专题32 与圆有关的位置关系【十六大题型】（举一反三）（解析版）

专题32与圆有关的位置关系【十六大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点和圆的位置关系】 5【题型2直线与圆的位置关系】 8【题型3求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】 14【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】 22【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】 27【题型6利用切线的性质求值】 31【题型7证明某条直线是圆的切线】 36【题型8利用切线的性质定理证明】 44【题型9切线的性质与判定的综合运用】 54【题型10作圆的切线】 62【题型11应用切线长定理求解或证明】 68【题型12由外心的位置判断三角形形状】 79【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】 81【题型14由三角形的内切圆求值】 87【题型15与三角形内心有关的应用】 95【题型16三角形外接圆与内切圆综合】 101【知识点与圆有关的位置关系】1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r。性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。2.直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d=r；直线l和⊙O相离d＞r。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。【题型1点和圆的位置关系】【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内【答案】C【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，在Rt△ADP中计算出PD=7，在Rt△PBC中计算出PC=9，则【详解】解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=35∵AB=8，BP=3AP，∴AP=2，BP=6，在Rt△ADP中，AP=2，AD=3∴PD=A在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3∴PC=P∴PC>PD>PB，∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．【变式1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A内，据此即可解答．【详解】∵在Rt△ABC中，BC=3，AC=4∴AB=A∵D为AB的中点，∴AD=1

由上图可知，当⊙A的半径r=AD=52时，点D在当⊙A的半径r=AC=4时，点C在⊙A上，点D在圆内，当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内，当⊙A的半径满足52<r≤4时，点D在当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D在⊙A内，当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在⊙A内，∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是52故选：A【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2-12ax-20=0的两个实数根，则⊙O【答案】12【分析】根据题意知⊙O的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵P是⊙O内一点，∴⊙O的直径为最小距离与最大距离的和，∵最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax∴⊙O的直径为--12a故答案为：12．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．【变式1-3】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（

）A．45 B．1 C．75 D【答案】B【分析】根据题意，分别以B,C为圆心BC的长为半径，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意的点P，在⊙B,⊙C以及BC的垂直平分线上，根据点到圆的距离即可求得PD的最小值【详解】如图，分别以B,C为圆心BC的长为半径，作⊙B,⊙C，作BC的垂直平分线，则符合题意的点P，在⊙B,⊙C以及BC的垂直平分线上，当P位于CD的延长线与⊙C的交点时，取得最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴BC=4,DC=3∴PD≥PC-DC=4-3=1，则最小值为1故选B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键．【题型2直线与圆的位置关系】【例2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是．【答案】1≤r≤5【分析】过M作MH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到HM=1【详解】解：过M作MH⊥AC于H，如图所示：∵CM=2，∠ACB=30°，∴HM=1∵AM=5，⊙M与线段AC有交点，∴r的取值范围是1≤r≤5，故答案为：1≤r≤5．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d>r．【变式2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是【答案】154<PC≤4【分析】根据题意可得PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为Q【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：∴PM⊥AD，在直角梯形ABCD中，∵AD∥∴∠ABC=∠A=90°，∴四边形ABPM是矩形，∴PM=AB=PC=3，PC最大值为圆P'与圆E内切，切点为Q∴P'C=P'Q=P'E+EQ=3+1=4，当PC=PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，设PC=PA=x，则BP=BC-PC=6-x,AB=3，∴6-x2∴x=15则PC长度的取值范围是154<PC≤4或故答案为：154<PC≤4或【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，线段BC=16cm，过点B在线段BC的上方作射线BA，且tan∠ABC=43，动点O从点B出发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA交于点P．连接PQ(1)求BD的长（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．【答案】(1)BD=(2)t=3时，线段PQ与半圆O相切(3)0<t≤3或5<t<8【分析】（1）连接OD，过点O作BC的垂线，垂足为G，tan∠ABC=43，设BG为3m，OG为4m，可得t2=（2）当线段PQ与半圆O相切时，则QP⊥BP，又因为tan∠PBQ=43，设PQ=4k，BP=3k，再根据勾股定理和锐角三角函数值求出BQ=5k（3）根据题意分情况讨论：当半圆O与线段PQ相切时，可以求得t的值；当点E与点C重合时，可以求出t的值，解出相应的取值范围即可．【详解】（1）解：连接OD，过点O作BC的垂线，垂足为G，∵点O为半圆圆心，∴OB=OD=t，∴DG=BG=1∵tan∠ABC=设BG为3m，OG为4m，∴t2解得m=t∴BD=2BG=2×3m=6（2）解：当线段PQ与半圆O相切时，则QP⊥BP，在Rt△BQP中，tan∠PBQ=4∴BQ=P又∵BP=2t，∴2t16-2t∴t=3，∴t=3s时，线段PQ与半圆O（3）解：∵半圆O与线段PQ只有一个公共点，∴当半圆O与线段PQ相切时，由（2）得，t=3s时，线段PQ与半圆O∴当0<t≤3时，半圆O与线段PQ只有一个公共点，当点Q与点D重合时，BD=BQ，∴65解得t=5，∴当5<t<8时，半圆O与线段PQ只有一个公共点，综上所述，t的取值范围为0<t≤3或5<t<8．【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、锐角三角函数、勾股定理的应用和圆的切线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形ABCD，AD>AB

图1

图2(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：AD=2AB；(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断直线DP与过A，E，【答案】(1)见解析；(2)相交，理由见解析【分析】（1）先证明⊙O是△ABD的外接圆，再证明BD是⊙O的直径，再证明△OAB为等边三角形，得∠AOD=120°，得AD=120°π×OA180°（2）设过A,E,F三点的圆为⊙O，连接FD,FB,OF，过点O作OH⊥PD于点H，由对称性质得DP过点E，再由OH<OF，根据直线与圆的位置关系得出结论；【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，O是BD中点，∴AO=1∵AB=OB，∴AB=1∴AB=OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∠AOD=120°，∴AD=120°π×OA∴AD=2AB；（2）解：如图，连接DF，

∵点B，D关于直线EF对称，∴直线EF垂直平分BD；∴BE=DE，BF=DF，∴∠BEF=∠DEF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF=DF=DE，∴四边形BFDE是菱形∴BD垂直平分EF，在BD上取点O，连接OA，∵⊙O经过点E，F，∴OE=OF，∴点O在BD上，∵点C，P关于直线EF对称，∴PF=CF，BP=CD，∵BF=DF，∴△BFP≌△DFC，∴∠BFP=∠DFC，∴∠BFP+∠BFD=∠DFC+∠BFD=180°，∴点D，F，P三点共线；∴∠BPF=∠C=∠BAD=90°，∵∠ADB=∠DBC=∠BDF，∴BP=AB，180°-∠ADB-∠BAD=180°-∠PDB-∠BPF，∴∠ABD=∠PBD，∵OB=OB，AB=DC=BP∴△ABO≌△PBO，∴OP=OA，点P在⊙O上；∴直线DP与⊙O有两个交点；∴直线DP与⊙O相交；【点睛】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，圆周角定理，轴对称的性质，关键是综合应用这些知识解题．【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】【例3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线y=-34x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线ABA．-73,0 B．C．-37,0 D．【答案】B【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线y=-34x-3交x轴于点A，交y∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PDOB∴13∴AP=53∴OP=73或OP=17∴P(-73,0)或故选：B．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．【变式3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．

【答案】1<d<5/5>d>1【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，∴OP=3，∵⊙P的半径为2，∴AP=BP=2，∴OA=1，OB=5，∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，∴平移的距离d的取值范围是1<d<5，故答案为：1<d<5．

【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．【变式3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．【详解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．【变式3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C'(B'，C'分别是B，C的对应点)，则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O

(1)如图2，点B1，C1，B2，C2，①在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l1：②在线段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直线l2：(2)已知直线l3：y=-3x+mm>0交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l3为轴的⊙O的“【答案】(1)①B1C1；(2)m的最大值为83，AC=213；m的最小值为43【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断B1C1⊥直线l2，⊙O的最长的弦即直径为4，可排除B1C（2）画⊙O与⊙T关于直线l3：y=-3x+mm>0对称，以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与【详解】（1）解：①如图所示：

∴以直线l1：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段”是B②∵直线l2：y=-x+b与x轴夹角为45°∴线段B1C1∴线段B1C1关于直线l2的对称线段还在直线∵⊙O的最长的弦即直径为4，B2C2∴线段B2C2∵线段B3C3∥直线l2∴线段B3C3线段B3C3且B3'C如图，平移线段B3C3

(ⅰ)B3'，C3'的坐标分别为0,2，(ⅱ)B3''，C3''的坐标分别为-2,0，综上所述，b=1或3．（2）解：画⊙O与⊙T关于直线l3：y=-∵AB=6，以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与⊙T至少有一个交点，才能满足题目条件，∵⊙O与⊙T关于直线l3则⊙A与⊙O至少有一个交点，如图所示，

此时m取得最小值；

此时m取得最大值；把y=0代入直线l3：y=-3x+m∴点A的坐标为A3∵⊙A与⊙O至少有一个交点，∴-2+解得：43∴m的最大值为83，m的最小值为43连接AC、BC、OC，过点C作CE⊥OA，如图所示，

∵BC=2，⊙O的半径为2，∴△OBC是等边三角形，∴OC=2，OE=BE=1，∴CE=O∵AB=6，∴AE=AB+BE=7，∴AC=C连接AC、BC、OC，过点C作CF⊥AB如图所示，

∵BC=2，⊙O的半径为2，∴△OBC是等边三角形，∴OC=2，OF=BF=1，∴CF=O∵AB=6，∴AF=AB-BF=5，∴AC=C【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画⊙A，则⊙A与⊙T至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键．【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出BC=4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为125，再根据半径r【详解】解：∵AB=3，AC=5，∴BC=A∴斜边AC上的高为：3×45当r=4时，画出图如图所示：

，此时△ABC在圆内部，⊙B与AC只有一个交点，当3<r<4时，画出图如图所示，

，此时⊙B与AC只有一个交点，当r=12

，此时⊙B与AC只有一个交点，∴三人的答案合在一起才完整，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式4-1】（2023·湖南·中考真题）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】C【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若d＞r，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点．【详解】∵⊙O的直径等于12cm，∴该圆的半径是6cm，即r=6cm，∵圆心O到直线l的距离为5cm，即d=5cm，∴d＜r，∴直线和圆相交，∴直线l与⊙O的交点个数为2．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．【变式4-2】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA的范围是.【答案】15【分析】在圆心从点O1运动到O3过程中，⊙O在⊙O2与⊙O3之间时与矩形有5个交点，过点O2作O【详解】如图所示，⊙O2与矩形有4个交点，当O2再往点C运动一点就会与矩形有⊙O3与矩形有6个交点，当O3往点A运动一点就与矩形有所以，⊙O在⊙O2与⊙O3之间时与矩形有过点O2作O2E⊥CD，过点O设⊙O的半径为r，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC=10∵O∴O2∴10-r10∴r=15∵O3∴O∴10-r10r=40∴154故答案为：154【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，相似三角形的性质，解题的关键是找到⊙O与矩形有5个交点的两种临界点，画出相应的图形，再根据相似三角形的性质进行求解．【变式4-3】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，则a的值为（A．4 B．92 C．112 D【答案】D【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB=10；再求得直线AC的解析式为y=-x+6；设⊙P的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据S△AOB=S△AOP+S△APB+S△BOP求得m=1，即可得点P的坐标为（【详解】在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，∴AB=O∵OB=8，BC=2，∴OC=6，∴C（0，6）；∵OA=6，∴A（6，0）；设直线AC的解析式为y=kx+b，∴6k+b=0b=6解得k=-1b=6∴直线AC的解析式为y=-x+6；设⊙P的半径为m，∵⊙P与OB相切，∴点P的横坐标为m，∵点P在直线AC上，∴P（m，-m+6）；连接PB、PO、PA，∵⊙P与OB、AB均相切，∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，∵P（m，-m+6）；∴△AOP边OA上的高为-m+6，∵S△AOB∴12解得m=1，∴P（1，5）；∵抛物线y=ax2过点∴a=5．故选D．【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出⊙P的半径是解决问题的关键．【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】【例5】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（

）A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC【答案】A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若DE=DO，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若DE=DO，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-1】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为．【答案】1或5/5或1【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为1或5．【变式5-2】（2023·吉林·一模）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是________________．（2）如图2所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．【答案】（1）∠BAE=90°或∠EAC=∠ABC或AE⊥AB等；（2）是，证明见解析．【分析】（1）根据切线的性质添加适合的条件即可；（2）作直径AM，连MC，利用圆的性质直径所对的角为直角以及同弧所对的圆周角相等，进行等角转换，即可得出∠CAM+∠CAE=90°，即可判定其为切线.【详解】（1）∠BAE=90°或∠EAC=∠ABC或AE⊥AB等(其他填法正确也可)（2）是；作直径AM，连MC则∠ACM=90°，∠M=∠B∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°∵∠CAE=∠B∴∠CAM+∠CAE=90°∴AE⊥AM∵AM为直径∴EF是⊙O的切线．【点睛】此题主要考查圆的性质和切线的性质和判定，熟练掌握，即可解题.【变式5-3】（2023·贵州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=ACC．CD=DB D．AC∥OD【答案】A【详解】：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．故选A.【题型6利用切线的性质求值】【例6】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B．若△ABC∽△CBO，则sin∠ACB=

【答案】63/【详解】题主要考查了相似三角形的性质，求角的正弦值，掌握正弦的概念，理解相似三角形的性质是解题关键．由△ABC∽△CBO，可得BCAB【点睛】解：∵△ABC∽△CBO，∴BCAB=OB∴BC=∵BC与⊙O相切于点B．∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，sin∠ACB=故答案为：63【变式6-1】（2023·海南三亚·统考二模）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C是⊙O上一点，若∠ACB=32°，则∠P的度数为．【答案】26°/26度【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接OA，由切线的性质得到∠OAP=90°，由圆周角定理求出∠AOB=64°，即可得到∠P=90°-∠AOP=26°．【详解】解：连接OA，∵PA切圆于A，∴半径OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠ACB=12∠AOB∴∠AOB=64°，∴∠P=90°-∠AOP=26°．故答案为：26°．【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，E是⊙O的直径AB延长线上一点，过点E作⊙O的切线EC,C为切点，D是⊙O上一点（在直径AB的下方）．若∠AEC=50°，则∠ADC的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查切线的性质，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，理解题意，准确添加辅助线是解题关键．连接OC，由切线的性质可得∠COE=40°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半分析求解．【详解】解：连接OC，∵过点E作⊙O的切线EC,C为切点，∴∠OCE=90°，∵∠AEC=50°，∴∠COE=40°，∴∠AOC=140°，∴∠ADC=故答案为：70°．【变式6-3】（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）如图，△ABC内接于⊙O．AB是直径，过点A作直线MN，且MN是⊙O的切线．(1)求证：∠MAC=∠ABC．(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD=FG．②若BC=3，AB=5，试求AE的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②1【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得出∠CAB+∠ABC=90°，由切线的性质定理得出MA⊥AB，∠MAC+∠CAB=90°即可得出结论；（2）①由等弧所对的圆周角相等得出∠DBC=∠ABD，由直角所对的圆周角为90°得出∠CBG+∠CGB=90°，由垂直的定义得出∠FDG+∠ABD=90°，等量代换得出∠FDG=∠CGB=∠FGD，即可得出结论；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点，由角平分线的性质得出DE=DH，由全等三角形的判定得出Rt△BED≌Rt△BDHHL和Rt△ADE≌Rt△CDH【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°；∵MN是⊙O的切线；∴MA⊥AB，∴∠MAC+∠CAB=90°，∴∠MAC=∠ABC；（2）解：①∵D是弧AC的中点，∴∠DBC=∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠ABD，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，∴FD=FG．②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE=DH，在Rt△BDE与RtDH=DEBD=BD∴Rt∴BE=BH，∵D是弧AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE与RtDE=DHAD=CD∴Rt∴AE=CH．∴BE=BC+CH=AB-AE=BH，即5-AE=3+AE，∴AE=1．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．【题型7证明某条直线是圆的切线】【例7】（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若AC=5，∠E=30°，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查切线的判定，直径所对圆周角为直角，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．（1）连接OC，由等边对等角及角平分线定义可证得OC与PA平行，进而可证明CD⊥OC；（2）由直径所对圆周角为直角，结合∠E=30°，结合证明∠CAD=60°，解直角三角形求出CD即可．【详解】（1）证明：连接OC．∵AC平分∠PAE，∴∠PAC=∠EAC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠PAC，∴OC∥PA，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵∠E=30°，∴∠CAD=∠CAE=60°，∵∠CDA=90°，∴CD=CA⋅sin【变式7-1】（2023·江苏淮安·校考模拟预测）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．(1)判断直线AB与⊙O的位置关系并说明理由；(2)PC=26，OA=4，【答案】(1)直线AB是⊙O的切线；(2)PB=【分析】此题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键，（1）连接OB，根据AB=AC得到∠ABC=∠C，由OA⊥l得到∠APC+∠C=90°，由此推出∠APC=∠OBP，得到∠OBP+∠C=90°，即∠OBA=90°，即可推出直线AB是⊙O的切线；（2）过点O作OH⊥BC于点H，如图，则BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=4-r，根据勾股定理得到AC,AB，求出r，再根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：连接OB，如图，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OA⊥l，∴∠PAC=90°，∴∠APC+∠C=90°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB∵∠APC=∠OPB，∴∠APC=∠OBP，∴∠OBP+∠C=90°，∴∠OBP+∠ABC=90°即∠OBA=90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）过点O作OH⊥BC于点H，如图，则BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=4-r，在Rt△APC中，A在Rt△ABO中，A∴PC∴26解得r=1，∴OP=1，AP=3，∵∠OHP=∠PAC=90°,∠HPO=∠APC，∴△HPO∽△APC，∴HPAP∴HP3=1∴PB=2HP=【变式7-2】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若EF=6,cos①求BF的长；②求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)①BF=5；②⊙O的半径为10【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得CF=CE=12EF=3,∠F=∠ABC，在Rt△BCF中，利用余弦的意义解答即可；②在【详解】（1）证明：∵BC=DC，∴BC=∴∠A=∠CBD，∵BE=BF，∴∠BEC=∠F．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BEC+∠CBE=90°，∴∠F+∠A=90°．∴∠ABF=90°，∴OB⊥BF，∵OB是圆的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：①由（1）得：BE=BF，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥EF，∴CF=CE=1∵∠ABC+∠CBF=90°,∠CBF+∠F=90°，∴∠F=∠ABC，在Rt△BCF∵cos∠F=∴BF=CF÷3②在Rt△BCF中，BC=在Rt△ABC∵cos∠ABC=∴AB=20∴⊙O的半径为103【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述性质是解题的关键．【变式7-3】（2023·广东茂名·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得∠PAD=∠ABD，等量代换后即可得∠PAB=90°，进而得证；（2）连接OE,EB，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠DBE，由垂径定理可得DE=EB=2（3）过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例，求得DG=22，设⊙O的半径为x，则GB=12OE=12x，【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵AD∴∠AED=∠ABD，∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD，∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，即∠PAB=90°，∴PA是⊙O的切线，（2）如图，连接OE,EB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴DE=BE=2∴OE⊥BD∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠DAE=∠AEO，∴AD∥∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥DB，AE⊥EB，即∠ADF=∠BEF=90°，∵∴∠DAE=∠DBE，∴tan∴EF∴EF=22（3）如图，过点B作BG∥由（2）可知AD∥∴OE∥∵AO=OB=BC，∴DE=EG=GC，设⊙O的半径为x，则GB=1∵AD∥∴△CGB∽△CDA，∴CG∴AD=3GB=3∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2∴DG=2DE=22在Rt△DBG中，D在Rt△ADB中，A即32解得：x=2（负值舍去），∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．【题型8利用切线的性质定理证明】【例8】（2023·广东江门·统考一模）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．

(1)求CP•CQ的值；(2)如图2，连接PB，AQ交于点M，证明直线【答案】(1)CP•CQ的值为1(2)见解析【分析】（1）连接OP、OQ，由切线的性质可推出AP∥BQ，∠OAP=∠OBQ=90°；进一步可得∠AOP=∠BQO，AP（2）延长CM交AB于点H，证△QMB∽△AMP，可得MQ【详解】（1）解：如图1，连接OP

∵PA、BQ、PQ分别与⊙O相切于点A、∴AP⊥AB，BQ⊥AB，∠OPC=∠OPA=12∠APC∴AP∥BQ，∴∠APC+∠BQC=180°，∴∠OPC+∠OQC=12∴∠POQ=90°，∴∠AOP=∠BQO=90°-∠BOQ，∴APOA=tan∠AOP=∵AB是⊙O的直径，AB=2，∴OA=OB=1，∴AP•BQ=OA•OB=1，∵AP=CP，∴CP•CQ=1，（2）证明：如图2，延长CM交AB于点H，

∵AP∥∴△QMB∴MQ∴MQ∴MQ∵∠MQC=∠AQP，∴△MQC∽∴∠MCQ=∠APQ，∴AP∥∴∠MHC=∠BAP=90°，∴MC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判断与性质、正切的定义等知识点．掌握相关结论是解题关键．【变式8-1】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB．

(1)求证：∠APO=∠BPO；（用两种证法解答）(2)若DP=DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)PB=3【分析】（1）证法一：如图．连接OB．利用切线的性质证明Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），进而可得结论；证法二：如图．连接OB,AB,AB与OP相交于点E．证明直线OP（2）如图，连接OB．由切线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明∠DBP=∠DPB=30°，△ODB为等边三角形，即可得出结论PB=3【详解】（1）证法一：如图．连接OB．

∵PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点，∴OA⊥PA,OB⊥PB,OA=OB．在Rt△PAO与Rt∵PO=PO，OA=OB，∴Rt△PAO≌Rt∴∠APO=∠BPO．证法二：如图．

连接OB,AB,AB与OP相交于点E．∵PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点，∴OA⊥PA,OB⊥PB,OA=OB．∴∠PAO=∠PBO=90°,∠OAB=∠OBA，∴∠PAO-∠OAB=∠PBO-∠OBA，即∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴直线OP是线段AB的垂直平分线，即PE垂直平分AB．∵PA=PB，∴∠APO=∠BPO．（2）PB=3证明：如图．连接OB．∵PB是⊙O的切线，B是切点，∴OB⊥BP．∴∠OBP=90°，∵DP=DB,OD=OB，∴∠DPB=∠DBP,∠ODB=∠OBD，∵∠ODB=∠DPB+∠DBP，∴∠ODB=2∠DBP，∴∠OBD=2∠DBP，∵∠OBD+∠DBP=90°，∴2∠DBP+∠DBP=90°，∴∠DBP=∠DPB=30°．∴∠ODB=60°．∴在Rt△PBO中，PB=∴PB=3∵OD=OB,∠ODB=60°，∴△ODB为等边三角形，∴OB=BD，∵DP=DB，∴OB=PD，∴PB=3

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有一定的综合性，但难度不大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．【变式8-2】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，圆O中内接△ABC，过点A作圆O的切线l，作直线CD使得∠ACD=∠B，并交AB于E．(1)证明：CD∥l；(2)若CE=CA=2EA=2，求ED的值；(3)证明：BC【答案】(1)见解析(2)DE=(3)见解析【分析】（1）连接OA，交CD于点M，根据切线的性质可得∠OAG=90°，根据垂径定理可得∠OMC=90°，继而得出∠OMC=90°=∠OAG，再根据同位角相等两直线平行证明即可；（2）通过证明△ACE∼△ABC，△AEC∼△DEB，再利用相似三角形的性质求解即可；（3）先通过证明△BCA∼△BED，利用相似三角形的性质得出BA⋅BE=BC⋅BD，再由角平分线定理得BDBC=DE【详解】（1）连接OA，交CD于点M，∵过点A作圆O的切线l，作直线CD使得∠ACD=∠B，∴∠OAG=90°,AC∴OM⊥CD，∴∠OMC=90°=∠OAG，∴CD∥（2）连接OC并延长交⊙O于点F，连接AF,BD，∵∠ACD=∠ABC,∠CAE=∠BAC，∴△ACE∼△ABC，∴ACAB∵CA=2EA=2，∴AE=1，∴2AB=1∴BE=AB-AE=3，∵∠CDB=∠CAB,∠AEC=∠DEB，∴△AEC∼△DEB，∴AEDE∵CE=2，∴1DE=2（3）如图，∵∠ACD=∠ABC=∠ABD，∠BAC=∠BDC，∴△BCA∼△BED，∴BABD=BC由角平分线定理得BDBC=DE∴BA⋅BEBC⋅DE∴BC【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，角平分线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式8-3】（2023·河南许昌·统考二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：已知：如图1，△ABC为已知三角形，如图2，HG是⊙O的切线，D为切点，∠EDH=∠B，∠FDG=∠C．求证：△DEF∼△ACB．小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长DO，交⊙O于点P，连接PE，PF．(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：△DEF∼△ACB；(2)若AB=AC=5，BC=8，EF=16，求⊙O的半径．【答案】(1)见详解．(2)25【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠PED=∠PFD=90°,得到∠DPE+∠PDE=90°,∠DPF+∠PDF=90°,根据切线的性质，得到∠PDH=∠PDG=90°,推出∠EDH+∠EDP=90°,∠FDG+∠FDP=90°,再由圆周角的性质，得到∠DPE=∠DFE,∠DPF=∠DEF,从而得到∠DFE=∠B,∠DEF=∠C,即可得出相似．（2）连接OD，OE，OD与EF交于点M，由题意可得出EF//HG,DE=DF,由OD⊥HG,可得到EM=FM=12EF=12×16=8,根据△DEF∼△ACB.易得【详解】（1）在小冉添加了辅助线的基础上，证明如下：∵DP是⊙O是的直径，∴∠PED=∠PFD=90°,∴∠DPE+∠PDE=90°,∠DPF+∠PDF=90°,∵HG是⊙O的切线，∴PD⊥HG,∴∠PDH=∠PDG=90°,∴∠EDH+∠EDP=90°,∠FDG+∠FDP=90°,∴∠EDH=∠DPE,∠FDG=∠DPF,∵∠DPE=∠DFE,∠DPF=∠DEF,∴∠EDH=∠DFE,∠FDG=∠DEF,∵∠EDH=∠B,∠FDG=∠C,∴∠DFE=∠B,∠DEF=∠C,∴△DEF∼△ACB.（2）如图，连接OD，OE，OD与EF交于点M，由（1）得，∠DEF=∠FDG=∠C,∠DFE=∠EDH=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEF=∠FDG=∠DFE=∠EDH,∴EF//HG,DE=DF,∵OD⊥HG,∴EM=FM=∵△DEF∼△ACB.∴∴∴DE=DF=10,∵∠EMD=90°,∴DM=∴OM=OD-DM=OD-6,∵∠OME=90°,∴O∵OD=OE,∴∴OD=∴⊙O的半径为：25【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角的性质，相似三角形的判定性质，勾股定理，正确理解题意是解本题的关键．【题型9切线的性质与判定的综合运用】【例9】（2023·广东肇庆·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为(2)在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；(3)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)12(2)详见解析(3)BE能与⊙O相切，此时BE=213或【分析】（1）可得∠EAB=∠DEA，求出tan∠DEA（2）连接OF，证明△ADE≌△BCE(SAS)，得出AE=BE，则∠EAB=∠EBA．证出OF∥EB．可得出（3）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，CD∥AB，CD=AB=13，∴∠EAB=∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE=1∴tan故答案为：1213（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，又CE=DE，∴△ADE≌△BCE(SAS∴AE=BE，∴∠EAB=∠EBA．∵OF=OA，∴∠OAF=∠OFA，∴∠OFA=∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．设DE=x，则EC=13-x．由勾股定理得：AE即(36+x整理得x2解得：x1=4，∴DE=4或9，当DE=4时，CE=9，BE=C当DE=9时，CE=4，BE=C∴BE能与⊙O相切，此时BE=213或3【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键．【变式9-1】（2023·山西太原·太原五中校考一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC垂直与点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．【答案】AB=OB，EN切半圆O于F，EO就把∠MEN三等分【分析】证明△ABE≌△OBESAS，求出∠1=∠2，证明BE⊥OB，得出BE是⊙O的切线，EF切半圆O于F，得出EB=EF，证明Rt△BOE≌Rt△FEOHL，【详解】解：已知：如图2，点A，B，O，EB⊥AC，AB=OB．M、A、E三点共线．求证：EB，EO把∠MEN三等分，证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE=∠OBE=90°，∵AB=OB，BE=BE，∴△ABE≌△OBESAS∴∠1=∠2，∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线，∵EF切半圆O于F，∴EB=EF，∠OFE=90°，∵AO=AO，∴Rt△BOE≌∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，∴EB，EO就把∠MEN三等分．故答案为：AB=OB，EN切半圆O于F，EO就把∠MEN三等分．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，切线性质和判定，解题的关键是理解题意，作出辅助线，证明∠1=∠2=∠3．【变式9-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．

(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段MN，【答案】(1)见解析(2)MN=BM+DN，证明见解析【分析】（1）根据CF⊥OE，OC是半径，可得CF是⊙O的切线，根据BE是⊙O的切线，由切线长定理可得BF=CF，进而根据sinE=CFEF=12，得出∠E=30°，∠EOB=60°，根据CD=CB得出CD=CB，根据垂径定理的推论得出OC⊥BD，进而得出（2）延长ND至H使得DH=BM，连接CH，BD，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC=∠MBC，证明△HDC≌△MBCSAS，结合已知条件证明NC=NC，进而证明△CNH≌△CNMSAS，得出NH=MN，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是⊙O的切线，∵BE是⊙O的切线，∴BF=CF，∵EF=2BF∴EF=2CF，∴sin∴∠E=30°，∠EOB=60°，∵CD=CB∴CD=∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°=∠EBO，∵∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=BO=1∴△ABD≌△OEBAAS（2）MN=BM+DN，理由如下，延长ND至H使得DH=BM，连接CH，BD，如图所示

∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°∴∠HDC=∠MBC，∵CD=CB，DH=BM∴△HDC≌△MBCSAS，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH由（1）可得∠ABD=30°，又AB是直径，则∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°，∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=120°-∠NCM=120°-60°=60°，∴∠DCH+NCD=∠NCH=60°,∴∠NCH=∠NCM，∵NC=NC，∴△CNH≌△CNMSAS，∴NH=MN，

∴MN=DN+DH=DN+BM．即MN=BM+DN．【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式9-3】（2023·浙江杭州·校考二模）知：如图1，AB是⊙O的弦，点C是⊙O的半径OB的延长线上一点，将ΔABC翻折得到△ABC'，AC'

(1)求证：BC(2)若AC与⊙O相切．①如图2，点C'落在⊙O上，求sin②如图3，若OA=10，AB=12，求△BDC【答案】(1)见解析(2)①12；②15552【分析】（1）证明∠ABC（2）①通过∠C、∠C'和∠O的关系，结合△OAC是直角三角形得到∠C=30°，进而求②说明△C'DB【详解】（1）证明：∵将△ABC翻折得到△ABC∴∠ABC=∠ABC∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠ABC+∠OBA=180°，∴∠ABC∴BC（2）解：①∵AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠O+∠C=90°，∵将△ABC翻折得到△ABC∴∠C=∠C∵∠O=2∠C∴∠O=2∠C，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴sin②作OE⊥AB，垂足为E，则AE=EB=1

∴OE=O∵BC∴∠OAD=∠C∵∠AOD+∠C=90°，∠C=∠C∴∠AOD+∠OAD=90°，∴AC∵S△OAB=∴AD=48∴OD=O∴BD=OB-OD=10-14∵∠OAD=∠C'，∴△C∴BDOD即365∴DC∴S【点睛】本题以圆为载体考查了圆的性质，平行线的判定，翻折问题，相似，解直角三角形等知识，（2）②的关键是得出△C【题型10作圆的切线】【例10】（2023·江苏南京·一模）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线；①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．(1)用尺规完成作图步骤②；(2)连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD(3)求证：直线AD为⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意完成作图即可；（2）由作图可知，AC=AD,BC=BD=AB，证明△ABC≌△ABDSSS（3）连接OA,OB，根据BC=AB推出OB⊥AC，则∠OBA+∠BAC=90°，进而得出∠OAB+∠BAD=90°，即可求证．【详解】（1）解：如图：直线AD即为所求；（2）证明：由作图可知，AC=AD,BC=BD=AB，在△ABC和△ABD中，AC=ADBC=BD∴△ABC≌△ABDSSS∴∠BAC=∠BAD，∴AB平分∠CAD（3）证明：连接OA,OB，由（2）可得：BC=AB，∴点B为AC中点，∴OB平分AC，∴OB⊥AC，∴∠OBA+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∵∠BAC=∠BAD，∴∠OAB+∠BAD=90°，即OA⊥AD，∴直线AD为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握在同圆中，半径都相等；全等三角形对应角相等；经过半径外端且垂直于半径的直线与圆相切．【变式10-1】（2023·福建福州·统考三模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，根据直径所对的圆周角等于90°可得OA⊥PA，OA′⊥PA′，根据切线的判定定理可得PA、PA′是⊙O的切线.【详解】如图，作OP的垂直平分线，交OP于O′，以O′为圆心，O′P为半径画圆，交⊙O于A、A′，∴∠OAP=90°，∠OA′P=90°，∴PA、PA′是⊙O的切线，∴PA和PA′即为所作，

【点睛】此题综合考查切线的性质及圆周角定理，能够结合切线的性质定理和圆周角定理的推论分析出切点的位置是解题关键.【变式10-2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：CA与⊙O相切：(3)当BD=23，∠ABD=30°时，求劣弧BD【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）作BD的垂直平分线交BC于O，以CO为半径画圆O分别交BC、BA于点E、F，则⊙O即为所求；（2）连接OD，得到OD=OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，等量代换得到∠ODB=∠ABD，根据平行线的判定定理得到OD∥（3）连接DE，根据圆周角定理得到∠BDE=90°，根据三角形的内角和得到∠BOD=120°，根据勾股定理得到BE=4，从而得到半径根据弧长的公式即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：连接OD，则OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∵∠OBD=∠ABD，∴∠ODB=∠ABD，∴OD∥∵∠A=90°，∴∠ODA=90°，即AC⊥OD，∴AC与⊙O相切；（3）如图，连接DE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°，∵∠OBD=∠ODB=30°，∴∠BOD=120°，在Rt△BDE中，BE=∴⊙O的半径=2，∴劣弧BD的长=120π×2【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，平行线的判定，基本作图，作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．【变式10-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=23（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4【分析】（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明RtΔPAO≅RtΔPCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；（3）先证明ΔOAC为等边三角形得到OA=AC=23，∠AOC=60°，再计算出AP=2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC【详解】（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=23，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB求证：PB、PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD=120°，PAC=30°，∴∠PCA=30°，∴PA=PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO=∠PCO=90°，∵OP=OP，∴RtΔPAO≅RtΔPCO(HL)∴OA=OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP=∠OCP=90°-30°=60°，∴ΔOAC为等边三角形，∴OA=AC=23，∠AOC=60°∵OP平分∠APC，∴∠APO=60°，∴AP=3∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S四边形APCO-S【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．【题型11应用切线长定理求解或证明】【例11】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝45，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值．【答案】(1)4(2)154(3)2或12．【分析】（1）当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，易证四边形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'=10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，根据切线长定理可得A'D=PD，B'【详解】（1）解：如图，当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE，AD＝BE＝4，∴EC＝BC－BE＝10－4＝6，∵在Rt△DEC中，sinC＝DECD∴设DE＝4k，CD＝5k（k＞0），由勾股定理得：EC2+D整理得：k2∵k＞0，∴k=2，∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，∴AB＝DE＝8，∴OA＝OB＝4，∴OD＝42∴DM=42即DM的最大值为42（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'=10，连接A'N，过点在Rt△CDE中，sin∠CDE=CECD∵A'∴∠A在Rt△A'B'∵sin∠A'∴A'N=3∵S△∴NF=A∴点N到AB的距离为OO（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'∴A'D=PD，∵AA∴A'D=4-x，∵CD=PD+PC=A∴10=4-x+10-x，解得：x=2；当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，如图，则ABB'A'是矩形，A'∴A'D=QD，∵AA∴A'D=x-4，∵CD=QD+QC=A∴10=x-4+x-10，解得：x=12；综上，当⊙O′与CD相切时，x的值为2或12，故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．【变式11-1】（2023·山东威海·统考一模）如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC=y．(1)求证：AB(2)求y与x的函数关系式；(3)若x，y是方程2x2-30x+a=0【答案】(1)证明见解析．(2)y=(3)45【分析】（1）连接OD、OE、OC，证明全等三角形，根据全等的性质得出∠AOD=∠DOE，再由相似三角形得出AOBC（2）根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在Rt△DFC中，根据勾股定理得出y与x的关系．（3）由（2）得xy=36，根据根与系数的关系得a的值，再通过解一元二次方程求得x、y的值，再根据AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，推出S△AOD【详解】（1）证明：连接OD、OE、OC．∵AD,BC,DC与⊙O相切于A、B、E点．∴AD=DE,BC=CE在△OAD和△OED中∵∴△OAD≅△OED∴∠AOD=∠DOE同理可得：△OEC≅△OBC∴∠EOC=∠BOC∴∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠BOC=180°∴∠DOE+∠EOC=90°∴OD⊥OC在Rt△AOD中，∵∠AOD+∠ADO=90°，∠AOD+∠BOC=90°∴∠BOC=∠ADO∵∴Rt△AOD∼Rt△BOC∴∴AO⋅OB=AD⋅BC∵AO=OB=12AB，∴∴A（2）作DF⊥BN交BC于F．∵AM,AN与⊙O切于A、B．∴AB⊥AM,AB⊥BN∵DF⊥BN∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°∴四边形ABFD是矩形．∴BF=AD=x,DF=AB=12∵BC=y∴FC=BC-BF=y-x∵DE切⊙O切于E∴DE=DA=x,CE=CB=y则DC=DE+CE=x+y在Rt△DFC中，由勾股定理得：x+y整理得：y=∴y与x的函数关系是：y=（3）连接OD、OE、OC∵y与x的函数关系是：y=∴xy=36∵x,y是方程2x∴xy=a2∴原方程为：x∵解得：x=3y=12或∵x∴∵AD,BC,CD是⊙O的切线．∴OE⊥CD,AD=DE,BC=CE∴∴【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理、韦达定理、解一元二次方程、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定等，解决问题的关键在于正确添加辅助线．【变式11-2】（2023·北京石景山·统考二模）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．（1）求证：AB//OP；（2）连接PA，若PA=22，tan∠BAD=2，求【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）连接OB、BD，则OB=OD，根据切线长定理PD=PB，则OP垂直平分BD，根据AD为圆的直径，可得AB⊥BD，从而可得结论；（2）由∠BAD=∠COD，OD⊥BD，得PD=2OD，从而得PD=A