乘A，相当于对A作初等行（列）变换得到的矩阵，矩阵A的标准型13可编辑课件PPT1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论：矩阵的秩14可编辑课件PPT重要结论定理15可编辑课件PPT秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2）初等变换法：,R（A）=T的阶梯数3）若P可逆，则,常需先验证P可逆16可编辑课件PPT选择题－1设A、B都是n阶方阵，则e17可编辑课件PPT选择题－2（4）18可编辑课件PPT（2）19可编辑课件PPT选择题－4（3）20可编辑课件PPT解例21可编辑课件PPT例：设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析原式可写为（重点）22可编辑课件PPT例：设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且解（重点）23可编辑课件PPT例24可编辑课件PPTR(A)=2初等变换例（重点）25可编辑课件PPT例解26可编辑课件PPT三向量组的线性关系定义定义极大无关组、等价等价定义（重点）27可编辑课件PPT结论:2、。3、1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（A）=列向量组的秩=行向量组的秩28可编辑课件PPT定理29可编辑课件PPT定理30可编辑课件PPT判别法1判别法2等价的向量组的秩相等；部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关31可编辑课件PPT判别法3

32可编辑课件PPT例题DF33可编辑课件PPT例题BC34可编辑课件PPT设解例重点35可编辑课件PPT(续)其余向量由此极大无关组表示为：所以36可编辑课件PPT向量4---例题4解1)因为行列式所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。37可编辑课件PPT证明证明38可编辑课件PPT证明分析：只要证明：B的列秩=m;证明39可编辑课件PPT40可编辑课件PPT例设向量组问k为何值时表示法唯一，不唯一，不可表示。解设即用克莱姆法则41可编辑课件PPT

k=-3

时表示法唯一，时同解方程组有无穷多解。时方程组有唯一解表示法不唯一，42可编辑课件PPT线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构四、线性方程组的解法与解的结构

定理1设有非齐次线性方程组43可编辑课件PPT定理1设有齐次线性方程组（2）方程组---2---通解、基础解系44可编辑课件PPT方程组---2---通解、基础解系定理2设有非齐次线性方程组（1）45可编辑课件PPT讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、解系数行列式所以1):2):有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。（重点）例46可编辑课件PPT例题3（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.2):则通解为47可编辑课件PPT当时，称与正交。定理中两两正交、非零向量组线性无关。若满足称为规范正交基。定义3五、内积、施密特正交化。48可编辑课件PPT定义4是n阶方阵,若

是正交矩阵称性质2的列(行)向量组为正交单位向量组是正交矩阵性质1

是正交矩阵则A可逆且设性质3设A、B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。即A的n个列向量是单位正交向量组。性质4设A是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质5设A是正交矩阵，则49可编辑课件PPT3、施密特正交化方法设在中为线性无关向量组令正交化过程：则是正交向量组，单位化50可编辑课件PPT六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：矩阵的特征值与特征向量的定义,求法,性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法定义1使方程设方阵成立数和n元非零列向量51可编辑课件PPT1---特征值、特征向量---求法1、特征值的求法2、特征向量的求法52可编辑课件PPT2---特征值、相似矩阵---的性质性质全不为零。53可编辑课件PPT3---特征值、相似矩阵---的性质性质254可编辑课件PPT例2、3---特征值、相似矩阵例3设A是一个方阵-10055可编辑课件PPT例4---相似矩阵设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.解1）因为矩阵A、B相似，所以56可编辑课件PPT例4---相似矩阵设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一个特征值57可编辑课件PPT3---特征向量的性质1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相3）正交向量组必是线性无关组。互正交。58可编辑课件PPT4---n阶方阵A可对角化的条件、方法1、一个充分必要条件：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：4、正交对角化（重点）（重点）59可编辑课件PPT例1（1）求设相似于（1）由性质（2）（2）解60可编辑课件PPT例561可编辑课件PPT三阶实对称矩阵的特征值分别为秩例8相应的特征向量分别为已知求的值及矩阵解秩有三个不同特征值,则可取的特征向量为则62可编辑课件PPT七、二次型化标准型---1---基本定义、基本内容1、二次型——二次齐次多项式；标准型的矩阵——对角阵二次型的矩阵表示2、二次型的矩阵——前提：实对称矩阵；注意元素特点标准型——仅含有平方项的二次型则二次型的矩阵63可编辑课件PPT二次型及其标准型---2---最重要内容注1：对线性变换X=PY来说，当P可逆矩阵时，称之为可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换用正交变换将二次型化为标准型；64可编辑课件P