2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题3分）

1.下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.正五角星

2.下列说法正确的是（）

A.13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件

B.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

C.概率很小的事情不可能发生

D.从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较大

3.用配方法解关于x的方程尤2-6x+5=0时，此方程可变形为（）

A.（x+3）2=4B.（x+3）2+4=0C.（%-3）2=4D.（尤-3）2+4=0

4

4.若点A（-1,yi）,B（1,V2）,C（4,中）在反比例函数y=—的图象上，则yi、>2、

x

J3的大小关系是（）

A.y\<yi<y3B.yi<y\<y3C.ys<y\<yiD.yi<j3<j2

5.如图，四边形ABC。内接于OO,若四边形AOC。是菱形，则N8的度数为（）

A.45°B.50°C.60°D.75°

6.某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参

加比赛的球队有了支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）

A.-^-x（x+1）=21B.gx（x-1）=21

22

C.X（x+1）=21D.X（x-1）=21

7.在ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,现以AC为轴旋转一周得到一个圆锥.则该圆

锥的侧面积为（)

A.481tB.6011C.80TtD.657t

8.二次函数y=0+6x+c的图象如图所示，贝I］一次函数y=ov+6和反比例函数y=一在同一

平面直角坐标系中的图象可能是（）

9.如图，从一块直径是4加的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇

形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（）

A202an啦

A.3mB.--------mC.---------mD.-------m

333

10.如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，ZABC=120°,AB=BC=BE=2,。为AE的

中点，则线段CO的最小值为（)

A.2B.V7-1C.2M-1D.76-1

二、填空题(共6小题).

11.若点(a,1)与(-3,b)关于原点对称，则而=.

12.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共50个，除颜色外，形状、大小、

质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%

和30%,则箱子里蓝色球的个数很可能是.

13.如图，是△ABC的外接圆，60°,AB=3C=3,则弦AC=.

r

14.若m是方程2x2-3%-1=0的一个根，则6m2-9m+2021的值为.

15.如图，点A是x轴负半轴上任意一点，过点A作y轴的平行线，分别与反比例函数y

4.2

=-兰和>=亘的图象交于点B和C点，若。为y轴上任意一点，连接OC、DB,则4

xx

16.抛物线交工轴于点A(-3,0)>B(1,0).下列结论：①2〃-b=0；

②2c=3。；③当4Vo时，无论相取何值都有〃-Z?2M2+励；④若〃<0时，抛物线交

y轴于点C,且AABC是等腰三角形，。=板或后；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物

线上的两点E(xi,yi)、F(%2,>2)且xi<X2,xi+x2>-2,则yi>j2；则其中正确的

是.(填写所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤)

17.解方程：x2-2尤-3=0.

18.已知关于尤的反比例函数丫=工友的图象经过点A(2,3).

x

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当lWx<4时，求y的取值范围.

19.如图，己知△ABO,点A、8坐标分别为(2,4)、(2,1).

(1)把△AB。绕着原点。顺时针旋转90°得△All。，画出旋转后的△ALBI。；

(2)在(1)的条件下，求点8旋转到点所经过的路径的长.(结果保留TT)

20.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工

作.2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年12月该企业口罩

出口订单额为1210万元.

(1)求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；

(2)按照(1)的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？

21.在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3.

(1)若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；

(2)小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为尤.小红再从剩下的三个

小球中随机取出一个小球，记下数字为y,点。坐标记作(尤，y).规定：若点。(尤，y)

在反比例函数丫=旦图象上则小明胜；若点Q在反比例函数y=Z图象上，则小红胜.请

xx

你通过计算，判断这个游戏是否公平？

22.如图，△ABC内接于。0,PA是。。的切线，CD是0。的直径，点P在延长线上,

且AP=AC.

(1)求的度数；

(2)若点E在线段AP上，且PE=2AE,连接。E,求证：是。。的切线.

23.已知二次函数y=-N+bx+c的图象与直线y=x+3相交于点A和点B,点A在x轴上，

点B在y轴上.抛物线的顶点为尸.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△A8P有且只有一个公共点时，求m

的值；

(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在点。，使得SAAB°=2&ABP,若存在，请求出点

。的坐标，若不存在，请说明理由.

3

24.已知：抛物线>=立2-(24+1)x+—(kWO).

(1)证明：该抛物线与x轴必有两个不同的交点；

(2)若该抛物线经过一个定点。(异于抛物线与y轴的交点)，且定点。到抛物线的对

称轴的距离为3,求左的值；

(3)若％=1,点E为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为-春.已知点尸(1,0),

此时抛物线上是否存在一点K,使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐标，若不存

在，请说明理由.

25.如图，是。。的直径，点A在OO上且AB=AC.

(1)如图1,点。为直径8c上一点(不与点B,C重合)，将线段绕点A顺时针

旋转90°,得到线段AE,连接。E、8E,试探索线段8。，CD,之间满足的等量关

系，并证明你的结论；

（2）如图2,若点。为。。外一点且NAO8=45°,试探索线段A。，BD,之间满

足的等量关系，并证明你的结论；

（3）若点。为。。上一点且/AOB=45°,试探索线段AD,BD,CO之间满足的等量

关系，并证明你的结论.

参考答案

一、选择题(共10小题).

1.下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.正五角星

解：4等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

8、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.故本选项不合题意；

C、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意；

。、正五角星是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选：C.

2.下列说法正确的是()

A.13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件

B.投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

C.概率很小的事情不可能发生

D.从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较大

解：A、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确；

B、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故本选项错误;

C、概率很小的事也可能发生，故本选项错误；

D、从1、2、3、4、5中任取一个数是偶奇数的可能性比较大，故本选项错误.

故选：A.

3.用配方法解关于x的方程无2-6x+5=0时，此方程可变形为()

A.(x+3)2=4B.(x+3)2+4=0C.(%-3)2=4D.(%-3)2+4=0

解：把方程N-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-6x=-5,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-6x+9=-5+9,

配方得(尤-3)2=4.

故选：C.

..4

4.若点A(-1,yi),B(1,>2),C(4,*)在反比例函数y=—的图象上，则yi、>2、

x

>3的大小关系是()

A.yi<y2<ysB.y2<yi<y3C.ys<yi<y2D.y\<ys<y2

一A

解：，・,点A(-1,yi),5(1,>2),C(4,>3)在反比例函数y=—的图象上，

x

・力1=-4,、2=4,>3=1,

.'.yi<y3<y2.

故选：D.

5.如图，四边形A5CD内接于。0,若四边形AOCZ)是菱形，则N3的度数为(

A.45°B.50°C.60°D.75°

解：•・•四边形内接于OO,

・・・/5+/。=180°,

・・•四边形O4CD是菱形，

・•・ZAOC=ZDf

由圆周角定理得，ZB=^ZAOC,

.,.ZB+2ZJB=180°,

解得，ZB=60°,

故选：C.

6.某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，设参

加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是()

A.-^-.r(x+1)—21B.-^-x(尤-1)=21

22

C.x(x+1)=21D.x(x-1)=21

解：依题意得：-^x(x-1)=21.

故选：B.

7.在ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,现以AC为轴旋转一周得到一个圆锥.则该圆

锥的侧面积为()

A.4811B.60nC.80nD.651T

解：VZC=90°,AC=8,BC=6,

•■•AB=VAC2+BC2=V62+82=10>

...该圆锥的侧面积=/义2乂11：乂6*10=6011,

故选：B.

8.二次函数y=〃N+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ox+b和反比例函数y=*在同一

x

平面直角坐标系中的图象可能是（）

解：因为二次函数丁="2+加；+0的图象开口向上，得出。>0,与y轴交点在y轴的负半

轴，得出cVO,利用对称轴x=-_^-V0,得出b>0,

所以一次函数经过一、二、三象限，反比例函数y=£经过二、四象限，

x

故选：C.

9.如图，从一块直径是4根的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇

形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（）

60°

A.3mB.空③机C.宜恒2D.生旦相

333

解：连接。4,OC,过点。作OHLAC于H.

：AB=AC,ZBAC=60°,

：.AABC是等边三角形，

：。是△ABC的外心，

ZOAH=-j-ZABC=30°,

OH±AC,

ZOHA=90°,AH=CH—OA•cos30°(相)，

・・・AB=AC=2AH=2y(m),

圆锥底面圆的周长="二|返=2坐IT(m),

1803

...圆锥底面圆的半径为亨(m),

，圆锥的高=5(2«)2_*2=零(m).

故选：C.

10.如图，在等腰△ABC和等腰△人吕石中，ZABC=120°,AB=BC=BE=2,。为AE的

中点，则线段。的最小值为()

E

A.2B.V7-1C.2^3-1D.V6-1

解：取AB的中点G,连接OG,CG,过。作于点〃

E

C

TO是AE的中点，G是A3的中点，

・・・DG是△ABE的中位线，

：.DG=^BE,

9：AB^BC=BE=2,

：.DG=lf3G=1,

VZABC=120°,

：.ZCBH=18Q°-120°=60°,

•・・CHLBH,

：.ZCHB=90°,ZBCH=9Q°-60°=30°,

：.BH=^BC=\,

CZ

「・^=7BC2-BH2=V41=V3^

・・・HG=BG+BH=1+1=2,

在RtZ\CHG中，CG=>JcH2+HG2=V3+4=V7

'/CG-DGWCDWOG+CG,

CD<W+L

当且仅当。，G,C三点共线时，CD最短为我-1,

故选：B.

二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分，）

11.若点（a,1）与（-3,b）关于原点对称，则ab=-3.

解：：点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，

.,.«=3,b=-1,

故ab--3.

故答案为：-3.

12.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共50个，除颜色外，形状、大小、

质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%

和30%,则箱子里蓝色球的个数很可能是q.

解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为20%和30%,

所以摸到蓝球的概率为50%,

因为50X50%=25（个），

所以可估计箱子中蓝色球的个数为25个.

故答案为25.

13.如图，是△ABC的外接圆，ZCOB=60°,AB=BC=3f则弦

解：设08与AC交于点O,

VZCOB=60°,AB=BC,

：.ACOB为等边三角形，

・・・OC=BC=3,

9：AB=BC,

AOD±AC,CD=AD,

在RtZXCOO中，sinNC0D=器,

Z.CD=0C・sin/COD=^^,

2

.*.AC=3«,

故答案为：3^/3-

r

Zi

14.若m是方程23-3x-1=0的一个根，则6m2-9加+2021的值为2024.

解：由题意可知：2m2-3m-1=0,

2m2-3m=l,

・•・原式=3(2m2-3m)+2021=2024.

故答案为：2024.

15.如图，点A是x轴负半轴上任意一点，过点A作y轴的平行线，分别与反比例函数y

42

=和的图象交于点B和。点，若。为y轴上任意一点，连接。C、DB,则4

XX

BCD的面积为3.5.

1鹏厂

解：设A(m,0)(m<0),

•・•直线3C〃y轴，

4.

AB,。两点的横坐标都为相，而点3在反比例函数y=-N的图象上，点。在反比例函

X

数y=3的图象上，

X

4.2

点坐标为(加，--),。点坐标为(如—),

mm

：.BC=----=,

ininm

117

**•SABCD=—*BC9OA=—*(-----)•(-m)=3.5.

22m

故答案为3.5.

16.抛物线y=a%2+bx+c交工轴于点A(-3,0)>B(1,0).下列结论：①2。-8=0；

②2c=3。；③当“V0时，无论m取何值都有a-b^an^+bm；④若a<0时，抛物线交

y轴于点C,且△ABC是等腰三角形，或J元；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物

线上的两点E(X1,力)、F(尤2,J2)且X1<X2,Xl+X2>-2,则yi>J2；则其中正确的

是①③④⑤.(填写所有正确结论的序号)

解：①：二次函数与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0).

.•.二次函数的对称轴为尤=等~=-1,即-袅=-1,

22a

2a-/?=0.

故①正确；

②•.,二次函数y=〃N+/?x+c与x轴交于点A(-3,0)>B(1,0).

9a-3b+c=0,〃+》+c=0,

又,：b=2a.

3

/?+c=0,

2

「・2。=-3b.

故②错误；

@'：a<0,

抛物线开口向下.

；.x=l时，二次函数有最大值.

a+b+c^airfi+bm+c.

即a+b^am2+bm.

故③正确；

④由图象可得，AC^BC.

当8c=AB=4时，贝|了+/=42,解得。=襁，

当AC=A2=4时，则32+c2=42,解得。=由

故AABC是等腰三角形时，或J元，

故④)正确;

⑤由题意可知，点E(xi,yi)到对称轴的距离小于点尸(无2,”)到对称轴的距离,

故⑤正确；

故答案为①③④⑤.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤)

17.解方程：x2-2x-3=0.

解：原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0

x-3=0,x+l=0

••X\3,X2~~一1.

18.已知关于x的反比例函数>=工私的图象经过点A(2,3).

X

(1)求这个反比例函数的解析式；

(2)当1W%<4时，求y的取值范围.

解：(1)..•关于X的反比例函数了=上也的图象经过点A(2,3).

x

.oltm

-2'

l+m=6f

这个函数的解析式为：y=3；

(2)•.,当x=l时，y=6,

3

当％=4时，y=—,

，，_3

・••当1WX<4时，y的取值范围是万<yW6.

19.如图，已知△ABO,点A、5坐标分别为(2,4)、(2,1).

（1）把△ABO绕着原点。顺时针旋转90°得△431。，画出旋转后的△421。；

（2）在（1）的条件下，求点8旋转到点囱经过的路径的长.（结果保留TT）

（2）点B旋转到点Bi经过的路径的长=9°"兀"遮=返死

1802

20.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工

作.2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年12月该企业口罩

出口订单额为1210万元.

（1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率；

（2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？

解：（1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为尤，

依题意得:1000（1+尤）2=1210,

解得：xi=0.1=10%,X2=-2.1（不合题意，舍去）.

答:该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为10%.

（2）1210X（1+10%）=1331（万元）.

答：预计该企业2021年1月口罩出口订单额为1331万元.

21.在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、2、3.

（1）若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字2的小球的概率；

（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为无.小红再从剩下的三个

小球中随机取出一个小球，记下数字为y,点。坐标记作（尤，y）.规定：若点。（尤，y）

在反比例函数y=g图象上则小明胜；若点。在反比例函数y=2图象上，则小红胜.请

xx

你通过计算，判断这个游戏是否公平？

解：（1）若小明随机抽出一个小球，则抽到标有数字2的小球的概率为［9■==■1；

42

（2）画树状图如图：

x/1K/42\/42\/3N

V223123123122

共有12个等可能的结果，点。（尤，y）在反比例函数y=g图象上的结果有4个，点。

9X

（x,y）在反比例函数y=一图象上的结果有4个，

x

・•・小明胜的概率为4喘=称1，小红胜的概率为4我=看1，

...小明胜的概率=小红胜的概率，

...这个游戏公平.

22.如图，ZVIBC内接于。0,PA是。。的切线，C£）是。。的直径，点P在。延长线上，

且AP=AC.

（1）求的度数；

（2）若点E在线段AP上，且PE=2AE,连接。E,求证：是。。的切线.

【解答】（1）解：连接。4,AD,

A

9：AP=AC,

：.ZP=ZACPf

U：AO=OC,

：.ZACO=ZCAOf

设NACO=x,则NAOP=NACO+NCAO=2x,

・・,P4是O。的切线，

：.OA±AP,

：.ZOAP=90°,

AZAOP+ZP=90°,

.'.2x+x=90°,

・・・x=30°,

AZACO=30°,

•・,CD是。。的直径，

ZZ)AC=90°,

AZADC=60°,

ZB=60°；

(2)证明：连接04,OE,

设0C=0Z)=Q4=r,

•：ZP=ZACP=30°,

・・・0P=2r,

：.DP=r,

・・・p2_0A2=J4r2_r2=«/,

•；PE=2AE,

•••班昔后

AP_V3r_-73

OP—F，

.DP=AP

,宣一而‘

；NP=NP,

：./\PDE^/\PAO,

：.ZPDE=ZPAO=90°,

；./EDO=90°,

是。。的切线.

23.已知二次函数y=-%2+bx+c的图象与直线y=x+3相交于点A和点3,点A在x轴上，

点B在y轴上.抛物线的顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m

的值；

（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点。，使得SAAB°=2SA4BP,若存在，请求出点

0的坐标，若不存在，请说明理由.

解：(1)当x=0时，y=3,

：.B(0,3),

当y=0时，x+3=0,

.*.%=-3,

.*.A(-3,0),

把A(-3,0)和5(0,3)代入二次函数y=-必+法+c中得:

曹“解得b=-2

c=3'

这个二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3；

(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

将抛物线向右平移机个单位，尸对应点为(-1+加，4),

，平移后的抛物线解析式为y=-(x+1-m)2+4,

把5(0,3)代入得，3=-(1-m)2+4,

解得见=2,m2—0(舍去)，

把A(-3,0)代入得0=-(-2-m)2+4,

解得侬=-4,侬=0(舍去)，

故机的值为2或-4；

(3)*.*SAABP=SAAPD+S梯形PDOB-S^AOB=X4X(3-l)+-1-X(3+4)XI-yX3X3=

3,

••S丛ABQ=2sAABP=6,

设点。的坐标为(a,-〃2_2〃+3),

分两种情况:

①如图1,当。在对称轴的左侧，过点尸作尸。，无轴于点。，过点。作。£〃y轴交直

线AB于E,

图1

S^ABQ2(a+3+a~+2a-3)(-o+3+a)=6,

2

解得：＜71=-4,02=1(舍)，

：.Q(-4,-5)；

②如图2,当。在对称的右侧，过点P作无轴于点。，过点。作。石〃》轴交直线

AB于E,

同理可得。=1,

：.Q(1,0),

综上，点。的坐标为(-4,-5)或(1,0).

24.已知：抛物线>=依-(24+1)x+—(4W0).

(1)证明：该抛物线与x轴必有两个不同的交点；

(2)若该抛物线经过一个定点。(异于抛物线与y轴的交点)，且定点。到抛物线的对

称轴的距离为3,求上的值；

(3)若左=1,点E为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为已知点/(1,0),

此时抛物线上是否存在一点K,使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐标，若不存

在，请说明理由.

3

【解答】(1)证明：当y=0时，kx1-(2Z+1)x+—=0,

2

△=[-(2k+1)]2-4%X^=3N+(%-1)2>0,

・,・该抛物线与x轴必有两个不同的交点；

L3

(2)解：y=kx2-(2左+1)x+—

=依-2kx-x+—