8 微专题：平面向量基本定理的应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量基本定理的应用平面向量基本定理:如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．平面向量基本定理的实质及解题思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；【典例】例1、下面几种说法中，正确的是（填序号）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②零向量不可以作为基底中的向量；③()可以表示平面内的所有向量；④若是平面内不共线的两个向量，则与可作为表示平面内所有向量的一组基底；⑤是平面内不共线的两个向量，若，则；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α内不共线的两个向量，则对于平面内的任意向量，使成立的实数对有无穷多个；【提示】；【答案】；【解析】【说明】例2、向量，，在正方形网格中的位置如图所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.【说明】本题考查了依据平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的实质及应用思路：1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；例3、已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，（1）若，则__________；（2）若，则的取值范围为__________；（3）若，则的最小值为__________；【说明】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量基本定理的应用和代数求值、求最值的交汇；依次为：利用平面向量基本定理找关系，依据比例求值；等价为一元二次函数，在给定区间上求最值；利用基本不等式的求最值；【归纳】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的；应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算；（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式；【即时练习】1、在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)2、在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)3、如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则4、已知，若点满足，且，则________．5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D；设eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝6、如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．【学生版】微专题：平面向量基本定理的应用平面向量基本定理:如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．平面向量基本定理的实质及解题思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；【典例】例1、下面几种说法中，正确的是（填序号）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②零向量不可以作为基底中的向量；③()可以表示平面内的所有向量；④若是平面内不共线的两个向量，则与可作为表示平面内所有向量的一组基底；⑤是平面内不共线的两个向量，若，则；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α内不共线的两个向量，则对于平面内的任意向量，使成立的实数对有无穷多个；【提示】注意：理解平面向量基本定理；【答案】②⑤；【解析】①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的选取并不是唯一的；②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；③错误：根据平面向量基本定理可知，必须是不共线向量；④错误：因为，所以向量与是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；⑤正确：因为为一组不共线向量，若，即，只有当时，才能成立；⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对应该只有唯一一对．【说明】本题考查了平面向量基本定理在基底的判断方面的应用；注意：理解基底的“唯一”与“不唯一”；“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；“唯一”：平面内任意向量都可被这个平面内的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．例2、向量，，在正方形网格中的位置如图所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.【提示】注意：由题意确定基向量；【答案】4；【解析】设，分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则＝－＋，＝6＋2，＝－－3，所以－－3＝λ(－＋)＋μ(6＋2)，根据平面向量基本定理，得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(λ,μ)＝4【说明】本题考查了依据平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的实质及应用思路：1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．例3、已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，（1）若，则__________；（2）若，则的取值范围为__________；（3）若，则的最小值为__________；【提示】注意：用平面向量基本定理正确表示，然后，利用代数求值、最值；【答案】（1）3；（2）；（3）；【解析】（1）如图，由题意得存在实数，使得，又，所以，又因为，，且不共线，故由平面向量的分解的唯一性得，所以，故答案为：3；（2）因为点在线段(不含端点，)上移动，设，又，所以，所以，，故的取值范围；（3）由，得，即，因为点在线段(不含端点，)上移动，所以，又因为，所以，，则（当且仅当，即时取等号）；故填；【说明】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量基本定理的应用和代数求值、求最值的交汇；依次为：利用平面向量基本定理找关系，依据比例求值；等价为一元二次函数，在给定区间上求最值；利用基本不等式的求最值；【归纳】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的；应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算；（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式；【即时练习】1、在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)【答案】B；【解析】设＝k1＋k2，A项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))无解；B项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的，可把表示出来．同理，C，D项同A项，无解．2、在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)【答案】C；3、如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则【提示】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果；【答案】【解析】如图所示，因为点D在线段上，所以存在，使得，因为M是线段的中点，所以：，又，所以，，所以.4、已知，若点满足，且，则________．【答案】【解析】由，可得，所以，，即，所以，，故．5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D；设eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝【答案】；【解析】连接BD，DC(图略)，设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6).根据圆的性质得BD＝CD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝；6、如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．【解析】（1）由题意知，A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四边形法则，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2－，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2