新人教版高中数学教材例题课后习题必修二103频率与概率

10.3频率与概率

频率的稳定性

例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015

年出生的婴儿性别比分别为和113.51.

（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到）；

（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

分析：根据“性别比''的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，

可以估计男婴的出生率.

11CQQ

解：⑴2014年男婴出生的频率为——士经一“0.537,

100+115.88

2015年男婴出生的频率为一“'51一-0.532.

100+113.51

由此估计，我国2014年男婴出生率约为，2015年男婴出生率约为0.532.

（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具

有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.

例2一个游戏包含两个随机事件Z和8,规定事件”发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.

判断游戏是否公平的标准是事件4和8发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，

而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？

为什么？

解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为,

乙获胜的频率为07根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性

会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意

相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是和，存

在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.

练习

1.判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上,

一次反面朝上；

（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”

的概率为0.4；

（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；

（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概

率各是0.5.

【答案】（1）错误，理由见解析；（2）错误，理由见解析；（3）正确，理由见解析;

（4）错误，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）随机事件的发生具有偶然性，所以说法错误；

（2）频率不等于概率，所以说法错误；

（3）正确;

（4）发生与不发生的概率不一定相等，所以说法错误.

【详解】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种

结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.

（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4,而不是概率是04

（3）正确，理由：这是频率的稳定性.

（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是05

【点睛】此题考查对频率和概率的理解辨析.

2.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,

一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？

【答案】公平，理由见解析

【解析】

【分析】

分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.

【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，

正），（正，反），（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是

【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决

策游戏的公平性，关键在于准确求出概率.

3.据统计力80”省调查了30488人，四种血型的人数如下：

血型AB0AB

人数/人77041076589703049

频率

(I)计算”省各种血型的频率并填表(精确到0.001)；

(2)如果从“省任意调查一个人的血型，那么他是。型血的概率大约是多少？

【答案】(1)见解析；(2)0.294.

【解析】

【分析】

(1)每一种血型的人数除以总人数就是该组频率；

(2)4省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约等于该种血型的频

率.

【详解】解：⑴总人数：7704+10765+8970+3049=30488,

7704crc107658970八”〃3409八⑺八

-----«0.253,------p0.353,------«0.294,------«0.100

30488304883048830488

如表：

血型ABOAB

人数/人77041076589703049

频率

(2)由(1)知〃省。型血的频率为0.294,所以相应概率大约是0.294.

【点睛】此题考查根据已知数据计算频率，并用频率估计概率.

4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

答案不唯一，以买彩票为例子.

【详解】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.

概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.

【点睛】此题考查对生活中的事例进行概率辨析.

随机模拟

例3从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……

十二月是等可能的.设事件4="至少有两人出生月份相同“，设计一种试验方法，模拟20次,

估计事件/发生的概率.

解：方法1根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影

响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.

因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装人编号为1,2,…，12的12

个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个

人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件N发

生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件/发生的频率.

方法2利用电子表格软件模拟试验.在Al，Bl.Cl,DI.El，F1单元格分别输入

“=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.

选中Al，Bl，Cl,DI，El，F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动

到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计

值.

表是20次模拟试验的结果.事件才发生了14次，事件A的概率估计值为，与事件A的概率

(约)相差不大.

表10.34

■

・V

至yd

例4在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜

的概率为，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.

分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1.显然，

甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并匾得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3

局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果

不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.

解：设事件/=”甲获得冠军“，事件8="单局比赛甲胜”，则P（B）=0.6.用计算器或计算

机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.

由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：

423123423344H4453525332152342

534443512541354

相当于做了20次重复试验.其中事件力发生了13次，对应的数组分别是423,123,423,

114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件/的概率的近似

为1二3=0.65.

20

练习

5.将一枚质地均匀的硬币连掷4次，设事件”=“恰好两次正面朝上”，

（1）直接计算事件A的概率；

（2）利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率.

【答案】（1）：（2）答案见解析

O

【解析】

【分析】

（1）依据题意列出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可

求得答案.

（2）利用计算器或计算机生成随机数表，即可求得事件A发生的频率.

【详解】（1）随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，

（正，正，正，正）,（正，正，正，反）,（正，正，反，正）,（正，反，正,正），

（反，正，正，正）,（反，反，正，正）,（反，正，反，正）,（反，正，正,反），

（正，反，反，正）,（正，反，正，反）,（正，正，反，反）,（正，反，反,反），

（反，正，反，反）,（反，反，正，反）,（反，反，反，正）,（反，反，反,反）.

共有16种等可能的结果

其中恰好两次正面朝上情况共有：6种

则事件A的概率为:二=1

168

(2)利用计算机生成随机数表,如下:

88941305945592991890

76192076704870228041

28927711907537664052

59791374955348333330

75946371184997421351

80253978841058363081

41125590855533761550

12399441618263487098

38417536827333506865

98011870486326809120

73596230570560754309

38139029776571377122

61171963480271823442

78486566896310732339

60038962582319219173

59649676121618796356

数表中共有80组数据，每组数据有4个随机数，

规定:数据是奇数代表硬币的反面，数据的偶数代表硬币的正面

由数表可得恰好两次正面朝上的组数有：26

事件A发生的频率:型=见

8040

【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率，掌握概率的基础

知识是解题关键，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

6.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.

(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

(4)设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出

的球是白球''的概率.

【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)"袋中没有黄球，故摸出的球是黄球"是不可能事件；

(2)"摸出的球是白球"是不确定事件，根据概率公式即可求解；

(3)"摸出的球是白球或黑球"是必然事件，故它的概率为1;

(4)利用计算机生成随机数表,即可估计估计“取出的球是白球”的概率.

【详解】(1)从中任意取出一个球，”取出的球是黄球“是不可能事件，它的概率为0.

4

(2)“取出的球是白球”是随机事件事件，它的概率是§.

(3)”取出的球是白球或是黑球''是必然事件，它的概率是1.

(4)用计算机产生1-9的随机数，规定1-4代表白球,5-9代表黑球.

76841

38164

86848

84621

51552

28365

94357

97953

34434

48492

49211

64552

78434

96984

67589

94868

73713

83266

43177

22495

从表中可以查1-4数据有46个,5-9数据有54个.

46

；.“取出的球是白球”的概率为:而=0.46

【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率，掌握概率的基础

知识是解题关键，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

7.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；

（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；

（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？

【答案】（1）,（2）答案见解析（3）答案见解析

【解析】

【分析】

(1)写出基本事件，根据概率的计算公式，即可求得答案；

(2)利用计算机生成随机数表，即可计算出现点数和为7的频率;

(3)分析(1)和(2)所得数据，即可求得答案.

【详解】(1)抛掷两枚骰子，向上的点数有

(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)；

(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);

(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);

(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);

(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);

(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).

共36种情况，其中点数和为7的有6种情况,

•••概率尸=£=」.

366

⑵

6351356642

5466426422

4636422655

5351123224

6252321263

6131122264

6412512352

4625326541

3131154313

5242155226

2261654225

1442112542

2662364162

3431311624

6434224562

5416342264

1223544154

5221453566

1365111441

5154323644

5242155226

2261654225

5352163224

6252321263

规定每个表格中的第一个数字代表第一个骰子出现的数字,

第二个数字代表第二个骰子出现的数字

从表格中可以查出点数和为7等于23个数据

23

••・点数和为7的频率为0.19

120

(3)由(1)中点数和为7的概率为0.17

6

23

由(2)点数和为7的频率为:，茄。0.19

一般来说频率与概率有一定的差距，因为模拟的次数不多，不一定能反映真实情况.

【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表计算事件的频率，掌握概率的基础

知识是解题关键，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

习题

复习巩固

8.在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150

只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一

个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形

状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种

血清感染的概率；

(1)圆形细胞；

(2)椭圆形细胞；

(3)不规则形状细胞.

【答案】(1)0；(2)|；(3)1.

【解析】

【分析】

(1)有圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以150；

(2)有椭圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以250；

(3)有不规则细胞的豚鼠中：被感染个数除以100.

【详解】解：(1)有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；

(2)有椭圆形细胞的胭鼠有250只，被感染的有50只，概率的估计值为券=，

(3)有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，其概率估计值为1.

【点睛】此题考查频率与概率的关系，利用频率估计概率.

9.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1,2,3,4.重复抛掷这个四面体

100次，记录每个面落在桌面上的次数(如下表).如果再抛掷一次，请估计标记3

的面落在桌面上的概率.

四面体的面1234

频数22182139

【答案】

【解析】

【分析】

根据频数计算出频率即可估计概率.

【详解】解：标记3的面落在桌面上的频率为丽=0.21,故其概率的估计100值

为0.21.

【点睛】此题考查频率与概率的关系，用频率估计概率.

10.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率

相当稳定,有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示:

元音字母AE/0U

频率7.88%12.68%7.07%7.76%2.80%

（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率;

（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存

在差异的原因是什么.

【答案】（1）答案见解析；（2）不大接近，原因见解析.

【解析】

【分析】

（1）元音字母出现的频率即NE/OU五个字母出现频数分别除以所有字母出现次数;

（2）不完全接近，随机选一页，其频率往往偏差可能会很大.

【详解】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，

其中元音字母出现频数和频率如下表，

A出现38次，频率为：5.97%

E出现96次，频率为：15.07%

/出现47次，频率为：7.38%

。出现52次，频率为：8.16%

U出现12次，频率为：1.88%

（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有

很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离

概率很大的可能性会越来越小.

【点睛】此题考查频率与概率的关系，试验次数越多，频率越接近概率.

11.人类的四种血型与基因类型的对应为：。型的基因类型为“，/型的基因类型为

出或板，8型的基因类型为方或仍，型的基因类型为其中“和b是显性基

因，，•是隐性基因.一对夫妻的血型一个是Z型，一个是8型，请确定他们的子女

的血型是。，A,8或型的概率，并填写下表：

子女血型的概率

父母血型的基因类型组合

0ABAB

aixbi

aixhb

aaxbi

aaxbh

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再

根据频率与概率的关系即可得解.

【详解】解：当父母血型的基因类型组合由xbi,得子女血型的基因类型有山，而，以万

共4个，则。型血的概率为A型血的概率为工，8型血的概率为1,型血

444

的概率为:，

当父母血型的基因类型组合由x仍，得子女血型的基因类型有。仇时,瓦，历•共4个，

则。型血的概率为0,A型血的概率为0,8型血的概率为:，48型血的概率为:，

当父母血型的基因类型组合aaxbi,得子女血型的基因类型有时，山出共4个，

则O型血的概率为0,A型血的概率为方,8型血的概率为0,N8型血的概率为:，

当父母血型的基因类型组合aax仍，得子女血型的基因类型有ab,ab,ab,ab共4个,

则。型血的概率为0,A型血的概率为0,8型血的概率为0,型血的概率为1,

填入表中，如表所示：

父母血型的基因类型组合子女血型的概率

OABAB

j_j_

aixbi

4444

j_j_

aixbb00

T

\_

aaxbi00

~2T

aaxbb0001

所以一对夫妻的血型一个是/型，一个是8型，则他们的子女的血型基因类型的可

能结果如下：ai9ab9bi9ii,ab.ah,hi.bi,ab9ai9ab9ai,ab，ab,ab,ab共16个,

、.13

则他们的子女的血型是。型血的概率为77，A型血的概率为%,8型血的概率为

1616

39

—,48型血的概率为.

16176T

综合运用

5.“用事件/发生的频率/(，)估计概率P(N),重复试验次数〃越大，估计的就越精确”,

判断这种说法是否正确，并举例说明.

4=”第i次摸到红球”，曰，2,3.

(I)在两种摸球方式下分别猜想事件4,4,4发生的概率的大小关系；

(2)重复做10次试验，求事件4,发生的频率，并填入下表.

放回摸球不放回摸球

/；o(4)

/；o(4)

.Ao(4)

(3)在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率/；0(4)差别大吗？在不放回摸球

方式下，事件4,4,4的频率差别大吗？请说明原因.

【答案】（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）每种摸球方式概率都相等；

（2）进行试验，统计频率；

（3）根据统计结果进行分析.

【详解】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看

成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；

（2）通过试验统计得：（结果不唯一）

放回摸球不放回摸球

22

儿⑷

55

2

九⑷j_

5T

23

儿(

4)5io

（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率工。（4）差别不大，

两种摸球方式频率：4的频率差别很小，无论放回不放回，4不影响

4,4的概率略有影响，因为试验次数较少，频率相比概率有一定偏差.

【点睛】此题考查频率与概率的关系辨析，有放回与无放回摸球频率差异.

变式练习题

13.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5）2[15.5,19.5）4[19.5,23.5）9[23.5,27.5）18[27.5,31.5）11[31.5,35.5）12

[35.5.39.5）7[39.5,43.5）3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5）的概率

约是

【答案】C

【解析】

221

【详解】数据落在［31.5,43.5）的频数为12+7+3=22,所以尸=77=；,应选C.

663

14.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿

命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：

分组[500,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)

频数48121208223

频率

分组[1500,1700)[1700,1900)[1900,+oo)

频数19316542

频率

（1）求各组的频率；

（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的频率.

【答案】⑴见解析；（2）0.6.

【解析】

【分析】（1）由频率=77等频数宜，可得出各组的频率;

样本谷里.

（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和.

【详解】解：（1）解：

[500,[900,[1100,[1300,[1500,[1700,[1900,

分组

900)1100)1300)1500)1700)1900)4-00)

频数4812120822319316542

频率

（2）解:由（1）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足

1500小时的频率为.

15.某医院治疗一种疾病的治愈率为1