专题11 四边形压轴题综合（原卷版）

2/2专题11四边形压轴题综合目录热点题型归纳 1题型01三角形与旋转变换 1题型02三角形与翻折变换 5题型03三角形类比探究问题 8中考练场 10题型01四边形与旋转变换【解题策略】三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。【典例分析】例.（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．(1)求证：；(2)当时，求的长；(3)令，．①求证：；②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．【变式演练】1．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，已知正方形和正方形．(1)在图1中，点E，F，G分别在边，，上，求出的值．(2)将正方形绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接，，请问（1）中的结论是否发生变化？并加以证明；(3)如果正方形的边长为5，正方形的边长为3．当正方形绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，请直接写出的长．2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，四边形和四边形都是正方形，且，交于点A，正方形绕点A旋转，连接，．(1)如图1，求证：，；(2)如图2，将绕点F逆时针旋转，得到线段，连接．①求证：四边形是平行四边形；②连接，若，，直接写出在正方形旋转的过程中，线段长度的最大值．3．（2023广东深圳·模拟预测）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为．(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点重合，边与边重合，边，在同一直线上．请判断：的形状为_____________；(2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即，边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数；(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积．题型02四边形与翻折变换【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．【典例分析】例．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；规律探究：如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．【变式演练】1.（2023·浙江金华·三模）如图，平行四边形中，，，点是边上的点，连结，以为对称轴作的轴对称图形．(1)如图2，当点正好落在边上时，判断四边形的形状并说明理由；(2)如图1，当点是线段的中点且时，求的长；(3)如图3，当点，，三点共线时，恰有，求的长．2．（2023·贵州铜仁·三模）阅读材料：如图，在矩形中，点O是的中点，点E是边上动点，将沿翻折得，连接并延长交边于点M，连接．【发现问题】（1）如图①，判断的形状是________三角形．【探究发现】（2）如图②，当E、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边中点【拓展迁移】（3）如图③，延长交射线于点N，当，，时，求的长．3．（2023·河南洛阳·二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．①______度；②若，求线段的长．(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．题型03类比探究问题【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论。【典例分析】例．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.【变式演练】1．（2023·海南海口·二模）（1）【证明推断】如图，在正方形中，点E是对角线上的动点（与点B、D不重合），连接，过点E作，，分别交直线于点F、G．①求证：；②求的值；（2）【类比探究】如图，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变．①若，，求的值；②若，直接写出的值（用含m的代数式表示）；（3）【拓展运用】如图，在矩形中，点E是对角线上一点（与点B、D不重合），连接，过点E作，，分别交直线于点F、G，连接，当，，时，求的长．2．（2023·山东泰安·三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．【拓展训练】如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）【知识迁移】将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．1．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

2．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．3．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为________．

(2)深入探究小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．探究二：连接，取的中点，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．

4．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．5．（2022·四川乐山·中考真题）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD中，．求证：．证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．6．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

7．（2022·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．(1)判断的形状，并说明理由．(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．(3)点Q在