浙江省湖州市第一中学高三下学期新高考数学模拟试题（原卷版）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（湖州一中测试卷）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则为（）A. B. C. D.2.已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（）A. B. C. D.3.已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（）A.8 B.5 C.3 D.24.甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（

）A. B.C.事件与事件不相互独立 D.、、两两互斥5.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（）A.28 B.29 C.30 D.316.设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（）A B.C. D.7.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8.设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A.若，则与均为实数 B.若与均为实数，则C.若均为纯虚数，则为实数 D.若为实数，则均为纯虚数10.如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A. B.与所成的角可能是C.是定值 D.当时，点到平面的距离为111.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则（）A. B.图象关于点对称C.以6为周期的函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为__________.13.已知，若存在使得，则k的最大值为________．14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.16.在锐角中，设边所对的角分别为，且．（1）证明：（2）若，求的取值范围．17.如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点.（1）证明：平面；（2）当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由.18.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.19.悬链线原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为