河北省廊坊市彭村中学高三数学文期末试题含解析

河北省廊坊市彭村中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．2.已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C3.若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A． B．或a＜﹣1 C． D．a＜﹣1参考答案：B【考点】函数的零点．【分析】由于函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，利用一次函数的单调性可得：f（﹣1）f（1）＜0，解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．解得a或a＜﹣1．∴a的取值范围是：a或a＜﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的单调性和函数零点的判定定理，属于中档题．4.在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则A．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得参考答案：D5.已知i是虚数单位，复数为实数，则a等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：为实数，则．6.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得重量如下条形图S1、S2、S3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检重量的标准差，则有（）A．S2＞S1＞S3 B．S1＞S3＞S2 C．S3＞S1＞S2 D．S3＞S2＞S1参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】解：根据题意，计算甲、乙和丙的平均数，方差和标准差，比较即可得出结论．【解答】解：根据题意，计算甲的平均数是=（5×7+5×8+5×9+5×10）=8.5，方差是=[5×（7﹣8.5）2+5×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+5×（10﹣8.5）2]=1.25，标准差是s1=；乙的平均数是=（4×7+6×8+6×9+4×10）=8.5，方差是=[4×（7﹣8.5）2+6×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+4×（10﹣8.5）2]=1.05，标准差是s2=；丙的平均数是=（6×7+4×8+4×9+6×10）=8.5，方差是=[6×（7﹣8.5）2+4×（8﹣8.5）2+4×（9﹣8.5）2+6×（10﹣8.5）2]=1.4，标准差是s3=；所以，s3＞s1＞s2．故选：C．【点评】本题考查了利用图表计算数据的平均数、方差与标准差的应用问题，是基础题目．7.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（A）{-2,-1,0,1,2,3}

（B）{-2,-1,0,1,2}（C）{1,2,3}

（D）{1,2}参考答案：D由x2＜9得，-3＜x＜3，所以B={x|-3＜x＜3}，所以A∩B={1,2}，故选D.8.已知数列{}的通项公式是=2n–49(nN)，那么数列{}的前n项和Sn达到最小值时的n的值是(

)(A)23

(B)

24

(C)

25

(D)

26

参考答案：B9.已知

是夹角为600的两个单位向量，则和的夹角是（）

A．300B．600

C．1200

D．1500参考答案：C略10..“”是“函数的图象关于直线对称”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A分析：由能否推出函数图象关于直线对称，反过来看是否成立，由充分必要条件的定义，得出正确的结论。详解：当时，，，所以是函数的对称轴；令，，，，当时，，当取值不同时，的值也在发生变化。综上，是函数图象关于直线对称的充分不必要条件。选A.点睛：本题主要考查三角函数的对称性及充分必要条件的定义，属于中档题。求函数图象的对称轴，只需令，求出的表达式即可。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，其中满足且∥，则_________。

参考答案：3略12.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

．参考答案：20略13.在锐角三角形中，A=2B，则下列叙述正确的是．①sin3B=sin2C

②tantan=1

③＜B＜

④∈（，]．参考答案：②③【考点】正弦定理．【分析】由已知的三角形为锐角三角形以及A=2B的关系，结合内角和定理以及正弦定理解答．【解答】解：因为在锐角三角形中，A=2B，所以A+B+C=3B+C=180°，即3B=180°﹣C，所以①sin3B=sin2C错误；所以sin3B=sinC，由倍角公式得到sin，所以②tantan=1正确；对于③，因为三角形为锐角三角形，所以，所以③＜B＜

正确；由③得到=2cosB∈（2cos，2cos）即为（，），所以④∈（，]错误．故答案为：②③．14.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是

．（用数字作答）参考答案：

略15.定义行列式运算

，将函数

的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为________.参考答案：略16.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．参考答案：【分析】不妨设，则，令，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】作出函数图象如图所示，由，可得，即，不妨设，则，令，则，，令，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减；当时，取得最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.17.已知，则的值等于________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：（Ⅰ）点到平面的距离；（Ⅱ）二面角的大小．参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0).因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形,知设B(0,2,)，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD.由故

①又点G在直线CD上，即，由=（），则有②联立①、②，解得G＝,故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为

.因为=，,所以

故所求的二面角的大小为.19.已知向量，记，

（1）求的值域和单调递增区间；

（2）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足，若，试判断的形状。参考答案：(1),值域，单调增区间是(2)，所以三角形为等边三角形。略20.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.（1）求；（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，，且，，，求AB的长.参考答案：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，故，所以，又，所以，故.（2）∵，∴，又在中，，，∴由余弦定理可得，∴，在中，，，，∴由余弦定理可得，即，化简得，解得.故的长为.21.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点，如果的周长等于8。（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于