专题04 四边形的证明与计算（原卷版）

2/2专题04四边形的证明与计算目录热点题型归纳 1题型01四边形与全等 1题型02四边形与相似 7题型03四边形边角计算 18中考练场 36题型01四边形与全等【解题策略】六个全等模型手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．

(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若，且，①求证：；②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．

(1)如图①，求证；(2)如图②，若，过点作交于点，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．【变式演练】1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形中，点分别在上，交于点；(1)_______．(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．2．（2023·山东泰安·三模）已知如图，为正方形的边上任意一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，的平分线交于点．(1)求证：；(2)求证：是等腰直角三角形；(3)如图，若正方形的边长为，连接，当点为的中点时，求的长．3．（2022·湖南长沙·三模）如图，在和中，，，与交于点．

(1)求证：；(2)将关于所在直线翻折，得到，试判断四边形的形状，并证明你的结论；(3)若平分，，，求的长．题型02四边形与相似【解题策略】8字模型 反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形，是对角线上一点．

(1)如图1，连接，．求证：；(2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由；(3)在第（2）题的条件下，．求的值．【变式演练】1．（22-23浙江·模拟预测）在中，D，E分别是，的中点，延长至点F，使得，连接．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)于点G，连接，若G是的中点，，，①求的长．②求平行四边形的周长．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，且，延长至点F，使，连接，交、分别于M、N．(1)求证：四边形为菱形；(2)若且，求的长度．3．（2022·湖北武汉·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，中，点E，F分别在边，上，，，的延长线交的延长线于点G，若，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形中，，，点E，F分别在边，上，，，求的长度．4．（2022·安徽·模拟预测）如图1，是正方形的边上一个动点，连接的平分线交于点，直线于点，交于点，交的延长线于点，连接．(1)求证：．(2)如图2，若，连接并延长，交于点．①求证：；②求的值．题型03四边形边角计算【解题策略】勾股定理常见折叠模型：计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)若，求的长和的面积．例2．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．【变式演练】1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，求的长．2．（2023·广东广州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点．(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若，，求的值．3．（2023·广东深圳·一模）综合与探究在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，当，且时，求的长；(3)如图③，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值．1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．2．（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在中，对角线，垂足为．求证：是菱形．

(2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．

①求证：是菱形；②延长至点，连接交于点，若，求的值．3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

(1)求证：；(2)当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．5．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．(1)求证：；(2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积．6．（2023·辽宁营口