期中解答题压轴必刷（解析版）

期中解答题压轴必刷范围：第1-4单元1．你会求（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1利用上面的结论求（2）22018+22017+22016+…+22+2+1的值．（3）求52018+52017+52016+…+52+4的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1，故答案为：a2019﹣1；（2）22018+22017+22016+…+22+2+1＝（2﹣1）（22018+22017+22016+…+22+2+1）＝22019﹣1；（3）52018+52017+52016+…+52+5+1＝（5﹣1）（52018+52017+52016+…+52+5+1）×，＝×（52019﹣1），所以52018+52017+52016+…+52+4＝52018+52017+52016+…+52+5+1﹣2＝﹣2＝．2．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：根据上述规律，完成下列各题：（1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为32．（2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为2n．（3）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：（4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是，（8，3）表示的数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，1+5+10+10+5+1＝32，故答案为：32；（2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21，第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各项系数和为4＝22，…第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n；故答案为：2n；（3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，∴（6，2）表示第六行第二个数，是﹣＝，按规律计算：第六行：，，，，，，第七行：，，，，，，，第八行：，，…∴（8，3）表示第八行第三个数，是﹣＝；故答案为：，．3．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）试利用这个公式计算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原阴影面积＝a2﹣b2，拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）验证的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，＝（2m）2﹣（n﹣p）2，＝4m2﹣n2+2np﹣p2；②＝＝＝＝5；③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1，＝（232﹣1）（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．4．图（a）是一个长和宽为2m和2n的长方形，用图（a）中的虚线把该长方形平均分成四个小长方形，然后按图（b）的形式拼成一个正方形．（1）图（b）中阴影部分正方形的边长是m﹣n（用含m、n的式子表示）（2）请用两种不同的方法表示图（b）中阴影部分正方形的面积（用含m、n的式子表示）方法①（m﹣n）2．方法②（m+n）2﹣4mn．（3）观察图（b），写出（m+n）2、（m﹣n）2与m•n三者之间的等量关系（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（4）根据（3）中的等量关系，解决问题：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图（b）中阴影部分正方形的边长是m﹣n；故答案为：m﹣n；（2）方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（4）∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，∵a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝36﹣16＝20．5．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．（1）用含a、b的代数式表示GC＝a+b；（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵GC＝GB+BC，∴GC＝a+b故答案为：a+b（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100∴a+b＝10∴GC＝10（3）S△AFC＝S△AFE+S▱FGBE+S△ABC﹣S△FGC＝b（a﹣b）+b2+a2﹣b（b+a）＝ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab＝a2＝×82＝32故答案为：326．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是a+2b（用含a，b的代数式表示）；（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．【答案】（1）a2+3ab+2b2；（2）4，a+2b；（3）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）a＝4b．【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；故答案为：a2+3ab+2b2；（2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，∴此新的正方形的边长是a+2b，故答案为：4，a+2b；（3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）设MN＝x，根据题意，得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，∵S1﹣S2＝3b2，∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，∴（a﹣4b）x﹣（a2+5ab+4b2）＝0，∴（a﹣4b）x﹣（a﹣4b）（a﹣b）＝0，∴（a﹣4b）[x﹣（a﹣b）]＝0∴（x﹣a+b）（a﹣4b）＝0，∴a＝4b或x＝a﹣b，∴a与b的关系为a＝4b．7．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝156．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案为：30；（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，∵（5a+7b）（9a+4b），＝45a2+20ab+63ab+28b2，＝45a2+28b2+83ab，∴x＝45，y＝28，z＝83．∴x+y+z＝45+28+83＝156．故答案为：156．8．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm、ncm的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为6m+6ncm；（2）若每块小矩形的面积为48cm2，四个正方形的面积和为200cm2，试求该矩形大铁皮的周长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）切痕总长＝2[（m+2n）+（2m+n）]，＝2（m+2n+2m+n），＝6m+6n；故答案为：6m+6n；（2）由题意得：mn＝48，2m2+2n2＝200，∴m2+n2＝100，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝196，∵m+n＞0，∴m+n＝14，∴周长＝2（m+2n+2m+n）＝6m+6n＝6（m+n）＝84．9．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠MOC，∴∠AON＝∠NOC．∴ON平分∠AOC．（2）∠BOM＝∠NOC+30°．理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．10．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝75°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论：（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数．【答案】（1）75；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG，理由见解答；（3）142°．【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AHE＝45°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°，故答案为：75；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，∴∠EDK＝α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3α＝22°+2α﹣4°，解得α＝18°，∴∠EDK＝16°，在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．11．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）【答案】（1）90°；（2）68°；（3）﹣．【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的补角＝﹣．12．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，∵DE∥BC，∴∠EDB+∠DBC＝180°，∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°，∵∠CDB＝∠DBC，∠EDF＝∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB＝180°，∴∠FDC+∠CDB＝90°，∴FD⊥BD，∴∠DBF+DFB＝90°．（2）如图2，∵∠BGC＝50°，FD⊥BD，∴∠DHG＝40°，∴∠FDC+∠HCD＝40°，∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，∴∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD，∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°，∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不变，如图3，∵∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN，∴＝＝2．13．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．【答案】（1）120°；（2）EP∥FN，理由见解析；（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°；（2）EP∥FN，如图，理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD，∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，∵∠M与3∠N互补，∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，∴EP∥FN；（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图，∵AB∥CD，∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK，∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP，∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN，由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM，∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF，∴∠EPF+2∠ENF＝180°．②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图，∵AB∥CD，∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN，由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°，由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM，∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM，∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．14．如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）PF＜EF．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵PD∥CF，∴∠PDC＝∠DCF，∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；（2）∵CD平分∠ECF，∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，设∠HPF＝∠HFP＝β，∵PD∥CF，∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，∵PQ平分∠EPH，∴∠HPQ＝＝α+β，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD＝α，∵∠HPQ+∠AEC＝90°，∴（α+β）+α＝90°，∴2α+β＝90°，∴∠EPF+∠HFP＝90°，∴∠EPF＝∠CPF＝90°，∴PF＜EF．15．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝110°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．16．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为135°；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°；（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（4）30°；理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠D＝∠DCB＝30°，∴CB∥AD．17．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数；（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数；（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．【答案】（1）∠BED＝90°；（2）∠BFD＝68°；（3）∠BFD的补角＝﹣．【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的补角＝﹣．18．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过点E作ER∥AB，∵AB∥CD，∴ER∥CD，∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，∴∠ABE＝∠BER＝30°答：∠ABE的度数为30°．（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，设∠CEB＝β，则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝，∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，∴2×+180﹣β＝190，∴α＝10，∴∠ABE＝30°．答：∠ABE的度数为30°．（3）如图3，过点P作PJ∥AB，∵AB∥CD，∴PJ∥CD，∵PK平分∠BPH，∴∠KPH＝∠KPB＝x，∵HN∥PK，∴∠NHP＝x，设∠MHN＝y，∴∠MHP＝x+y，∵HM平分∠DHP，∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，∵∠DHQ＝2∠DHN，∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，∴∠PHQ＝30°答：∠PHQ的度数为30°．19．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，求∠AP2B的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质），即∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）∠P＝2∠P1；（3）由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP，＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP），＝180°﹣（∠DAP+∠FBP），＝180°﹣40°，＝140°．20．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D、A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P（1）如果P点在C、D之间运动时，猜测∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，证明你的结论（2）若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系为∠PBD＝∠PAC+∠APB（3）在（2）的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）结论：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；（2）结论：如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD＝∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC＝∠PBD，∵∠PEC＝∠PAC+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．故答案为∠PBD＝∠PAC+∠APB．（3）结论：∠APB＝2∠AQB．理由：由（2）可知∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，同理∠AQB＝∠QBD﹣∠QAC，∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，∴∠PAC＝2∠QAC，∠PBD＝2∠QBD，∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC＝2∠QBD﹣2∠QAC＝2（∠QBD﹣∠QAC）＝2∠AQB．21．一水果个体户在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜在城镇出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）水果个体户自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这位水果个体户一共赚了多少钱？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可得水果个体户自带的零钱为50元，答：农民自带的零钱为50元；（2）（330﹣50）÷80＝280÷80＝3.5元．答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元；（3）（450﹣330）÷（3.5﹣0.5）＝120÷3＝40（千克），80+40＝120千克．答：他一共批发了120千克的西瓜；（4）450﹣120×1.8﹣50＝184元．答：这个水果贩子一共赚了184元钱．22．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径移动，相应的△ABP的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若AB＝6cm，求：（1）BC长为多少cm？（2）图乙中a为多少cm2？（3）图甲的面积为多少cm2？（4）图乙中b为多少s？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图象可得，点P从点B到点C运动的时间是4s，运动的速度是每秒2cm，故BC的长度是：4×2＝8cm，即BC长是8cm；（2）∵BC＝8cm，AB＝6cm，∴S＝，即图乙中a的值为24cm2；（3）由图可知，BC＝4×2＝8cm，CD＝（6﹣4）×2＝4cm，DE＝（9﹣6）×2＝6cm，AB＝6cm，∴AF＝BC+DE＝14cm，∴图甲的面积是：AB•AF﹣CD•DE＝6×14﹣4×6＝84﹣24＝60cm2；（4）由题意可得，b＝＝s，即b的值是17s．23．甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：（1）求乙的速度？（2）甲中途停止了多长时间？（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据图象，可得乙的速度为：＝（km/h）；（2）甲原来的速度为：＝16（km/h），甲后来的速度为：（km/h），由题意，得＝×16，解得a＝1，则a﹣0.5＝1﹣0.5＝0.5．故甲中途停止了0.5小时；（3）（1﹣0.5）×＝×＝（km），（8﹣）÷（﹣8）＝÷＝（h），乙离A地的路程为：×（+）＝10（km），他们离B地的路程是20﹣10＝10（km）．24．如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，点D为AC的中点．（1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△APD与△BQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△APD≌△BQP；理由见解答；②7.5（厘米/秒）；（2）经过秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇【解答】解：（1）①因为t＝1（秒），所以AP＝BQ＝6（厘米），∵AC＝20，D为AC中点，∴AD＝10（厘米），又∵PB＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（厘米），∴PB＝AD，∵CA＝BC，∴∠A＝∠B，在△APD与△BQP中，，∴△APD≌△BQP（SAS），②因为VP≠VQ，所以AP≠BQ，又因为∠A＝∠B，要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝8，即△APD≌△BPQ，故BQ＝AD＝10．所以点P、Q的运动时间：t＝（秒），此时（厘米/秒），（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AC+BC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得，解得（秒），此时P运动了（厘米），又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P、Q在AC边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AC边上相遇．25．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形△ACD≌△EBD【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是1＜x＜4．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．26．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数60°或72°．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°或72°．【解答】解：（1）不变．∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝45°，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）不变．∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠DAB+∠ABC＝135°，∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠ADC+∠BCD＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，∵∠BAO+∠OAG＝180°，∴∠EAO+∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有两个角度数的比是3：2，故有4种情况：①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．∴∠ABO为60°或72°．故答案为：∠ABO为60°或72°．27．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，，解得；综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．28．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME＝CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．29．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．【答案】（1）证明见解析部分．（2）3．【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．30．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）请说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P（如图2），试探索∠P与∠D、∠B之间的数量关系，并请说明理由；（3）点M在OD上，点N在OB上，AM与CN相交于点P，且∠DAP＝∠DAB．∠DCP＝∠DCB，其中n为大于1的自然数（如图3）．∠P与∠D、∠B之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由．【答案】（1）见解答过程；（2）2∠P＝∠D+∠B，理由见解答；（3）∠P＝，理由见解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）2∠P＝∠D+∠B，理由如下：由（1）可知，∠1+∠D＝∠P+∠3，①∠4+∠B＝∠2+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P＝∠D+∠B；（3）结论：∠P与∠D、∠B之间存在的关系为∠P＝，∵∠1+∠D＝∠P+∠3，①∠4+∠B＝∠2+∠P，②∵∠1＝∠DAB．∠3＝∠DCB，∴∠DAB＝n∠1，∠DCB＝n∠3，∵∠1+∠2＝∠DAB，∠3+∠4＝∠DCB，∴∠1+∠2＝n∠1，∠3+∠4＝n∠3，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（n﹣1）①+②得：（n﹣1）（∠1+∠D）+∠4+∠B＝（n﹣1）（∠P+∠3）+∠2+∠P，即n∠P＝（n﹣1）•∠D+∠B，∴∠P＝．31．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS）则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．32．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC．（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如图所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．（3）GH＝FH+OG．证明：由（1）知：DF＝DO，在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中，∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH＝DM，∠1＝∠ODM．∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM．在△HDG和△MDG中，∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG＝GH，∴GH＝OM+OG＝FH+OG．33．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．答：∠AEB的度数是135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，∴由题意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．①∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°．故答案为60°或45°．34．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接