重难点3补充拔高：数学核心素养理念下利用直线与圆的向量表示巧解向量最值问题探析

yyVol.33No.6JournalofYanbianInstituteofEducationDec.2019运算能力，并把培养学生的数学运算能力渗透在2不仅作为工具用来解决如解三角形、解析几何等2不仅作为工具用来解决如解三角形、解析几何等和代数法，两种方法各有其优点和局限性。笔者常数，则向量c的终点在圆上.MMAOAN2N0第6期舒华瑛：数学核心素养理念FEABG2EFxFEABG2EFx所以点B落在以EF为直径的圆上..解：如图所示，yA CO为坐标原点，设B(3,0),则点A在以原点为圆心2为半径的xOB2e是.的最小值ab||||l点A落在过原点且倾斜角为600或者1200的射线上,所以ab的最小值就是圆上的点到终点是两条射线，将向量模的最小值转化为圆上的点到射线上的点的距离的最小值.AB=2,CD=4终点是两条射线，将向量模的最小值转化为圆上的点到射线上的点的距离的最小值.的中点.如果对于常数λ,在等腰梯形ABCD的四PE.PF=λ成立，那么λ的取值范围是()))CDC例2图解：设EF的中点为G，22294GF,即点PPGPE.22294GF,即点PPGPE.PF=例4图以点E在以AB为直径的圆上.设C为AB的中ab意，需圆G与梯形ABCD有ab920<λ<,故选答案Cab22PG是定值，所以点P的轨迹是圆，将问题转化为圆与梯形有8个交点，大大的简化了运算.2.2例3.已知a,b,e是平面向量，e是若非零向量a与e的夹角为，向量bAACCCC即ab的最小值是21.即ab0yA范围是yA OBx例, OBx例,坐标原点，设B(1,0),βC的夹角为1200，0所以点A落在ΔOAB的外接圆的优弧OAB上.圆 是(0,].ByBy所以向量a与b的夹Ax0,因为向Ax例6图量ca与向量c例6图A,O,B,C四点共圆.0cc的向量b，记bta(teR)的最小值为dmin，则min的最大值为()yyBODxC例7图DxC例7图为线段BC的中点.所以BO=2BA,所以点B落在圆上.圆心是D(4,0),半径是2.设OM=b一ta,则点M落在过OM点B且平行于OA的直线上.所以的最小值是点B到x轴的距离，这个最小值的最大值是圆的半径2,即dmin的最大值是2.OM定理：A,B为已知两点，P,Q在直线AB上，径的圆上任一点到A,B两点的距离之比为λ.证明：如图所B(0,0),A(A,0),P(,0),Q(,0)O(B)PAQx定理图,以PQ为直径的圆上任y2=0,MP2+y2=(xa)(x1+λ)(x1MP2MQ2x2+y2x2(x)(x)MQ2第6期舒华瑛：数学核心素养理念abBCyBDEAAEAabBCyBDEAAEA2aaa21+λ1λ1λ22aaa21+λ1λ1λ2=1+λ1λ1λ2=1+λ1λ=2axa2=λ2MP=λ.MQ例8.已知平面向量a,b,c满足12a21λ2yDBEDBE设A(1,0),B(0,1),则点C落在以点A为圆心，OGAxOGAxFDCFDC例8图设圆A与圆心A所在直线x=1交于点E,F,G(1,),FG=,==2,且点D,G落在直线EF上，所以圆A上任意一点C到点D的距离都是到点G的距离的2倍，即CD=2CG，取等号当且仅当点C为圆A与线段BG的交点.总结：本例将阿波罗尼斯圆进行逆用，快速例9.已知平面向量a,b,c满足xA(1,0),B(1,),A1(,0),E(1,0),x例9图点C落在圆心为原点ADED1=2,所以圆O上,AA1ADED1=2,所以圆O上,AA1CD1CA2CD1CA2取"="当且仅当点C是线段BD与圆O的交点.经检验线段BD与圆O有交点，所以利用以上五种情况的圆的向量表示解决二、利用直线的向量表示解决向量最值问题利用直线的向量表示解决向量最值问题可分如下三种情况：A落在过点B且平行于OC的直线上.例10.已知平面向量e1,e2是不共线的单位+ke2,若对任意a,b,e2的夹角的范围是.2,2的夹角为θ,取E1(1,0)，yB3A4xO例10图3 3π2π例11.设P为ΔABC所在平面上一点，且满足 .ByB3A4xO例10图3 3π2π例11.设P为ΔABC所在平面上一点，且满足 .BmABPA+PC=CA所以A,C,D三点共线，且D为线段AC的7Dm点P即,a,b(x,y)成立，则a.bP则点A落在以原点为圆心为半径的圆上，点B落在过点E1且平行于a=λb+(1λ)c，取则点A落在直线BC上.(m>0).若ΔABP的面积为8，则ΔABC的面积为7落在过点D且平行于直线AB的直线上，SΔABC行线上..a.b=cosθ,令x+2y=t,所以点C落在AB1的平行直线l上.设原点O到直线AB1的距离为d1，到直线l的距离为d2，cosθ数学运算是数学学科六大核心素养之一，学生数学运算能力的培养是高中教学