专题15 解答中档题型：圆的计算与证明（原卷版）

专题15解答中档题型：圆的计算与证明一、解答题1．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线．(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径．3．（2023·广东深圳·统考二模）如图，的弦交于点E，连接，延长到点P，连结与相切，且．(1)求证：点A是的中点；(2)若，，求的长．4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边，以为直径的圆与边交于点D，过点D作，垂足为F，过点F作，垂足为G，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，中，，以为直径的与边分别交于点D、E，过E作直线与垂直，垂足为F，且与的延长线交于点G．(1)求证：直线是切线．(2)若，求半径．6．（2023·广东深圳·统考二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，点O旋转到点C，连接交于点D，∠AOD=60°．(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积．7．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．(1)求证：是的切线；(2)若，，求与的值．8．（2023·广东深圳·统考三模）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．9．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）如图，点C在以为直径的上，点D是的中点，连接并延长交于点E，作，交的延长线于点P．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．10．（2023·广东深圳·深圳大学附属中学校考一模）如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，，求的长．11．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．(1)求证：为的切线；(2)若，求的长．12．（2023·广东深圳·校考二模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．13．（2023·广东深圳·校联考一模）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．14．（2023·广东深圳·二模）如图，是的直径，C是弧的中点，于点E，交于点F．(1)求证：；(2)若，，求的半径及的长．15．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校（集团）高新中学校考三模）如图，在中，，，与交于点F、点D、点E在上，连接．以下提供三个序号及其内容，请你认真思考，选择其中两个序号的内容作为条件，剩余的一个序号的内容作为结论，并完成相应的证明过程（要求写出完整的推理过程）．①为直径

②

③是的切线(1)我选择的两个条件是：______（填写序号），得出的结论是______（填写序号）证明过程如下：(2)若，的半径为3，求的长．16．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．（2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证是中的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径．求的度数．17．（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考一模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．18．（2023·广东深圳·校考三模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．(1)求证：是切线；(2)若直径，，求的长．19．（2023·广东深圳·二模）如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．20．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，是的直径，点P是射线上的一动点（不与点A，B重合），过点作的割线交于点C，D，于，连接．

(1)①在图1的情形下，证明：；②当点处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若的半径为3，当且时，求的长．21．（2023·广东深圳·统考二模）如图，是的外接圆，连接，过点作一条射线．(1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程；(2)若，，，求的长度．（结果保留）22．（2023·广东深圳·统考一模）如图，AB是的直径，弦，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使，连接AF交于点D，连接BD，BF．(1)求证：直线BF是的切线；(2)若AF长为，求BD的长．23．（2023·广东深圳·二模）如图，是的直径，C是上的一点．

(1)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的半径．24．（2023·广东深圳·模拟预测）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点E．（1）求证：；（2）与，分别交于点F，H．①若，如图2，求证：；②若圆的半径为2，，如图3，求的值．25．（2023·广东深圳·校考三模）如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的交于D，交于E，若．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．26．（2023·广东深圳·校考一模）如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于点E．(1)求证：AD是的切线；(2)若，，求的半径．27．（2023·广东深圳·校考三模）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．28．（2023·广东深圳·深圳实验学校校考模拟预测）如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于.

(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径.29．（2023·广东深圳·校考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．30．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．31．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的长．32．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．(1)求证：(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．33．（2023·广东深圳·校考一模）如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；34．（2023·广东深圳·校考三模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？【解决问题】(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，

∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【问题探究】(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

35．（2023·广东深圳·深圳市东升学校校考一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．36．（2023·广东深圳·统考三模）综合与实践数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动