湖南省长沙市黄冈中学网校高三数学文下学期摸底试题含解析

湖南省长沙市黄冈中学网校高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的(

).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案：B2.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．3.已知直线与直线平行，则的值是（

）A．

1

B．-1

C．2

D．-2参考答案：D因为直线ax+y﹣1﹣a=0与直线x﹣y=0平行，所以必有﹣a=2，解得a=﹣2．故选D【考查方向】本题考查两条直线平行的判定，是基础题．【易错点】两直线平行条件的应用（整式条件）【解题思路】两条直线平行倾斜角相等，即可求a的值．4.

已知=2，=，=1，则向量与的夹角为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知a，b∈R，若a﹣bi=（1+i）i3（其中为虚数单位），则（）A．a=1，b=﹣1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=1D．a=﹣1，b=﹣1参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．ks5u专题：计算题．ks5u分析：先对（1+i）i3进行化简，再由复数相等求出a和b的值．解答：解：由题意得，a﹣bi=（1+i）i3=﹣i（1+i）=﹣i﹣i2=1﹣i，则a=1，b=﹣1，故选A．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件应用，属于基础题．6.的值为

（）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】定积分．B13【答案解析】C

解析：=（ex+）|=e=e+，故选：C【思路点拨】根据微积分定理直接求函数的积分．7.下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β参考答案：A【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l?α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a?α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8.已知函数对于任意的实数x恒有，且是三角形中的一个锐角，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知,则的值为（

）A． B． C．1 D．2参考答案：C10.已知命题

对任意，总有；

是的充分不必要条件

则下列命题为真命题的是（

）

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中应填入的关于的条件是_____参考答案：12.设则=___________.参考答案：，所以.13.函数，设，若恒成立，则实数的取值范围为_______．参考答案：14.函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②函数是单函数；③若为单函数，且，则；④函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是_________．(写出所有真命题的编号)参考答案：③15.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为

．参考答案：2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴+h2=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故答案为：2．16.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量=

；参考答案：5417.若实数满足约束条件：，则的最小值为___参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量,函数(),且.(1)求函数的表达式;(2)设,;求的值参考答案：解析:(1)依题意得又得,即,∴∴

(2)由得,即∴,

又∵,∴,

由得,即∴,

又∵,∴

略19.已知函数().(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,取得极值.①若,求函数在上的最小值;②求证:对任意,都有.参考答案：解：(1)

当时,

解得或,

解得所以单调增区间为和,单调减区间为

(2)①当时,取得极值,所以解得(经检验符合题意)

+0-0+↗

↘

↗所以函数在,递增,在递减

当时,在单调递减,当时

在单调递减,在单调递增,

当时,在单调递增,综上,在上的最小值

②令得(舍)因为

所以所以,对任意,都有略20.已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】压轴题．【分析】（1）由a=﹣3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判别式大于0时由f（x1）?f（x2）＞0得到求出a的解集可．【解答】解：（1）当a=﹣3时，，∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为=﹣6．（2）∵f′（x）=x2﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2=2，x1x2=a．当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：∵x12﹣2x1+a=0，∴a=﹣x12+2x1．∴===．同理f（x2）=．∴===．令f（x1）?f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想．21.（本题12分）现有7道题，其中5道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的两道题都是甲类题的概率；（2）所取的两道题不是同一类题的概率.参考答案：（1）将5道甲类题依次编号为1，2，3，4，5；将2道乙类题依次编号为6，7.任取2道题，基本事件为：

，共21个，而且这些基本事件出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有，共10个，所以

（2）用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有，共10个，所以22.

若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”.

1.判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由；

①

②2.已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对.参考答案：①若是“函数”，则存在实数对，使得，即时，对恒成立

……2分而最多有两个解，矛盾，因此不是“函数”

……3分②答案不唯一：如取，恒有对一切都成立，

……5分即存在实数对，使之成立，所以，是“