D9-8多元函数的极值及其求法

第九章第八节二、条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值与最小值2实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出3播放一、多元函数的极值概念和极值的必要条件41、二元函数极值的定义5例1例2例362、多元函数取得极值的必要条件证，

7仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.驻点极值点注意：且偏导存在证毕.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？驻点:8二、极值的充分条件9解1011极值可疑点注:对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按极值定义判定之.12求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.三、多元函数的最大值、最小值问题13解D的图形，如图,

1415解令16无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.17例7用一块面积为12平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大?

解设水柜的长、宽、高分别为x,y,z,则xyz因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容积为4.18实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．四、条件极值与拉格朗日乘数法19一般地，求函数(目标函数),在条件(约束条件)下的极值问题称为条件极值问题.设在点(x0,y0)处f(x,y)取得条件极值.则由隐函数存在定理,方程确定一个连续且具有连续导数的函数y=y(x).从而,一元函数z=f(x,y(x))在x0处取得极值.下面讨论取得条件极值的必要条件：条件极值：对自变量有附加条件的极值．20由一元函数取得极值的必要条件，有21注:一般而言,当得到极值可疑点后,可根据实际问题判断是否在这些点处取得极值,往往所得极值可疑点就是最值点.拉格朗日乘数法称为拉格朗日函数,实数称为拉格朗日乘数.22再求偏导数,建立方程组:

2324例8求函数f(x,y)=x2+2y2在条件x2+y2=1下的最值.解25目标函数：f(x,y)=x2+2y2约束条件：x2+y2=126例9求椭圆抛物面

z=x2+2y2与平面3x+6y+2z=27的交线上与xOy平面的最短的距离.解

27解则

28解

2930由31可得即32多元函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数法(取得无条件极值的必要条件、充分条件)多元函数的最值小结33ThanksP121

题2;5;8;.作业34思考题解答思考题35二、多元函数的极值和最值36二、多元函数的极值和最值37二、多元函数