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辽宁省沈阳市十九高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数,则不等式的解集为A.
B.
C.
D.参考答案:D考点:函数综合,因为所以f(x)是偶函数。
所以
所以变形为:
又
所以f(x)在单调递增,在单调递减。
所以等价于
故答案为:D2.设偶函数满足,则(
)(A)
(B)(C)
(D)参考答案:B略3.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为(
) A. B. C. D.参考答案:4.在两直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形中,若,则实数m取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C设∠B=,又斜边为的直角三角形中,,∴,∴,设,则,∴,又∴故选:C
5.在等比数列中,若,且公比,则(
)A. B. C.3 D.参考答案:A6.设集合,,则下列结论正确的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B7.已知集合,则A
B
C
A=B
D
参考答案:B8.参考答案:C9.一个边为的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为的小正方形,然后做成一个无盖方盒,当无盖方盒的容积最大时,的值应为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C试题分析:因无盖方盒的底面边长为,高为,其容积,则,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.故当时,无盖方盒的容积最大,故应选C.考点:棱柱的体积与导数在实际生活中的运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为,底面边长为,进而求该无盖方盒的容积,然后运用导数求得当时,无盖方盒的容积最大,从而使得问题最终获解.10.已知实数满足等式,下列五个关系式:①②③④⑤其中可能成立的关系式有(
)A.①②③
B.①②⑤
C.①③⑤ D.③④⑤参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,,是内切圆圆心,设是⊙外的三角形区域内的动点,若,则点所在区域的面积为________.参考答案:12.在中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,则__________.参考答案:413.若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.参考答案:14.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记录第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,向量,则向量与向量垂直的概率为
.参考答案:略15.已知正三角形ABC的边长为2,点D,E分别在边AB,AC上,且=?,=?.若点F为线段BE的中点,点O为△ADE的重心,则?=
参考答案:0
【知识点】平面向量数量积的运算.F3解析:连AO并延长交DE于G,如图,∵O是△ADE的重心,∴DG=GE,∴,∴==,又=λ,=λ,∴=(),显然,,又==(1﹣)﹣,==﹣(+)=﹣(+﹣)=()=﹣+,∴=(1﹣)+,∵=﹣,=﹣=(λ﹣1),∴=[+(λ﹣2)],又正三角形ABC的边长为2,∴||2=||2=4,∴,∴=[(1﹣)+]?[+(λ﹣2)]={(1﹣)2+[+(1﹣)(λ﹣2)+(λ﹣2)}====0.【思路点拨】如图,根据向量的加减法运算法则,及重心的性质,用、表示、,再根据正三角形ABC的边长为2,进行数量积运算即可.16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,c=4,则a=.参考答案:【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB,sinC的值,进而利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可求sinA,进而利用正弦定理可求a的值.【解答】解:∵,,c=4,∴由题意可得:,,∴,∴.故答案为:.【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.17.设且,则“函数在上是减函数”,是“函数在上是增函数”的
条件.参考答案:充分不必要三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(10分)已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=2x(﹣1≤x≤m)的值域为B.(1)当m=1时,求A∩B;(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围.参考答案:考点: 对数函数图象与性质的综合应用.专题: 函数的性质及应用.分析: 根据函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=2x(﹣1≤x≤m)的值域为B.求解得出A,函数g(x)=2x(﹣1≤x≤m)的值域为B.m=1根据单调性可得;≤y≤2m,即,再利用集合的关系求解得出答案.解答: (1)∵函数f(x)=的定义域为A,∴∴A为:{x|<x≤1}∵函数g(x)=2x(﹣1≤x≤m)的值域为B.m=1∴≤y≤2m,即,可得A∩B={x|<x≤1}(2)∵A∪B=B,∴A?B,根据(1)可得:2m≥1,即m≥0,实数m的取值范围为;[0,+∞)点评: 本题考查了函数的概念,性质,运用求解集合的问题,属于容易题.19.
(12分)在中,角所对的边分别是且(1)求角C的大小;(2)若,求的面积的最大值。参考答案:解析:(1)由题意得即
(2分)又
(5分)又,因此
(6分)(2)由已知得
(9分)即,得(当且仅当时取等号),故的面积,即的面积的最大值是.
(12分)20.如图4,四棱锥的俯视图是菱形,顶点的投影恰好为.⑴求证:;⑵若,,四棱锥的体积,求的长.参考答案:⑴依题意,底面……2分因为底面,所以……3分依题意,是菱形,……4分因为,所以平面……6分,所以……7分.⑵……8分,……10分,,……12分,所以……14分.略21.已知函数f(x)=(2﹣a)x﹣2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(0,)无零点,求a的最小值.参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)对f(x)求导,计算其单调区间,注意到定义域的范围.(2)将f(x)的表达式重新组合,即f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,分别研究函数m(x)=(2﹣a)(x﹣1),h(x)=2lnx,x>0,讨论当a<2时和当a≥2时的情况.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,则f′(x)=1﹣,定义域x∈(0,+∞),由f′(x)>0,得x>2;由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞).(2)f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,令m(x)=(2﹣a)(x﹣1),x>0;h(x)=2lnx,x>0,则f(x)=m(x)﹣h(x),①当a<2时,m(x)在(0,)上为增函数,h(x)在(0,)上为增函数.结合图象可知,若f
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