考点22 等比数列及其前n项和-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点帮

考点22等比数列及其前n项和等比数列与等差数列同样是高考考查的重点，是必考点，常考查等比数列的基本量的计算，必须熟练掌握.（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．三、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．（4）成等比数列，公比为．（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．（6）当时，；当时，．（7）．（8）若项数为，则，若项数为，则．（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．考向一等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列．（2）等比中项法：数列是等比数列．（3）通项公式法：数列是等比数列．（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.典例1设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是A．①③ B．②④C．②③ D．①②【答案】D【解析】设，①，所以数列是等比数列；②，所以数列是等比数列；③不是一个常数，所以数列不是等比数列；④不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D.【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.典例2已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由得：，因为，所以，从而由得，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如（），在构造数列时，可在等式两边同时加上构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到的表达式，两个式子相减即可得到与的表达式；构造数列{}，即可证明{}为等比数列.（2）利用{}为等比数列，可求得{}的通项公式；将{}分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．已知数列的前项和为，，.数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正实数，使得是等比数列？并说明理由.考向二等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.典例3已知是等比数列，且，，则等于A．B．24C．D．48【答案】B【解析】由题意知，则，所以，故选B．典例4各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为A． B．C． D．或【答案】B【解析】设的公比为q（），根据题意可知，得，解得（负值舍去），而，故选B．【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．在递增等比数列中，是其前项和，若，，则（）．A． B．C． D．考向三求解等比数列的通项及前n项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，；若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，.2．当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.3．（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列．典例5若等比数列的前项和为,且5，则等于A．5 B．16C．17 D．25【答案】C【解析】当公比时，故公比不为1，当公比时，∴，∴，故选C.【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.典例6已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝6，a3＋a4＝72，∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4．又∵an＞0，∴q＞0，∴q＝3，．∴.（2）∵，∴.3．已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.考向四等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例7在等比数列中，是方程的根，则A．B．2C．1D．【答案】A【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.典例8已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．【答案】140【解析】方法1：由，，易得公比，根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，又，所以，．方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，所以．方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，则，即，解得．4．已知等比数列中，，，则的值为（）A．30 B．25C．15 D．101．已知等比数列满足，，则（）A．-48 B．48C．48或-6 D．-48或62．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5 B．7C．9 D．113．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（）A．63 B．64C．127 D．1284．已知数列的前项和，且满足，则（）A．192 B．189C．96 D．935．已知数列是等比数列，若，则（）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值6．已知等比数列的各项都为正数，当时，，设，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．7．各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A． B．C． D．8．已知正项等比数列中，，，表示数列的前项和，则的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知等比数列的前项积为，若，则的值为（）A． B．512C． D．102410．已知无穷等比数列满下列足条件：当时，；当时，，则首项的最小值是（）A． B．4C． D．11．已知等比数列中，，，则的前6项和为__________．12．已知数列各项均为正数，为其前项和．若，，则______．13．设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为_____.14．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.15．已知等比数列的前项和为,,且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项的和.16．已知数列中，且.（1）求，，并证明是等比数列；（2）设，求数列的前项和.17．设为正项等比数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.18．数列的前n项和为，且满足，（1）求通项公式；（2）记，求证：．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设是等比数列，且，，则A．12 B．24C．30 D．322．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=A．2n–1 B．2–21–nC．2–2n–1 D．21–n–13．【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．24．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．6．【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．7．【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．8．【2018年高考全国I卷文数】已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．9．【2018年高考全国III卷文数】等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．10．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．变式拓展变式拓展1．【答案】（1）；（2）存在，，理由见解析.【解析】【分析】（1）由条件写出，与已知式作差，可得，即数列成等差数列，即可求其通项公式；（2）由题设构造，与已知式子相除，可得，即这个数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且公比为9，再根据求的值.【详解】（1），，两式相减，并化简得，，是等差数列，由，可得，数列的公差为2，故；（2）有题意可知，，两式相除，可得，即和都是以9为公比的等比数列，，，，，要使数列是等比数列，则则，又，，，，即，则，因此存在，使得数列是等比数列.【点睛】本题考查与的关系，等差数列，等比数列的定义和性质，属于中档题型，本题的难点是第二问，弄清奇数项和偶数项的关系，再把两个数列通过运算综合在一起.2．【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的下标性质，通过解方程，结合等比数列的通项公式求出等比数列的公比，最后利用等比数列前项和公式进行求解即可.【详解】是等比数列，所以有，，因为是递增等比数列，解得，，所以，得或（舍），，所以．故选：A【点睛】本题考查了等比数列的下标，考查了等比数列前项和公式，考查了等比数列基本量计算，考查了数学运算能力.3．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出公比后可得的通项公式.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）设等比数列的公比为.由，得，得，所以，解得.故数列的通项公式是.（2），则，①，②由①-②，得，故【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.4．【答案】A【解析】【分析】根据题意，设数列的公比为，由等比中项的性质可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式有，计算即可得答案．【详解】根据题意，等比数列中，设其公比为，若，，则，则，则；故选：．【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．考点冲关考点冲关1．【答案】D【解析】由题意，，得或1，当时，，当时，，故选D．2．【答案】A【解析】【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．【详解】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：A.【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．3．【答案】A【解析】【分析】根据，解得，再由，解得，代入前n项和公式求解.【详解】因为，所以，又，所以，即，解得或（舍去），所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的性质及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．【答案】B【解析】【分析】【详解】，时，，解得．时，，时，，可得：，又∴数列是等比数列，首项为3，公比为2．

，选B.5．【答案】C【解析】【分析】根据等比中项的性质得，，，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.【详解】设等比数列的公比，∵，∴，∴，∴，，∴，当且仅当，即时，取等号，故选：C.【点睛】本题考查等比数列的性质，基本不等式的应用求最值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.6．【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的性质化简，得到，从而可以算出的通项公式，进而求出，再结合裂项相消法即可得出结论.【详解】∵数列是各项都为正数的等比数列，∴当时，，∴，又∵为等比数列，∴，，∴，∴，∴，故选：B.【点睛】本题考查等差､等比数列的综合运用，涉及到的知识点有等比数列的性质，裂项相消法求和，需要学生熟练掌握其性质并灵活应用，属于中档题.7．【答案】B【解析】【分析】由，，列方程组求出，利用可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.8．【答案】A【解析】【分析】先计算出数列的通项公式，再计算的前项和，并求的取值范围.【详解】因为，，且，所以公比，，则，，，所以是以为首项，公比为的等比数列，则的前项和当时，有最小值，又,所以的范围是.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前项和，较简单，只需要根据等比数列中的基本公式求解即可.9．【答案】A【解析】,则，而，选.【点睛】本题考查等比数列的性质，注意表示数列的前项的积，注意等比数列的性质，有的灵活应用，还要注意对数的运算法则，运算时小心符号，以免出错.10．【答案】A【解析】【分析】结合数列递推式，分类讨论，时，由递推式求出，不成等比数列，不成立，在时，，再分类，及，可得出结论．【详解】∵下面分情况讨论：当时，，∴，∴，但是，不可能组成等比数列，矛盾；当时，，当时，，因为是等比数列，此时，这与矛盾；当时，，∴，∴，时，，，…，，满足题意．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式、等比数列的概念，解题方法是分类讨论，根据的不同取值范围，由递推式确定数列各项，验证是否构成等比数列，或由等比数列得出结论，验证是否满足题设要求．11．【答案】【解析】因为已知等比数列中，所以，，，则，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12．【答案】127【解析】【分析】根据化简得，又数列各项均为正数，可得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.【详解】因为化简得，又数列各项均为正数，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是．所以．故答案为：127.【点睛】本题考查了等比数列的求和公式,考查学生分析问题的能力，难度较易.13．【答案】【解析】【分析】设正项等比数列的公比为，其中，求得，得到，进而得出，结合数列的函数特性，即可求解.【详解】根据题意，设正项等比数列的公比为，其中，因为，可得，解得或，因为，所以，所以，则，故，当时，则由，则有，所以数列中最大的项为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，以及数列的函数特性，其中解答中熟记等比数列的公式，进而得出数列的通项公式，结合数列的函数特性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【答案】【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有只，类似的方法得到2个月后有只，3个月后有只，根据以上分析进行归纳推理即可得n个月后老鼠的只数.【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数,2个月后老鼠的只数,3个月后老鼠的只数…，n个月后老鼠的只数.故答案为：.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.15．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设等比数列的公比为,再根据等比数列的性质求解得,再根据成等差数列求出首项即可得数列的通项公式.(2)分为偶数与奇数两种情况去绝对值,再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】解：（1）设等比数列的公比为,由,即,得,,所以,,由成等差数列,可得,即,所以,所以.（2）当为偶数时,,当为奇数时,所以.【点睛】本题主要考查了本题主要考查了等比数列性质的运用以及基本量的求解等,同时也考查了分奇偶去绝对值求和的问题.属于中档题.16．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在已知的数列递推公式中分别取，结合已知的首项即可求得的值，再把递推式两边同时减n即可证明是等比数列；（2）由是等比数列求出数列的通项公式，代入，分组后利用错位相减法求数列的前n项和.【详解】（1）由已知，，，即，因为，所以是以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，即，所以，设，且前项和为，所以，①，②①－②得所以，．【点睛】该题考查的是数列的有关内容，涉及到的知识点有等比数列的证明，数列的递推公式，数列的求和方法，注意对式子的正确变形以及相应的公式，才能正确得出结果.17．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的公比为，利用已知条件得，利用定义求得通项公式即可；（2）由，求出的通项公式，利用分组求和法求出即可.【详解】（1）设数列的公比为，则，且，由已知得，即，解得，.（2）由，得，.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及分组求和.属于较易题.18．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．【详解】解：（1），当时，，得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；（2），，时，，，同理：，故：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直通高考直通高考1．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．2．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.3．【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.4．【答案】B【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.5．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式