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文档简介
湖南省株洲市实验学校高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设函数,若,则实数的取值范围是
(
)A、
B、
C、
D、参考答案:C2.设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数:
,取函数.当时,函数在下列区间上单调递减的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D3.执行如图所示的程序框图,输出的T=(
)A.21
B.43
C.53
D.64参考答案:B执行程序框图,有S=4,n=1,T=3,不满足条件T>2S,S=7,n=2,T=7,不满足条件T>2S,S=10,n=3,T=13,不满足条件T>2S,S=13,n=4,T=21,不满足条件T>2S,S=16,n=5,T=31不满足条件,S=19,n=6,T=43满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为43.故选:B.
4.用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为
()
A.
B.
C.
D.参考答案:D略5.已知集合,集合,则集合等于(
)A.B.C.D.参考答案:A6.在复平面内,复数对应的点在A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限参考答案:D7.某学生在一门功课的22次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A.117
B.118
C.118.5
D.119.5参考答案:B略8.设下列关系式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:A9.设函数f(x)=x(lnx﹣ax)(a∈R)在区间(0,2)上有两个极值点,则a的取值范围是()A. B.C.
D.参考答案:D【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】方法一:求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,由关于x的方程a=在区间(0,+∞)由两个不相等的实根,构造辅助函数,根据函数单调性即可求得a取值范围;方法二:由题意,关于x的方程2ax=lnx+1在区间(0,2)由两个不相等的实根,则y=2ax与y=lnx+1有两个交点,根据导数的几何意义,即可求得a的取值范围.【解答】解:方法一:f(x)=x(lnx﹣ax),求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,由题意,关于x的方程a=在区间(0,+∞)由两个不相等的实根,令h(x)=,h′(x)=﹣,当x∈(0,1)时,h(x)单调递增,当x∈(1,+∞)单调递减,当x→+∞时,h(x)→0,由图象可知:函数f(x)=x(lnx﹣ax),在(0,2)上由两个极值,只需<a<,故D.方法二:f(x)=x(lnx﹣ax),求导f′(x)=lnx﹣2ax+1,由题意,关于x的方程2ax=lnx+1在区间(0,2)由两个不相等的实根,则y=2ax与y=lnx+1有两个交点,由直线y=lnx+1,求导y′=,设切点(x0,y0),=,解得:x0=1,∴切线的斜率k=1,则2a=1,a=,则当x=2,则直线斜率k=,则a=,∴a的取值范围(,),故选D.10.已知为直线的倾斜角,若,则直线的斜率为(
)A.3
B.-4
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某小区共有1500人,其中少年儿童,老年人,中青年人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么老年人被抽取了
人参考答案:20略12.阅读右侧程序框图,则输出的数据为________.参考答案:第一次运算,;第二次运算,;第三次运算,;第四次运算,;第五次运算,;第六次不条件,输出.13.如图,要测量河对岸两点间的距离,在河边一侧选定两点,测出的距离为,,,,.则两点之间的距离为
.参考答案:14.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费),设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元;前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为
年.参考答案:10略15.已知函数,若,则实数x的取值范围___________.参考答案:略16.若,则的最小值为.参考答案:由得,因为,所以,根据均值定理得,当且仅当,即,即时取等号,所以的最小值为1.17.已知函数,则的值等于_______.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为,其左、右焦点分别为、,点是坐标平面内一点,且,,其中为坐标原点.⑴求椭圆C的方程;⑵如图,过点,且斜率为的动直线交椭圆于、两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案:解:(1)设,由可知①(1分)又,,即②
(2分)①代入②得:.又,可得,故所求椭圆方程为
(4分)(2)设直线,代入,有.设,则.
(6分)若轴上存在定点满足题设,则,,
(9分)由题意知,对任意实数都有恒成立,
即对成立.解得,
(11分)在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
(12分)19.(本题满分12分)已知.(Ⅰ)求的最大值及取得最大值时的值;(Ⅱ)在中,角,,的对边分别为若,,,求的面积.参考答案:(Ⅰ).
……2分当,即,时,函数取得最大值2.……4分(Ⅱ)由,得,∵,∴,解得.
……6分因为,根据正弦定理,得,
……8分由余弦定理,有,则,解得,,
……10分故△ABC的面积.
……12分20.横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB、BC、CD、DE、EA、BE为学校主要道路(不考虑宽度),。(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE面积的最大值。参考答案:(1);(2)。【分析】(1)连接,在中,由余弦定理求得,再在直角中,利用勾股定理,即可求解.(2)设,在中,由正弦定理可得,利用面积公式和三角函数的图象与性质,即可求解.【详解】(1)如图所示,连接,在中,由余弦定理可得,解得,因为,所以又由,所以,在直角中,,(2)设,因为,所以,在中,由正弦定理可得,所以,所以当且仅当时,即时,取得最大面积,即生活区面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和题设条件,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.21.设函数.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数f(x)的最小值为g(a),证明:.参考答案:(1)显然的定义域为..∵,,∴若,,此时,在上单调递减;若,,此时,在上单调递增;综上所述:在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知:,即.要证,即证明,即证明,令,则只需证明,∵,且,∴当,,此时,在上单调递减;当,,此时,在上单调递增,∴.∴.∴.22.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,且侧面PAD⊥平面PBC,侧面PAD∩平面PBC=l,△PDC为正三角形,CD=2.(1)求证:l∥BC;(2)求直线AB与平面PAD所成角的正弦值.参考答案:(Ⅰ)因为,所以平面;…2分又因为平面且平面平面,由线面平行的性质定理知.…7分
(Ⅱ)过作交于,所以.因为侧面
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