专题4.4数列的求和2

知识点一知识点一数列的求和公式1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.常见数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.知识点知识点二几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：①；②；③.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.考点01公式法求和【典例01】（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列，其前项的和为，则.【典例02】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）设等差数列的前n项的和为，满足，，则的最大值为（

）A．14 B．16 C．18 D．20考点02分组求和与并项求和【典例03】（2022秋·福建莆田·高二校考期中）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则（

）A． B． C． D．【典例04】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项之积为.(1)求数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.【总结提升】分组转化法求和的常见类型(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．考点03裂项相消法求和【典例05】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．【典例06】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.(3)，求数列的前项和.【总结提升】1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．考点04错位相减法求和【典例07】（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知数列的首项，且满足，若.(1)求证为等比数列；(2)在数列中，，对任意的，，都有，求数列的前项和.【典例08】（2023秋·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【规律方法】1.使用“错位相减法”的方法步骤：：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.考点05倒序相加法求和【典例09】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【典例10】（2023春·高二校考课时练习）在数列中，，则…的值是.【总结提升】注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．考点06数列与函数的综合问题【典例11】（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数，则；设数列满足，则此数列的前2023项的和为.【典例12】（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．(1)求数列和的通项公式；(2)记，其中，求数列的前项和；(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．【总结提升】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．考点07数列与不等式的综合问题【典例13】（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【典例14】（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.(1)求数列，的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.【总结提升醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用.考点08数列与实际应用问题【典例15】（2022秋·福建宁德·高二统考期中）若某地区2019年年底人口总数为50万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2020年年初开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.2万人，从2030年年初开始到2039年年底每年人口为上一年的99%，（注：2019年年底的人口总数即为2020年年初的人口总数，以此类推）(1)求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2020年年底为第1年）；(2)若实施新政策后，从2020年年初到2039年年底平均每年的人口总数超过51.5万，则需调整政策，否则无需调整，试判断到2039年年底是否需要调整政策，（附：）【典例16】（2023·全国·高二课堂例题）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的．(1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？(2)小球第几次落地时，经过的路程为？【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．考点09数列的“新定义”问题【典例17】（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．【典例18】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足,定义使为整数的k叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.1．（2020·全国·统考高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3.（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．一、单选题1．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里2．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列，则（

）A．20099 B．20100 C．21000 D．2110013．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．2564．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（

）A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化D．若在某一时期内，则这期间人口数不变三、填空题6．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）数列满足，其前n项和为，若，则正整数m的值为．7满足：第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记为数列的前项和，则；当时，若存在，使得，则的最小值为.四、解答题8．（2023·全国·高二课堂例题）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm（如图）．已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？9.（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知等差数列满足，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.10.（2023秋·天津津南·高二校考期末