河北省承德市外沟门中学高三数学理下学期摸底试题含解析

河北省承德市外沟门中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x）=ex-2ax，函数g（x）=-x3-ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为

A．（-2,3)

B．（-6,0)

C.[-2,3]

D．[-6,0]参考答案：D2.函数y=loga（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，则sin2α+cos2α的值为（）A． B． C．4 D．5参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=loga（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα=，cosα=，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．3.过椭圆的两个焦点作垂直x轴的直线与椭圆有四个交点，这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B.

C. D.参考答案：C略5.(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A6.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．168种 B．156种 C．172种 D．180种参考答案：B分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.

7.若命题p是命题q的必要不充分条件，则命题p是命题q的（

）A．不充分也不必要条件

B．充分必要条件C．必要不充分条件

D．充分不必要条件参考答案：答案：D8.已知定义在上的函数满足：①；②对所有，，且，有．若对所有，，，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知集合M={x︱2x≥},N={y︱x2+y2=4,x∈R,y∈R}︳，则M∩N（

）A.

B.

C.

D.N参考答案：D略10.把方程化为以参数的参数方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为等差数列，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于___________.参考答案：612.设，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为

.参考答案：【知识点】命题及其关系.A2【答案解析】解析：解：，，，，的充分不必要条件，只需满足【思路点拨】根据题意求出p与q，再求出，利用条件可求出a的范围.13.已知x，y满足约束条件，若，则z的最大值为___．参考答案：7画出，满足约束条件的平面区域，如图所示：将转化为，通过图象得出函数过时，取到最大值，，故答案为7．14.已知，则

参考答案：

15.直线（t为参数，为常数）恒过定点

。参考答案：（-2，3）16.（）7的展开式中，x﹣1的系数是

．（用数字填写答案）参考答案：﹣280【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣2）r?，令=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为?（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．17.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于___*****____（用，表示）.参考答案：＋

解：∵，，∴.∵E是OD的中点，∴，∴DF＝AB

.∴，∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=﹣）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由表中数据计算、，求出、，即可写出回归直线方程；（Ⅱ）写出利润函数z=y﹣w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得，=×（2+4+6+8+10）=6，=×（16+13+9.5+7+4.5）=10，由最小二乘法求得==﹣1.45，=10﹣（﹣1.45）×6=18.7，所以y关于x的回归直线方程为y=﹣1.45x+18.7；（Ⅱ）根据题意，利润函数为z=y﹣w=（﹣1.45x+18.7）﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）=﹣0.05x2+0.3x+1.5，所以，当x=﹣=3时，二次函数z取得最大值；即预测x=3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．19.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，求|PQ|的最大值.参考答案：（1）曲线的参数方程为(为参数)，曲线的直角坐标方程为，即.（2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆.设，则.当时，取得最大值.又，当且仅当三点共线，即在线段上时等号成立.∴.

20.设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．参考答案：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力21.已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），由于kOB=1，可得∠AOB=135°．利用S△OAB=即可得出．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2=4，圆心C（1，0），半径y=2．由题意可得：圆心到直线AB的距离为3，对直线AB斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），∵kOB=1，∴∠AOB=135°．∴．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2=4，圆心C（1，0），半径y=2．∵点P到直线AB的最小值距离为1，∴圆心到直线AB的距离为3，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=﹣2，显然，符合题意，此时．当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y=k（x+2），则圆心到直线AB的距离，依题意有，无解．故．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形的面积计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，且过点A(,1)，点P